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第 14 讲 函数的图象
1.利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称
性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图象――――――→y＝ － f (x )的图象；
y＝f(x)的图象――――――――→y＝ f ( － x )的图象；
y＝f(x)的图象――――――――→y＝ － f ( － x )的图象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象――――――――――→y＝logx(a>0，且a≠1)的图象.
a
(3)伸缩变换
y＝f(x)―――――――――――――――――→y＝f(ax).
y＝f(x)―――――――――――――――――→y＝Af(x).
(4)翻折变换
y＝f(x)的图象―――――――――――――――――→y＝ |f (x ) |的图象；
y＝f(x)的图象―――――――――――――――――→y＝ f ( | x | )的图象.
[ π π]
1、【2022年全国甲卷】函数y=(3x−3−x)cosx在区间 − , 的图象大致为（ ）
2 2
A． B．C． D．
【答案】A
π π
【解析】令f(x)=(3x−3−x )cosx,x∈[− , ]，
2 2
则f(−x)=(3−x−3x )cos(−x)=−(3x−3−x )cosx=−f(x)，
所以f(x)为奇函数，排除BD；
π
又当x∈(0, )时，3x−3−x>0,cosx>0，所以f(x)>0，排除C.
2
故选：A.
2、【2022年全国乙卷】如图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3]的大致图象，则该函数是
（ ）
−x3+3x x3−x 2xcosx 2sinx
A．y= B．y= C．y= D．y=
x2+1 x2+1 x2+1 x2+1
【答案】A
x3−x
【解析】设f(x)= ，则f(1)=0，故排除B;
x2+1
2xcosx π
设ℎ(x)= ，当x∈(0, )时，0<cosx<1，
x2+1 22xcosx 2x
所以ℎ(x)= < ≤1，故排除C;
x2+1 x2+1
2sinx 2sin3
设g(x)= ，则g(3)= >0，故排除D.
x2+1 10
故选：A.
3、【2019年新课标2卷理科】设函数 的定义域为R，满足 ，且当 时，
.若对任意 ，都有 ，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 时， ， ， ，即 右移1个单位，图象变
为原来的2倍．
如图所示：当 时， ，令 ，整理得：
， （舍）， 时， 成立，即
， ，故选B．1、如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f的值为
( )
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】 B
【解析】 由图可知f(1)＝2，f(3)＝1，则＝1，f＝f(1)＝2.
2、已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )
【答案】 C
【解析】 由函数f(x)的图象知a>1，－1<b<0.
∴g(x)＝ax＋b在R上是增函数，且g(0)＝1＋b>0.
因此选项C满足要求.
3、设函数f(x)＝则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是( )
A. (－∞，1) B. (0，＋∞)
C. (－1，0) D. (－∞，0)
【答案】 D
【解析】 作出函数f(x)的图象如图，所以函数f(x)在区间(－∞，0)上为减函数，且当x≥0时，f(x)＝1.因为
f(x＋1)<f(2x)，观察图象可得解得x<0，所以满足f(x＋1)<f(2x)的x 的取值范围是
(－∞，0).
4、 (多选)(2022·包场高级中学高三开学考试)关于函数f(x)＝|ln |2 －x||，下列说法
中正确的有( )
A. f(x)在区间(1，2)上单调递增
B. f(x)的图象关于直线x＝2对称
C. 若x≠x，f(x)＝f(x)，则x＋x＝4
1 2 1 2 1 2D. f(x)有且仅有两个零点
【答案】 ABD
【解析】 根据图象变换作出函数f(x)的图象，由图象知f(x)在区间(1，2)上单调递增，故A正确；函数图象
关于直线x＝2对称，故B正确；如图，若f(x)＝f(x)＝k，则直线y＝k与函数f(x)的图象有4个交点，设最
1 2
左边两个交点横坐标分别是x，x，则x＋x＝4不成立，故C错误；f(x)的图象与x轴仅有两个公共点，即
1 2 1 2
函数仅有两个零点，故D正确．故选ABD.
考向一 作函数的图象
【例1】 作出下列函数的图象：
(1)y＝；(2)y＝|log (x＋1)|；
2
(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1.
【解析】(1)先作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，再作出y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称
部分，即得y＝的图象，如图①实线部分.
(2)将函数y＝log x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|
2
log (x＋1)|的图象，如图②.
2
(3)∵y＝2＋，故函数图象可由y＝图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图③.
(4)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得
图象如图④.
变式1、作出下列函数的图象：(1)(1)y＝2－2x；
(2)y＝log x＋2)]；
[3(
(3)y＝|log x)|.
(－
【解析】
：(1)作函数y＝2x的图象关于x轴对称的图象得到y＝－2x的图象，再将图象向上平移2个单位，可得y＝2
－2x的图象．如图1；
(2)因为y＝log x＋2)]＝－log [3(x＋2)]＝－log (x＋2)－1.
