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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 15 练 导数与函数的单调性（精练）
1.结合实例，借助几何直观地了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知函数 在区间 上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【分析】根据 在 上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知， 在 上恒成立，显然 ，所以 ，
设 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
，故 ，即 ，即a的最小值为 ．
故选：C．
二、填空题
2．（2023·全国·高考真题）设 ，若函数 在 上单调递增，则a的取值范围
是 .【答案】
【分析】原问题等价于 恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可
得 ，由右侧函数的单调性可得实数 的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数
的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得 在区间 上恒成立，
则 ，即 在区间 上恒成立，
故 ，而 ，故 ，
故 即 ，故 ，
结合题意可得实数 的取值范围是 .
故答案为： .
三、解答题
3．（2024·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)当 时，证明：当 时， 恒成立．
【答案】(1)见解析
(2)见解析【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；
（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当 时， 即可.
【详解】（1） 定义域为 ，
当 时， ，故 在 上单调递减；
当 时， 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减.
综上所述，当 时， 的单调递减区间为 ；
时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2） ，且 时， ，
令 ，下证 即可.
，再令 ，则 ，
显然 在 上递增，则 ，
即 在 上递增，
故 ，即 在 上单调递增，
故 ，问题得证
4．（2024·北京·高考真题）设函数 ，直线 是曲线 在点
处的切线．
(1)当 时，求 的单调区间.【答案】(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
【分析】（1）直接代入 ，再利用导数研究其单调性即可；
【详解】（1） ，
当 时， ；当 ， ；
在 上单调递减，在 上单调递增.
则 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
5．（2023·北京·高考真题）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
(1)求 的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先对 求导，利用导数的几何意义得到 ， ，从而得到关于 的方程组，
解之即可；
（2）由（1）得 的解析式，从而求得 ，利用数轴穿根法求得 与 的解，由此求
得 的单调区间；
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为 在 处的切线方程为 ，
所以 ， ，
则 ，解得 ，所以 .
（2）由（1）得 ，
则 ，
令 ，解得 ，不妨设 ， ，则 ，
易知 恒成立，
所以令 ，解得 或 ；令 ，解得 或 ；
所以 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
即 的单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 和 .
6．（2023·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程．
(2)若函数 在 单调递增，求 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最
后求解切线方程即可；
（2）原问题即 在区间 上恒成立，整理变形可得 在区间
上恒成立，然后分类讨论 三种情况即可求得实数 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
据此可得 ，
所以函数在 处的切线方程为 ，即 .
（2）由函数的解析式可得 ，
满足题意时 在区间 上恒成立.
令 ，则 ，
令 ，原问题等价于 在区间 上恒成立，
则 ，
当 时，由于 ，故 ， 在区间 上单调递减，
此时 ，不合题意;
令 ，则 ，
当 ， 时，由于 ，所以 在区间 上单调递增，
即 在区间 上单调递增，
所以 ， 在区间 上单调递增， ，满足题意.
当 时，由 可得 ，
当 时， 在区间 上单调递减，即 单调递减，
注意到 ，故当 时， ， 单调递减，由于 ，故当 时， ，不合题意.
综上可知：实数 得取值范围是 .
【点睛】方法点睛：
（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数
的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法
①函数在区间 上单调，实际上就是在该区间上 (或 )恒成立．
②函数在区间 上存在单调区间，实际上就是 (或 )在该区间上存在解集．
7．（2023·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1) 在 上单调递减
(2)
【分析】（1）代入 后，再对 求导，同时利用三角函数的平方关系化简 ，再利用换元法判
断得其分子与分母的正负情况，从而得解；
（2）法一：构造函数 ，从而得到 ，注意到 ，从而得到 ，进而
得到 ，再分类讨论 与 两种情况即可得解；
法二：先化简并判断得 恒成立，再分类讨论 ， 与 三种情况，利用零点存在
定理与隐零点的知识判断得 时不满足题意，从而得解.【详解】（1）因为 ，所以 ，
则
，
令 ，由于 ，所以 ，
所以 ，
因为 ， ， ，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减.
（2）法一：
构建 ，
则 ，
若 ，且 ，
则 ，解得 ，
当 时，因为 ，
又 ，所以 ， ，则 ，
所以 ，满足题意；
当 时，由于 ，显然 ，所以 ，满足题意；
综上所述：若 ，等价于 ，
所以 的取值范围为 .
