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专题 24.9 弧长与扇形的面积【八大题型】
【人教版】
【题型1 弧长的计算】...........................................................................................................................................1
【题型2 利用弧长公式求周长】...........................................................................................................................2
【题型3 利用弧长公式求最值】...........................................................................................................................3
【题型4 计算扇形面积】.......................................................................................................................................5
【题型5 计算不规则图形的阴影部分面积】.......................................................................................................5
【题型6 旋转过程中扫过的路径或面积】...........................................................................................................7
【题型7 圆锥的计算】...........................................................................................................................................9
【题型8 圆柱的计算】...........................................................................................................................................9
【知识点1 弧长与扇形的面积】
设⊙O的半径为R，n°圆心角所对弧长为l，
nπR
弧长公式：l= （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）
180
n 1
扇形面积公式：S = πR2= lR
扇形 360 2
母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。
圆锥体表面积公式：S=πR2+πRl（l为母线）
【题型1 弧长的计算】
【例1】（2022秋•黔西南州期末）如图，四边形ABCD是半径为2的⊙O的内接四边形，连接OA，OC．
若∠AOC：∠ABC＝4：3，则^ABC的长为（ ）8 6 4 3
A． π B． π C． π D． π
5 5 5 5
【变式1-1】（2022•龙岩模拟）如图，在⊙O中，点C在优弧^AB上，将^BC沿BC折叠后刚好经过AB的
中点D．若⊙O的半径为5，AB＝4√5，则^AC的长是（ ）
5π 25π 10π
A． B． C． D．4π
2 4 3
【变式1-2】（2022•梁园区校级一模）如图1所示是一张圆形纸片，直径AB＝8，现将点A折叠至圆心O
形成折痕 CD，再把C、D折叠至圆心 O处，最后将圆形打开铺平（如图 2所示），则^EF的长是
（ ）
8 5 4 2
A． π B． π C． π D． π
3 3 3 3
【变式1-3】（2022•濮阳二模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、C、D均在小正方
形的顶点上，点C、A、D、B均在所画的弧上，若∠CAB＝75°，则^AB的长为 2 π ．【题型2 利用弧长公式求周长】
【例2】（2022•巧家县二模）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，AO＝6，分别以点A，B为圆心，
AO，BO的长为半径画弧，与^AB相交，则图中阴影部分的周长为 ．
【变式2-1】（2022•焦作模拟）如图，在5×4的网格图中，每个小正方形的边长均为1点A，B，C，D均
在格点上，点D在^AB上线段BC与^AB交于点E，则图中阴影部分的周长为 ．（结果保留π）
【变式2-2】（2022秋•市中区期末）如图，正方形的空地内部要做一个绿化带（阴影部分），已知正方形
ABCD外切于⊙O，且边长为10米，则绿化带的周长为 ．（结果保留π）
【变式2-3】（2022•西山区二模）如图，等边△ABC的边长为1，以A为圆心，AC为半径画弧，交BA的
延长线于D，再以B为圆心，BD为半径画弧，交CB的延长线于E，再以C为圆心，CE为半径画弧，
交AC的延长线于F，则由弧CD，弧DE，优弧EF及线段CF围成的图形（CDEFC）的周长为
．【题型3 利用弧长公式求最值】
【例3】（2022•安宁市二模）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交BC于点D，点E
为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为（ ）
6√2+π 2√2+π 6√2+π √2+2π
A． B． C． D．
2 3 3 3
【变式3-1】（2022•西华县一模）如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心，BC的长为半
径画弧^AC，点P为菱形内一动点，连接PA，PC．则阴影部分周长的最小值为 ．
【变式3-2】（2022•夏邑县模拟）如图，以BC为直径作圆O，A、D为圆周上的点，AD∥BC，AB＝CD＝
AD＝1，∠ABC＝60°．若点P为BC垂直平分线MN上的一动点，则阴影部分周长的最小值为 ．【变式3-3】（2022•南召县模拟）如图，在⊙O中AB为其直径，EF为AB上一线段（点F在点E的左
侧），点DC在AB上方的半圆上，且2^AD=^BD，^AD=2^BC，连接DF和CE，则图中阴影部分周长
的最小值为 ．
【题型4 计算扇形面积】
【例4】（2022•抚顺县一模）如图，矩形ABCD的边长AB＝1，BC＝2．把BC绕B逆时针旋转，使C恰
好落在AD上的点E处，线段BC扫过部分为扇形BCE．则扇形BCE的面积是（ ）
π 2π-3 π
A． B．1 C． D．1+
3 3 12
【变式4-1】（2022•湖北）一个扇形的弧长是10πcm，其圆心角是150°，此扇形的面积为（ ）
A．30πcm2 B．60πcm2 C．120πcm2 D．180πcm2
【变式4-2】（2022•八步区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AC＝4，以AB为直径的⊙O
