文档内容
第 14 讲 圆与圆的位置关系
真题展示
2022 新高考一卷第 14 题
写出与圆 和 都相切的一条直线的方程 （填
， 都 正 确 ） ．考查目标试题以两个已知圆为背景，通过圆的方程可知两个圆的基本信息以及两个圆
的位置关系，由此可以求出所求公共切线的方程. 试题考查了圆与圆、直线和圆
的位置关系等基本概念，重点考查了考生逻辑推理能力、运算求解能力和综合
运用知识解决问题的能力.试题的解法以通性通法为基础，为不同能力水平的考
生提供了展示空间．如果考生能够将数与形相结合，那么运算过程将更为简捷.
试题亮点
试题背景来源于教材，考查了直线和圆的基本性质，对平面几何与解析几何
等知识综合应用的考查作了较好的设计.若考生从问题的简单情景中能应用圆的
定义去分析问题，则解答过程会更加简捷，从而体现出考生思维的灵活性．试
题为考生提供的思考角度是多样的，考生可以根据自己的能力水平想到不同的
解题路径和方法．试题对考生的数学运算、逻辑推理等数学学科素养的考查有
较好的体现.
此外，试题具有很好的开放性.考生可以用通性通法求解，但相对而言有些
方法计算会复杂一些．因此，试题突出考查考生的逻辑推理能力，通过"看一
看""推一推""想一想""算一算"，能够对不同思维水平的考生进行区分，全面系
统地考查考生对核心概念、基本原理、基本方法的掌握程度．试题基于数学的
基础知识，但又打破了固有的命题模式.
知识要点整理
知识点一 圆的标准方程
(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.(2)方程： ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 .
(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是 x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 .
知识点二 点与圆的位置关系
点M(x ，y )与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
0 0
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 |CM|＝r (x －a)2＋(y －b)2＝r2
0 0
点M在圆外 |CM|>r (x －a)2＋(y －b)2>r2
0 0
点M在圆内 |CM|0时，二元二次方程 x 2 ＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 称为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件 图形
D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点
D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆
知识点四 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2 个 1 个 0 个
几何法：
判 d < r d ＝ r d > r
设圆心到直线的距离为d＝
断
代数法：
方
由消元得到一元二次方程，可得方程 Δ >0 Δ ＝ 0 Δ <0
法
的判别式Δ
归纳要点
解决实际问题的一般程序
仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案．
知识点二 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线，
将平面几何问题转化为代数问题．
第二步：通过代数运算，解决代数问题．
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．
知识点五 两圆的位置关系及其判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r ，r ，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：
1 2
位置关
外离 外切 相交 内切 内含
系
图示
d与r ，
1
|r －r |< dr ＋r d＝r ＋r d＝|r －r | d<|r －r |
2 1 2 1 2 1 2 1 2
＋r
2
系
(2)代数法：设两圆的一般方程为
C ：x2＋y2＋D x＋E y＋F ＝0(D＋E－4F >0)，
1 1 1 1 1
C ：x2＋y2＋D x＋E y＋F ＝0(D＋E－4F >0)，
2 2 2 2 2
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个
2个 1个 0个
数
两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含
三年真题
一、单选题
1．若直线 是圆 的一条对称轴，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【详解】由题可知圆心为 ，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即 ，解得 ．
故选：A．2．已知直线 （ 为常数）与圆 交于点 ，当 变化时，若 的最小值为2，则
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题可得圆心为 ，半径为2，
则圆心到直线的距离 ，
则弦长为 ，
则当 时，弦长 取得最小值为 ，解得 .
故选：C.
3．直线 关于点 对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为 ，
则其关于点 对称的点的坐标为 ，
因为点 在直线 上，
所以 即 .
故选：D.
4．已知圆心为 的圆与 轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【详解】根据题意知圆心为 ，半径为 ，故圆方程为： .
故选：B.
5．已知半径为1的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【详解】设圆心 ，则 ，
化简得 ，
所以圆心 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
所以 ，所以 ，
当且仅当 在线段 上时取得等号，
故选：A.
6．已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y= 图像上
的点，则|OP|=（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【详解】因为 ，所以点 在以 为焦点，实轴长为 ，焦距为 的双曲线的右支上，
由 可得， ，即双曲线的右支方程为 ，而点 还在函数
的图象上，所以，
由 ，解得 ，即 ．
故选：D.