法二：
因为 ，
因为 ，所以 ， ，
故 在 上恒成立，
所以当 时， ，满足题意；
当 时，由于 ，显然 ，
所以 ，满足题意；
当 时，因为 ，
令 ，则 ，
注意到 ，
若 ， ，则 在 上单调递增，
注意到 ，所以 ，即 ，不满足题意；
若 ， ，则 ，
所以在 上最靠近 处必存在零点 ，使得 ，
此时 在 上有 ，所以 在 上单调递增，则在 上有 ，即 ，不满足题意；
综上： .
【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论 这种情况的关键是，注意到 ，从而分类讨论
在 上的正负情况，得到总存在靠近 处的一个区间，使得 ，从而推得存在
，由此得解.
8．（2023·全国·高考真题）已知函数
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析.
(2)
【分析】（1）求导,然后令 ,讨论导数的符号即可;
（2）构造 ,计算 的最大值,然后与0比较大小,得出 的分界点,再对 讨论即可.
【详解】（1）
令 ,则
则
当当 ,即 .
当 ,即 .
所以 在 上单调递增,在 上单调递减
（2）设
设
所以 .
若 ,
即 在 上单调递减,所以 .
所以当 ,符合题意.
若
当 ,所以 .
.
所以 ,使得 ,即 ,使得 .
当 ,即当 单调递增.所以当 ,不合题意.
综上, 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性 在定义域内是减函数,若 ,当
,对应当 .
9．（2023·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求导，再分类讨论 与 两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
【详解】（1）因为 ，定义域为 ，所以 ，
当 时，由于 ，则 ，故 恒成立，
所以 在 上单调递减；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增；
综上：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增.
10．（2022·浙江·高考真题）设函数 ．
(1)求 的单调区间；【答案】(1) 的减区间为 ，增区间为 .
【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
【详解】（1） ，
当 ， ；当 ， ，
故 的减区间为 ， 的增区间为 .
11．（2022·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
【答案】(1) 的减区间为 ，增区间为 .
【分析】（1）求出 ，讨论其符号后可得 的单调性.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 的减区间为 ，增区间为 .
12．（2022·北京·高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
【答案】(1)
(2) 在 上单调递增.
【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；
（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；【详解】（1）解：因为 ，所以 ，
即切点坐标为 ，
又 ，
∴切线斜率
∴切线方程为：
（2）解：因为 ，
所以 ，
令 ，
则 ，
∴ 在 上单调递增，
∴
∴ 在 上恒成立，
∴ 在 上单调递增.
【A级 基础巩固练】
一、单选题
1．（23-24高二下·四川广元·阶段练习）如图是 的导函数 的图象，对于下列四个判断，其中
正确的判断是（ ）A．当 时， 取得极大值 B． 在 上是增函数
C．当 时， 取得极大值 D． 在 上是增函数，在 上是减函数
【答案】D
【分析】由导函数的图象，确定导函数的正负，由此得到函数 的单调性，由极值的定义判断函数
的极值，由此判断四个选项即可.
【详解】根据导函数 的图象可知，
当 时， ，当 时， ，
可知 在 内单调递减，在 单调递增，
所以当 时， 取得极小值，当 时， 取得极大值，当 时， 取得极小值，
故ABC错误，D正确.
故选：D.
2．（23-24高二下·安徽合肥·期中）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D． 和
【答案】D
【分析】求导可得 ，令 ，解不等式即可求解.
【详解】 ，则 且 ，
令 或 ，
所以函数 的单调减区间为 和 .
故选：D
3．（2024·陕西榆林·一模）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意得 在 上恒成立，分离参数即可得解.
【详解】 在 上恒成立，即 ，所以 ，则 的取值范围是 .
故选：B.
4．（23-24高二下·重庆·期中）已知函数 的定义域内R，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数 的解析式可得分母不为0，等价于函数 的图象与 轴没有交点，利
用导数求 的最值可得出实数m的取值范围．
【详解】函数 的定义域内R，则 恒成立，
令 ，则 ，
时， ； 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增， ，
时， ，则有 ，得 ，
所以实数m的取值范围是 .
故选：D5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 在定义域内单调递增，则实数 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得 在 上恒成立，即 在 上恒成立．利用
二次函数的性质求出 在 上的最大值即可得答案.
【详解】解： 的定义域为 ，且 在定义域内单调递增，
在 上恒成立，
即 在 上恒成立．
令 ，
，
，
即实数 的取值范围为 ．
故选：B
6．（22-23高三上·江西赣州·期末）已知 ， ， ， ，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求导判断单调性，再比较 的大小.【详解】因为 ，所以函数 是 上的减函数.