[3( 3 3
所以可以先将函数y＝log x的图象向左平移2个单位，可得y＝log (x＋2)的图象，再作图象关于x轴对称的
3 3
图象，得y＝－log (x＋2)的图象，最后将图象向下平移1个单位，得y＝－log (x＋2)－1的图象，
3 3
即为y＝log x＋2)]的图象．如图2；
[3(
(3)作y＝log 的图象关于y轴对称的图象，得y＝log x)的图象，再把x轴下方的部分翻折到x轴上方，可得
x (－
到
y＝|log x)|的图象．如图3.
(－
变式2、函数y＝ln 的图象可以看作是由函数y＝ln 的图象如何变换得到的？请至少写出两种不同的变换
顺序．
【解析】 ①y＝ln |x| y＝ln |2x| y＝ln |2x＋1|.
②y＝ln |x|―――→y＝ln |x＋1| y＝ln |2x＋1|.
方法总结：1.作函数图象的一般步骤为：
(1)确定函数的定义域．
(2)化简函数解析式．
(3)讨论函数的性质(如函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、极限等)以及图象上的特殊点(如极值点、与
坐标轴的交点、间断点等)、线(如对称轴、渐近线等)．
(4)选择描点法或图象变换法作出相应的函数图象．
2．采用图象变换法时，变换后的函数图象要标出特殊的线(如渐近线)和特殊的点，以显示图象的主要特征，
处理这类问题的关键是找出基本函数，将函数的解析式分解为只有单一变换的函数链，然后依次进行单一
变换，最终得到所要的函数图象．
考向二 图象的辨识例2、(2022·沭阳如东中学期初考试)函数的图象大致为
【答案】D
【解析】由题意可知，当x＝0时，y＝1，则排除A、C选项，且f(－x)＝＝ex(1－x2)≠f(x)，所以函数f(x)不
是偶函数，所以可排除选项B，故答案选D．
变式1、(2022·江苏淮安市六校第一次联考)(多选题)函数的图象可能是( )
【答案】ABC
【解析】由题意，①若a＞0，不妨取a＝1，则f(x)＝，则函数定义域为R，且为奇函数，当x＝0时，f(0)
＝0，当x≠0时，函数可化为f(x)＝，则f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减，在(－1，0)，(0，1)上
单调递增，故选项B可能；
②若a＜0，不妨取a＝－1，则f(x)＝，定义域为{x|x≠±1}，且为奇函数，当x＝0时，f(0)＝0，当x≠0
时，，则f(x)在(－∞，－1)，(－1，0)，(0，1)，(1，＋∞)上单调递减，故选项A可能；故不可能是选项
D；综上，答案选ABC．
变式2、（2022年广东梅州高三月考模拟试卷）已知函数 ，给出四个函数①|f
（x）|，②f（-x），③f（|x|），④-f（-x），又给出四个函数的大致图象，则正确的匹配方案是（ ）A. 甲-②，乙-③，丙-④，丁-① B. 甲-②，乙-④，丙-①，丁-③
C. 甲-④，乙-②，丙-①，丁-③ D. 甲-①，乙-④，丙-③，丁-②
【答案】B
【解析】根据题意，函数 ，其导数 ，
在区间 上， ， 为增函数，且 ，
在区间 上， ， 为减函数，且 （3） ，其简图如图：
对于① ，有 ，其图象全部在 轴上和 轴上方，对应图象丙，
② ，其图象与 的图象关于 轴对称，对应图象甲，
③ ，有 ，为偶函数，对应图象丁，
④ ，其图象与 的图象关于原点对称，对应图象乙，
故选： ．
变式3、 （2022年广东小榄中学高三月考模拟试卷）函数 的图象大致为（ ）A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设 ，则函数 的定义域为 ，关于原点对称，
又 ，所以函数 为偶函数，排除AC；
当 时， ，所以 ，排除D.
故选：B.
方法总结：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，
判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项
考向三 函数图象的应用
例3、已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x)＋f(2－x)＝0；②f(x)－f(－2－x)＝0；③在区间[－1，1]上的
表达式为f(x)＝则函数f(x)与g(x)＝ 的图象在区间[－3，3]上的交点的个数为________．
【答案】 6
【解析】 因为f(x)＋f(2－x)＝0，f(x)－f(－2－x)＝0，所以f(x)的图象的对称中心为(1，0)，f(x)的图象的对
称轴为直线x＝－1.结合③画出f(x)和g(x) 的部分图象，如图所示，由图可知f(x)与g(x)的图象在区间[－
3，3]上有6个交点．变式1、已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
在同一直角坐标系内，作出函数 ， ， ， 的图象如下：
因为 ， ， ，
所以 是 与 交点的横坐标； 是 与 交点的横坐标； 是 与
交点的横坐标；
由图象可得： .