7．已知⊙M： ，直线 ： ， 为 上的动点，过点 作⊙M的切线
，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】圆的方程可化为 ，点 到直线 的距离为 ，所以直
线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以
，而 ，
当直线 时， ， ，此时 最小．
∴ 即 ，由 解得， ．
所以以 为直径的圆的方程为 ，即 ，两圆的方程相减可得： ，即为直线 的方程．
故选：D.
8．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由于圆上的点 在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ，
圆的标准方程为 .
由题意可得 ，
可得 ，解得 或 ，
所以圆心的坐标为 或 ，
圆心 到直线 的距离均为 ；
圆心 到直线 的距离均为
圆心到直线 的距离均为 ；
所以，圆心到直线 的距离为 .
故选：B.
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
9．若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+【答案】D
【分析】根据导数的几何意义设出直线 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ，
函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
由于直线 与圆 相切，则 ，
两边平方并整理得 ，解得 ， （舍），
则直线 的方程为 ，即 .
故选：D.
10．点(0，﹣1)到直线 距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【详解】由 可知直线过定点 ，设 ，
当直线 与 垂直时，点 到直线 距离最大，
即为 .
故选：B.
11．已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【详解】圆 化为 ，所以圆心 坐标为 ，半径为 ，设 ，当过点 的直线和直线 垂直时，圆心到过点 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时
根据弦长公式得最小值为 .
故选：B.
二、多选题
12．已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【详解】圆心 到直线l的距离 ，
若点 在圆C上，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点 在圆C内，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点 在圆C外，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点 在直线l上，则 即 ，
所以 ，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.13．已知点 在圆 上，点 、 ，则（ ）
A．点 到直线 的距离小于
B．点 到直线 的距离大于
C．当 最小时，
D．当 最大时，
【答案】ACD
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
直线 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以，点 到直线 的距离的最小值为 ，最大值为 ，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当 最大或最小时， 与圆 相切，连接 、 ，可知 ，
， ，由勾股定理可得 ，CD选项正确.
故选：ACD.
三、填空题14．若直线 与圆 相交所得的弦长为 ，则 _____．
【答案】
【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离为 ，
由勾股定理可得 ，因为 ，解得 .
故答案为： .
15．设点 ，若直线 关于 对称的直线与圆 有公共点，则a的取
值范围是________．
【答案】
【详解】解： 关于 对称的点的坐标为 ， 在直线 上，
所以 所在直线即为直线 ，所以直线 为 ，即 ；
圆 ，圆心 ，半径 ，
依题意圆心到直线 的距离 ，
即 ，解得 ，即 ；
故答案为：
16．设点M在直线 上，点 和 均在 上，则 的方程为______________．
【答案】【详解】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线 上，
∴设点M为 ，又因为点 和 均在 上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴ ，
，解得 ，
∴ ， ，
的方程为 .
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线 的交点(1,-1).
, 的方程为 .
故答案为：
17．过四点 中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】 或 或 或 ．
【详解】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为 ，
（1）若过 ， ， ，则 ，解得 ，所以圆的方程为 ，即 ；
（2）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
（3）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
（4）若过 ， ， ，则 ，解得 ，所以圆的方程为
，即 ；
故答案为： 或 或 或
．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过 三点，圆心在直线 ，设圆心坐标为 ，则 ，所以圆的方程为 ；
（2）若圆过 三点， 设圆心坐标为 ，则 ，所以圆
的方程为 ；
（3）若圆过 三点，则线段 的中垂线方程为 ，线段 的中垂线方程 为 ，
联立得 ，所以圆的方程为 ；
（4）若圆过 三点，则线段 的中垂线方程为 ， 线段 中垂线方程为 ，联立
得 ，所以圆的方程为 ．
故答案为： 或 或 或
．
18．写出与圆 和 都相切的一条直线的方程________________．
【答案】 或 或
【详解】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为 ，
于是 ，
故 ①， 于是 或 ，
再结合①解得 或 或 ，所以直线方程有三条，分别为 ， ，
填一条即可
[方法二]：
设圆 的圆心 ，半径为 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
则 ，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然 符合题意；
又由方程 和 相减可得方程 ，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为 ，
直线OC与直线 的交点为 ，
设过该点的直线为 ，则 ，解得 ，
从而该切线的方程为 填一条即可
[方法三]：
圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心 为 ，半径为 ，
两圆圆心距为 ，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，
当切线为l时，因为 ，所以 ，设方程为
O到l的距离 ，解得 ，所以l的方程为 ，
当切线为m时，设直线方程为 ，其中 ， ，
由题意 ，解得 ，
当切线为n时，易知切线方程为 ，
故答案为： 或 或 .
