文档内容
第 10 讲 用导数研究函数性质
真题展示
2022 新高考一卷第 10 题
已知函数 ，则
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
试题亮点
试题通过设计适当的函数，将函数的单调性、极值、零点、切线、函数图像
等概念和性质有机地整合到所创设的问题情境中，设问简洁，考查点全面.试题
既注重基础，又能使考生主动探究的能力得到展示.试题着重考查考生的理性思
维素养和数学探究素养，为高校选拔人才提供有效依据.
知识要点整理
一、 函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负 f(x)的单调性
f′(x)>0 单调递增
f′(x)<0 单调递减
二、 利用导数判断函数的单调性的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求出导数f′(x)的零点；
(3)用 f′(x)的零点将 f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 f′(x)在各区间
上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
三、 函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对 函数值变
函数的图象
值 化
比较“ ”(向上或向
越大 快
下)
越小 慢 比较“ ”(向上或向下)
四、 函数极值的定义
1．极小值点与极小值
若函数 y＝f(x)在点 x＝a的函数值 f(a)比它在点 x＝a附近其他点的函数值都小，
f′(a)＝0，而且在点 x＝a 附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数 y
＝f(x)的极小值点， 叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．极大值点与极大值
若函数 y＝f(x)在点 x＝b的函数值 f(b)比它在点 x＝b附近其他点的函数值都大，
f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，就把b 叫做函数
y＝f(x)的极大值点， f ( b ) 叫做函数y＝f(x)的极大值．
3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
五、 函数极值的求法与步骤
1．求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x )＝0时，
0
(1)如果在x 附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x )是 ；
0 0
(2)如果在x 附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x )是 ．
0 0
2．求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；
(2)求方程 根；(3)列表；
(4)利用 f′(x)与 f(x)随 x 的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况
求极值．
六、 函数最值的定义
1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它
必有最大值和最小值．
2．对于函数 f(x)，给定区间 I，若对任意 x∈I，存在 x ∈I，使得 f(x)≥f(x )，则
0 0
称 f(x )为函数 f(x)在区间 I 上的最小值；若对任意 x∈I，存在 x ∈I，使得
0 0
f(x)≤f(x )，则称f(x )为函数f(x)在区间I上的最大值．
0 0
思考 如图所示，观察区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象，找出函数 f(x)在区间
[a，b]上的最大值、最小值．若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？
答案 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是f(a)，最小值是f(x )．
3
若区间改为(a，b)，则f(x)有最小值f(x )，无最大值．
3
七、 求函数的最大值与最小值的步骤
函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求 f(x)在[a，b]上的最大值
与最小值的步骤如下：
(1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值；
(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值 f ( a ) ， f ( b ) 比较，其中最大的一个是最大
值，最小的一个是最小值．
三年真题一、单选题
1． 是定义在 上的非负可导函数，且满足 ．对任意正数a，b，若 ，则必
有（ ）
A． B．
C． D．
2．设 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，当 时， ．且
，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
3．用计算器验算函数 的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是（ ）
A． 在 上是单调减函数 B． 的值域为
C． 有最小值 D．
4．已知 ，在下列不等式中成立的一个是（ ）A． B． C． D．
5．设 是函数 的导函数， 的图像如图所示，则 的图像最有可能的是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在开区间内有极小值点（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
7．当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
8．函数 在区间 的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
9．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 ，且 ，则该正四
棱锥体积的取值范围是（ ）A． B． C． D．
二、多选题
11．已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
12．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若 ， 均为偶函数，
则（ ）
A． B． C． D．
三年模拟
一、单选题1．设定义R在上的函数 ，满足任意 ，都有 ，且 时， ，
则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．设 是函数 的导函数，且 ， （e为自然对数的底数），则不等
式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 ，下列说法中，正确的是（ ）
A．函数 不是周期函数
B．点 是函数 图象的一个对称中心
C．函数 的增区间为
D．函数 的最大值为4．已知函数 有两个极值点 ，若 ，则关于x的方程
的不同实根个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
6． 的最小值是 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数 在 上存在导函数 ，对于任意的实数x都有 ，当 时，
，若 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．9．已知 ，若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
10．已知 ，且 ，则下列说法正确的有（ ）
① ； ② ；③ ； ④ .
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④
二、多选题
11．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，函数 在定义域内是减函数
B．存在一个实数 ，使得函数 满足
C．对于任意的实数 ，函数 无极值点
D．当 时，若曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，则
12．已知函数 ，则（ ）A． 在 上有7个零点 B． 的图象关于直线 对称
C． 的最小正周期为 D． 的值域为
13．已知函数 （ ， ， ），则下列说法正确的是（ ）
A．若实数 是 的两个不同的极值点，且满足 ，则 或
B．函数 的图象过坐标原点的充要条件是
C．若函数 在 上单调，则
D．若函数 的图象关于点 中心对称，则
14．对于三次函数 ，给出定义：设 是函数 的导数， 是
函数 的导数，若方程 有实数解 ，则称 为函数 的“拐点”.某同学经过
探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.
若函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的极大值点为
B． 有且仅有3个零点
C．点 是 的对称中心D．
15．已知 为坐标原点，抛物线 ： （ ）的焦点 为 ，过点 的直线 交抛物线
于 ， 两点，点 为抛物线 上的动点，则（ ）
A． 的最小值为
B． 的准线方程为
C．
D．当 时，点 到直线 的距离的最大值为
16．已知函数 则下列结论正确的有（ ）
A．当 时， 是 的极值点
B．当 时， 恒成立
C．当 时， 有2个零点
D．若 是关于x的方程 的2个不等实数根，则
17．已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 在 上是增函数B． ，不等式 恒成立，则正实数 的最小值为
C．若 有两个零点 ，则
D．若 ，且 ，则 的最大值为