故选：C.变式2、(2022·泰州中学期初考试)已知函数 若关于 的方程， 无实根，
则实数 的取值范围为( )
A. B.(－1，0) C. D．(0，1)
【答案】B
【解析】因为函数f（x）＝ ，
关于x的方程f（x）＝x+a无实根等价于函数 y＝f（x）的
图象与直线y＝x+a无交点，
设直线y＝x+a与f（x）＝ （x＞0）切与 点P（x ，
0
y ），由f′（x）＝ ，由已知有：
0
，解得x ＝1，则P（1，0），则切线方程为：y＝x﹣1，由图知：函数y＝f（x）的图象与直线
0
y＝x+a无交点时实数a的取值范围为实数a的取值范围为﹣1＜a＜0，故选：B．
变式3、（多选题）（2022年广东中山市高三月考模拟试卷）已知函数 ， ，下列
判断中，正确的有（ ）
A. 存在 ，函数 有4个零点
B. 存在常数 ，使 为奇函数
C. 若 在区间 上最大值为 ，则 的取值范围为 或D. 存在常数 ，使 在 上单调递减
【答案】BC
【解析】函数 函数图象如图所示：
由图象可知，函数 的图象与直线 不可能有4个交点，所以不存在 使函数
有4个零点，A选项错误；
当 时， ，函数定义域为R， ，此时 为奇函数，
B选项正确；
当 或 时， 在区间 上单调递增，最大值为 ；
当 时， ， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，最大值为 ，不
合题意；
当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，若
最大值为 ，则有 ，即 ，由 ，所以 ，解得
；综上， 在区间 上最大值为 ，则 的取值范围为 或 ，C选项正确；
若 在 上单调递减，则有 ，不等式组无解，故不存在常数 使 在 上单调递减，
D选项错误；
方法总结： 函数的图象在解题中有着十分广泛的应用，常见的有：研究函数的性质，解不等式，求函数
的零点等．
(1)利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、
奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应法则．
(2)利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象
交点的横坐标；不等式f(x)<g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现
了数形结合思想．
1、（2022·山东泰安·高三期末）若函数 （ 且 ）在 上为减函数，则函数
的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由函数 在 上为减函数，可知函数 的定义域为 或 ，故排除A，B
又 ，可知 在 单调递减，故排除D
故选：C
2、（2022年福州高级中学高三月考模拟试卷）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时
难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解
析式的特征.已知函数 的部分图象如图所示，则函数 的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数，
而D中的函数为偶函数，故排除D；
由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集，故排除B；
对于A，当 时， ，不满足图象；对于C，当 时， ，满足图象.
故排除A，选C.
故选：C3、（2022年闽江学院附中高三月考模拟试卷）已知函数 ，则函数 的大
致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 .
所以 ，
所以C选项的图象符合.
故选：C
4、(2022·泰州中学期初考试)(多选题)设函数 ，其中 表示
中的最小者.下列说法正确的有
A.函数 为偶函数
B.当 时,有C.当 时,
D.当 时,
【答案】ABC
【解析】在同一直角坐标系中画出函数y＝|x－2|，y＝x2，y＝|x＋2|的图象如右图所示，
由图象可知：f(x)＝ ，
显然有f(－x)＝f(x)，可得f(x)为偶函数；故A正确；
又当x≥1时，f(x)＝|x－2|，f(x－2)的图象可看作f(x)的图象右移2个单位得到，显然x≥1时，f(x)的图象
在f(x－2)图象之上，∴当x∈[1，+∞)时，有f(x－2)≤f(x)，故B正确；
又由图象可知：若x∈R时，f(x)≥0，可令t＝f(x)，
由y＝f(t)和y＝t(t≥0)的图象可知：当t≥0时，y＝t在曲线y＝f(t)的上方，∴当t≥0时，有t≥f(t)，即有
f(f(x))≤f(x)成立，故C正确；
若x∈[－4，4]，f(－4)＝2，f(－4)－2＝0，显然f(－4)＞|f(－4)－2|，故D不正确，
故选：ABC．
5、(2022·江苏淮安市六校第一次联考)(多选题)
已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋3)＝f(x－1)，若当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－1，则下列结论正确的
是( )
A．当x∈[－2，0]时， B．f(2019)＝1
C．y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称 D．函数g(x)＝f(x)－log x有3个零点
2
【答案】ABD
【解析】由题意，已知 f(x)是定义在R上的偶函数，且 f(x＋3)＝f(x－1)，即该函数周期为 4，又因为
x∈[0，2]时，f(x)＝2x－1，当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，f(x)＝f(－x)＝，所以选项A正确；f(2019)＝f(4×505－1)＝f(－1)＝f(1)＝1，所以选项B正确；y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称，则f(3)＋f(1)＝0，但是
f(3)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(3)＋f(1)≠0与f(3)＋f(1)＝0矛盾，所以选项C错误；可作出函数的图象即可得到，
函数有3个零点，所以选项D正确；综上，答案选ABD．