又 ， ，
，函数 是 上的减函数，所以
故选：D
7．（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知函数 ，其导函数 的图象如图所示，则（ ）
A． 有2个极值点 B． 在 处取得极小值
C． 有极大值，没有极小值 D． 在 上单调递减
【答案】C
【分析】通过导函数图象分析函数的单调性即可得出结论.
【详解】由题意及图得，当 时， ；当 时 ， ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 有一个极大值，没有极小值，故ABD错误，C正确，
故选：C.
8．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数 在区间 上单调递增，则a的最小值为
（ ）
A． B． C．e D．
【答案】A【分析】 在 上恒成立，即 ，构造函数 ， ，求导得到其单调性，
得到 ，得到 ，求出答案.
【详解】由题意得 在 上恒成立，
，故 ，
即 ，
令 ， ，
则 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，
故 ，
故 ，故a的最小值为 .
故选：A
9．（22-23高二下·北京房山·期末）已知函数 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求导得到 ，函数单调递增，得到大小关系.
【详解】 ，因为 ，故 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
故选：D.10．（20-21高二上·广西河池·期末）已知函数 在区间 上不单调，则实数a的取值范
围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由于函数 在区间 上不单调，等价于函数 在区间 上存在极值点，对函数 求导，
对 分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间 内，可得关于 的不等式，即可求出结果．
【详解】由 .
①当 时，函数 单调递增，不合题意；
②当 时，函数 的极值点为 ，
若函数 在区间 不单调，必有 ，解得 ；
综上所述：实数a的取值范围为 .
故选：B.
11．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知 是函数 的导数，且 ， ，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令 ，利用导数说明函数的单调性，再由 ，不等式 即
，结合单调性解得即可.【详解】令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，又 ，所以 ，
不等式 ，即 ，即 ，所以 ，
即不等式 的解集为 .
故选：B
12．（23-24高三上·湖南·阶段练习）设函数 的定义域为 ，其导函数为 ，且满足
，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合题意，构造函数 利用已知条件判断出 在 上单调递减，结合 ，
构造出 从而求得解集.
【详解】设 ，即 ，
在 上单调递减，又 ，
∴不等式 ,
即 原不等式的解集为 ．
故选:B．
二、多选题
13．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）已知函数 及其导函数 的部分图象如图所示，设函数，则下列命题正确的是（ ）
A．函数 先减后增再减 B．函数 先增后减
C．函数 在区间 上是减函数 D．函数 在区间 上是增函数
【答案】AD
【分析】对于A、B选项，由题意可得，区分 与 对应的图象，从图象可以直接观察得到 的单
调性，也可以根据 图象得出，从左至右 的正负，也可以判断 的单调性；
对C、D选项，可以求 的导函数 ，然后结合图象，可以判断出 区间 上的正负，从而得
到单调性.
【详解】对于A、B选项，由题意可得， 与 对应的图象如下图所示，法一：直接观察 的图象
可以得出函数 先减后增再减；法二：由 图象可得， 的正负变化，从左至右分别为负、正、
负，从而可以判断原函数 的单调性先减后增再减，所以A正确，B错误；
对于C、D选项，因为 ，所以 ，
由图可得，在区间 上， 图象在 图象上方，即 ，
所以 ，所以函数 在区间 上是增函数，因此C错误，D正确，
故选：AD.
14．（23-24高三上·山西晋中·阶段练习）函数 满足 ，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】构造函数 ，求导得到 递减，然后根据单调性比较大小即可.
【详解】令 ，则 ，从而 递减，
则 ，即 ， ， ， .
故选：AC.
15．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数 ，则满足 的整数
的取值可以是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】BCD
【分析】由函数的单调性与奇偶性转化后求解．
【详解】由题意得 ，故 为偶函数，
而 ，当 时， ，
故 在 单调递增，在 单调递减，
若 ，则 ，得 ，即 ，解得
故选：BCD
三、填空题
16．（2024高三下·全国·专题练习）已知 ，则 的单调减区间为 .
【答案】
【分析】根据题意，求导可得 ，令 ，代入计算，即可得到结果.
【详解】函数 的定义域为 ，
求导得 ，
由 ，得 ，所以 的单调减区间为 .
故答案为：
17．（23-24高三下·上海·阶段练习）若函数 在 上为减函数，则实数 的取值范围是
．
【答案】 ；
【分析】利用函数在某区间上为减函数等价于导函数在该区间上恒不大于0,再利用分离参变量来研究不等
式恒成立，就可解得结果.