19．若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，则 ____________．
【答案】
【详解】设直线 的方程为 ，则点 ，由于直线 与圆 相切，且圆心为 ，半径为 ，
则 ，解得 或 ，所以 ，
因为 ，故 .
故答案为： .
20．已知直线 和圆 相交于 两点．若 ，则 的值为_________．
【答案】5
【详解】因为圆心 到直线 的距离 ，
由 可得 ，解得 ．
故答案为： ．
21．在平面直角坐标系xOy中，已知 ，A，B是圆C： 上的两个动点，满足 ，
则△PAB面积的最大值是__________．
【答案】
【详解】
设圆心 到直线 距离为 ，则 ，
所以点P到AB的距离为 或 ，且
所以
令 （负值舍去）
当 时， ；当 时， ，因此当 时， 取最大值，即 取最大值为 ，
故答案为：22．设直线 与圆 和圆 均相切，则 _______；b=______．
【答案】
【详解】设 ， ，由题意， 到直线的距离等于半径，即 ，
，
所以 ，所以 （舍）或者 ，
解得 .
故答案为：
三年模拟
一、单选题
1．已知圆 的方程为 ，若直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心， 为半径
的圆与圆 有公共点，则实数 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由圆 方程得：圆心 ，半径 ；
直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心， 为半径的圆与圆 有公共点，
圆心 到直线 的距离 ，
即 ，解得： ， 的最小值为 .故选：D.
2．已知圆 的弦AB的中点为 ，直线AB交y轴于点M，则 的值为
（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】A
【详解】由题设可得 ，圆心 ，则 ．
根据圆的性质可知， ，
∴AB所在直线的方程为 ，即 ．
联立方程 ，可得： ，
设 ， ，则 ，故 ，
中，令 ，得 ，
∴ .
故选：A．
3．直线 分别与 轴， 轴交于 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为直线 分别与 轴， 轴交于 两点，
所以令 ，得 ，所以 ，
令 ，得 ，所以 ，所以 ，
因为圆的方程为 ，
所以圆心坐标为 ，半径为 ，
所以圆心到直线 的距离为
,
设点 到直线 的距离为 ，
所以 ，即 ，于是有 ，
所以 ，
故 面积的取值范围为 .
故选: A.
4．已知 ， ，动点 满足 ，则动点 的轨迹与圆 的位置关系是
（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．相离
【答案】B
【详解】设 ,由题意可知,
整理得,点 的轨迹方程为 ,
其图形是以 为圆心，以2为半径的圆，
而圆 的圆心坐标为 ,半径为1,
可得两圆的圆心距为3,等于 ,则动点 的轨迹与圆 的位置关系是外切.
故选：B.
5．已知圆 的半径为3，圆 的半径为7，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是（ ）
A．0 B．4 C．8 D．12
【答案】C
【详解】因为两圆相交，所以两圆的圆心距 即 ，仅有C满足，
故选：C
6．设 ，已知直线 与圆 ，则“ ”是“直线 与圆 相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为直线 与圆 ，
由点到直线的距离公式可得: ，解得： 且 ，
因为 成立，则 且 一定成立，
但 且 成立，则 不一定成立，
所以“ ”是“直线 与圆 相交”的充分不必要条件，
故选：A.
7．直线 ： 和圆 ： 在同一坐标系的图形只能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】∵圆 的方程可化为： ，
∴圆心 ，半径 ，
又直线 的方程可化为： .
由4个选项的圆心 都在第三象限，
∴ ，∴ ，∴排除选项C，D.
又圆心 到直线的距离 ，
∴直线 与圆 相切，故选项A正确，选项B错误．
故选：A．
8．已知点P是曲线 上的动点，则点P到直线 的距离的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由 得 ，所以曲线C是以 为圆心， 的圆，
因为点 到直线 的距离为 ，所以点P到直线 的距离的最大值为 .
故选：B．
9．已知斜率存在的直线l与圆C： 相交于P，Q两点，点A为圆C与y轴正半轴的交点，
记直线AP，AQ的斜率分别为 ， ，当 时，直线l恒过点（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设直线l的方程为 ， ，
联立直线与圆的方程可得 ，消去 可得
结合韦达定理可得
由题知 ，由 ，得 ，
整理得 ，
所以 ，
化简得 ，所以直线l的方程为 ，即 ，
由 ，得 ，故直线l恒过点 ，故选:A．
10．已知直线 与圆 相切，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 ，得 ，
所以圆心 ，半径 .
因为直线 与圆 相切，
所以 ，解得 ，
故选:A.