交BC于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
π 2π 4π
A． B． C． D．2π
3 3 3
【变式4-3】（2022•锦州二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC=√3，作∠ABC的平分
线BD交AC于点D，以点A为圆心，AD长为半径作弧，交AB于点E，则阴影部分的面积为（ ）π 2π 3√3
A． B． C．√3 D．
3 3 2
【题型5 计算不规则图形的阴影部分面积】
【例5】（2022•虞城县一模）如图，扇形 OAB中，∠AOB＝120°，OA＝2，点C为OB的中点，将扇形
OAB绕点C顺时针旋转，点O的对应点为O'，连接O'B，当O'C∥OA时，阴影部分的面积为（ ）
π √3 2π 2√3 π √3 2π √3
A． - B． - C． - D． -
2 2 3 3 2 3 3 2
【变式5-1】（2022•安徽模拟）如图，边长为2√2的正方形ABCD的中心与半径为2√2的⊙O的圆心重合，
E，F分别是AD，BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π﹣2√3 B．2π﹣2 C．2π+2 D．2π+2√3
【变式5-2】（2022•武汉模拟）如图，矩形ABCD中．AB＝3√3，BC＝6，以点B为圆心、BA为半径画弧，
交BC于点E，以点D为圆心、DA为半径画弧，交BC于点F，则阴影部分的面积为（ ）51 27√3 27√3 51 27√3 3
A． π- B．6π- C． π-18√3 D． - π
4 2 2 4 2 4
【变式5-3】（2022•高唐县二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠BAO＝30°，AC
＝8．过点O作OH⊥AB于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）点P是BD上的一个动点（点P不与点B，D重合），当PH+PM的值最小时，求PD的长度．
【题型6 旋转过程中扫过的路径或面积】
【例6】（2022秋•凉山州期末）如图，△OAB中，OB＝3，OA＝1．将△OAB绕点O逆时针方向旋转45°
后得到△OCD．下列结论：①∠BOD＝45°；②DC＝OA；③BD，AC的垂直平分线相交于点 O；
④△AOC有一个角为67°；⑤AB在旋转过程中扫过的图形的面积是π；其中错误的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式6-1】（2022•泰兴市二模）如图线段AB的端点在边长为1的正方形网格的格点上，现将线段AB绕
点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC．
（1）请你用尺规在所给的网格中画出线段AC及点B经过的路径；
（2）若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（﹣2，﹣1），则点C的坐标为 ；
（3）线段AB在旋转到线段AC的过程中，线段AB扫过的区域的面积为 ；
（4）若有一张与（3）中所说的区域形状相同的纸片，将它围成一个几何体的侧面，则该几何体底面圆
的半径长为 ．
【变式6-2】（2022秋•凉州区校级月考）归纳猜想：同学们，让我们一起进行一次研究性学习：
（1）如图1已知正三角形ABC的中心为O，半径为R，将其沿直线l向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，
其中心O经过的路程是多少？
（2）如图2将半径为R的正方形沿直线l向右翻滚，当正方形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多
少？
（3）猜想：把正多边形翻滚一周，其中心O所经过的路程是多少（R为正多边形的半径，可参看图
2）？请说明理由．
（4）进一步猜想：任何多边形都有一个外接圆，若将任意圆内接多边形翻滚一周时，其外心所经过的
路程是否是一个定值（R为多边形外接圆的半径）？为什么？请以任意三角形为例说明（如图12）．通过以上猜想你可得到什么样的结论？请写出来．
【变式6-3】（2022•扬中市一模）已知如图，在直角坐标系 xOy中，点A，点B坐标分别为（﹣1，0），
（0，√3），连接AB，OD由△AOB绕O点顺时针旋转60°而得．
（1）求点C的坐标；
（2）△AOB绕点O顺时针旋转60°所扫过的面积；
（3）线段AB绕点O顺时针旋转60°所扫过的面积．
【题型7 圆锥的计算】
【例7】（2022•赤峰）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12cm，侧面展开图为半圆形，则它的母线
长为（ ）
A．10cm B．20cm C．5cm D．24cm
【变式7-1】（2022•无锡）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以AC所在直线为轴，把△ABC
旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．12π B．15π C．20π D．24π
【变式7-2】（2022秋•北安市校级期末）用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这
个圆锥的底面半径为（ ）
A．2πcm B．1.5cm C．πcm D．1cm
【变式7-3】（2022•常州一模）若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不
计），则这个圆锥的底面半径是 ，侧面积为 ．【题型8 圆柱的计算】
【例8】（2022秋•和平区期末）如图，已知矩形ABCD的周长为36cm，矩形绕它的一条边CD旋转形成
一个圆柱．设矩形的一边AB的长为xcm（x＞0），旋转形成的圆柱的侧面积为Scm2．
（1）用含x的式子表示：
矩形的另一边BC的长为 cm，旋转形成的圆柱的底面圆的周长为 cm；
（2）求S关于x的函数解析式及自变量x的取值范围；
（3）求当x取何值时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大；
（4）若矩形旋转形成的圆柱的侧面积等于18πcm2，则矩形的长是 cm，宽是 cm．
【变式8-1】（2022秋•龙凤区期末）一个底面直径8厘米，高12厘米的圆柱形杯子，里面装有6厘米深的
水，把一个圆锥形铁块完全浸没在水中，水面上升到离杯口2厘米的地方，这个圆锥形铁块的体积是（
）立方厘米．
A．32π B．48π C．64π D．72π
【变式8-2】（2022秋•定州市期末）有一位工人师傅将底面直径是10cm，高为80cm的“瘦长”形圆柱，
锻造成底面直径为40cm的“矮胖”形圆柱，则“矮胖”形圆柱的高是（ ）
A．25cm B．20cm C．10cm D．5cm
【变式8-3】（2022•黄冈）将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱
的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是 cm．