二、多选题
11．如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点 ，以x轴非负半轴为始边作锐角 ， ， ，
它们的终边分别与单位圆相交于点 ， ，P，则下列说法正确的是（ ）A．
B．扇形 的面积为
C．
D．当 时，四边形 的面积为
【答案】AD
【详解】由题意圆的半径
选项A：由题意得
所以
所以 ，故A正确；
选项B：因为 ，
所以扇形 的面积 ，
故B错误；
选项C，故C错误；
选项D：
因为 ，
所以
故D正确
故选：AD.12．己知直线l： 与圆C： 相交于A，B两点，则（ ）
A．直线l恒过点 B．当 时，圆C关于直线l对称
C． 的取值范围为 D．若 ，则
【答案】ABD
【详解】选项A：直线l的方程可化为 ，令 ，得 ，故直线l恒过点 ，
A正确；
选项B：当 时，直线l的方程可化为 ，圆C的标准方程为 ，圆心
在直线l上，故圆C关于直线l对称，B正确.
选项C：当直线l经过圆心时， 最大，为直径 ；易知点 是圆C内的一点，所以当直线l与
直线CM垂直时， 最小，为 ，所以 的取值范围为
，C错误.
选项D：若 ，则 ，又当 时，圆心C到直线l的距离为3，所以
，解得 ，D正确，
故选：ABD
三、填空题
13．已知正实数 满足 ，则 的取最小值___________.
【答案】
【详解】设直线 ，点 在直线 上，且在第一象限，设点 ，
所以 ，
如图所示，
点A关于直线 对称的点设为 ，
则有 解得 ，
所以 ，由图可知，当 在直线 时，
最小，最小值为 ，
即 的最小值为 ，
故答案为： .
14．在平面直角坐标系中， ， 两点绕定点 按顺时针方向旋转 角后，分别到 ，
两点位置，则 的值为______．
【答案】 ##
【详解】依题意，点P在线段 的中垂线 上，点P也在线段 的中垂线 上，连 ，而 ， ， ， ，因此 ，
而 ，即 ，有 ，于是得 ，
直线 过 中点 ，而直线 斜率为1，则直线 的斜率为-1，方程为 ，直线 的方程为
，
于是得点 ，令直线 交 于点 ， ， ， ，
所以 .
故答案为：
15．设 ．若直线 与曲线 仅有一个公共点，则 ______．
【答案】
【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，由题意可得 ，解得 .
故答案为： .
16．直线 与直线 的夹角大小为________.
【答案】 ##
【详解】因为直线 的斜率不存在，倾斜角为 ，
直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，
故直线 与直线 的夹角为 ，故答案为： ．
17．已知方程组 无解，则实数 的值等于______.
【答案】
【详解】由题知，方程组 无解，
所以直线 与直线 平行，
所以 ，解得 ，
当 时，两直线重合，方程组有无数解，不满足题意，
当 时，两直线平行，方程组有无解，满足题意，
故答案为：
18．已知圆 的方程为 ， 是圆 上一动点，点 ， 为线段 的中点，则 的
最小值为__________.
【答案】 ##
【详解】设 ， ，点 为线段 的中点，有 ，得 ，
在圆 上，满足圆的方程，则有 ，化简得 点轨迹方程为
，
点轨迹为以 为圆心，1为半径的圆，如图所示，，所以 的最小值为 .
故答案为：
19．若直线 过 ，且被圆 截得的弦长为 ，则直线 方程为______
【答案】 或
【详解】由 ，得 ，
所以圆 的标准方程为 ，即圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
因为直线 被圆 截得的弦长为 ，
所以圆心到直线 的距离为 ，
当斜率不存在时，直线 的方程为 ，也符合题意；
当斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ，
因为圆心 到直线 ： 的距离为 ，
所以 ，解得 ，
所以直线方程为 ．
即所求直线 的方程为 或 ．
故答案为： 或 ．20．由直线 上的点 向圆 ： 引两条切线 和 （ 为切点），设
，则 的最小值为___________，此时点 的坐标为___________.
【答案】 ##
【详解】圆 ： 的圆心为 ，半径 ，
则点 到直线 的距离 .
连接 ，设 ，则 ，
∵ ， ，则 ，
∴ ，当且仅当 时等号成立，
故 最小值为 ；
当 与直线 垂直时， 取到最小值时，
设直线 的方程为 ，
代入 得 ，解得 ，
即直线 的方程为 ，
联立方程 ，解得 ，
故点 的坐标为 .
故答案为： ， .