【详解】由 可得： ，
由 在 上为减函数，可得 在 上恒有 ，
即 ，整理得： ，
因为 ，所以 ，则 .故答案为： .
18．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，若存在 ，使得 ，则实数 的
取值范围 ．
【答案】
【分析】由题意， 即 ，构造函数 ，利用导数求出最大值即可.
【详解】存在 ，使得 可得 ，
构造函数 ，其中 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递增，当 时， ，此时函数 单调递减，
则 ，所以， ，解得 ，因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
19．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知函数 ，其中 是自然对数的底数，若
，则实数 的取值范围是 ．
【答案】 .
【分析】利用奇偶性及单调性去函数符号解一元二次不等式即可.
【详解】易知 ，且 ，
即 为奇函数，
又 ，当且仅当 时取得等号，故 为增函数，
对于 ，
所以 ，
故答案为： .
20．（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数 ，若 在区间 上单调递增，
则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】由导数求解函数的单调递增区间，即可列不等式求解.
【详解】由 得 ，
由于函数 的定义域为 ，故令 ,解得 ，故 的单调递增区间为 ，
若 在区间 上单调递增，则 ，解得 ，
故答案为：
四、解答题
21．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 .讨论 的单调性；
【答案】当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
【分析】求导后为类一次函数，由于函数的定义域为 ，所以分为 和 两类.
【详解】 的定义域为 ， ，当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
22．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ．当 时，求 的单调区
间；
【答案】 的单调递增区间为 ，无单调递减区间
【分析】对函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间.
【详解】当 时， ，
则 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间．
23．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ， .讨论函数 的单调性；
【答案】答案见解析
【分析】求导之后为可因式分解的类二次函数，由于函数 的定义域为 ，所以 有一个零点
或者无零点，根据方程 是否有解分为 和 两类.
【详解】函数 的定义域为 ，求导得 ，
①当 时，有 ，此时函数 在区间 上单调递减；
②当 时，当 时， ，此时函数 在区间 上单调递增；
当 时， ，此时函数 在区间 上单调递减.
所以当 时，函数 在区间 上单调递减；当 时，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
24．（2024高三·全国·专题练习）已知 ，求 的单调区间.
【答案】 在 上单调递减，在 上单调递增.
【分析】先求 的定义域，再对 求导，因为 ，利用导数正负与函数单调性的关系，即可得到
结果.
【详解】由题意， 的定义域为 ，
因为 ，所以 ，所以当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增.
综上， 在 上单调递减，在 上单调递增.
25．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 在 上单调递增，求实数a的取值范围.
【答案】
【分析】可得 对 恒成立，转化为 对 恒成立，求出
可得答案.
【详解】因为 ，
又 在 上单调递增，所以 对 恒成立，即 对 恒成立，
可得 对 恒成立；
令 ，且 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即 的取值范围是 .
26．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 ，其中 ，讨论 的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】 ，分类讨论 的取值范围，利用导数求函数单调区间.
【详解】函数 ，定义域是 ，
，
时， 时， ， 时， ， 的减区间是 ，增区间是 ；
时， 或 时， ， 时， ， 的增区间是 和 ，减区
间是 ；
时， 或 时， ， 时， ， 的增区间是 和 ，减区间
是 .
综上所述： 时， 的减区间是 ，增区间是 ；
时， 的增区间是 和 ，减区间是 ；
时， 的增区间是 ，无减区间；
时， 的增区间是 和 ，减区间是 .27．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，讨论 的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】求导得 ，分 、 、 、 讨论可得答案.
【详解】函数 的定义域为 ，
求导得 ，
①当 ，即 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
因此 在 上单调递增，在 上单调递减；
②当 ，即 时，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
因此 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
③当 ，即 时， 恒成立，因此 在 上单调递增；
④当 ，即 时，由 ，得 或 ，由 ，
得 ，
因此 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
综上所述，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
【B级 能力提升练】一、单选题
1．（2025·四川内江·模拟预测）已知 为 的导函数，则
的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据导函数的奇偶性排除BD，再由导函数的单调性排除A，即可得解.
【详解】 ，
所以 ，
因为 ，
所以 为奇函数，故排除BD，
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，排除A.
故选：C
2．（2024·陕西西安·模拟预测）若函数 在区间 内有两个零点，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】利用导数说明函数的单调性，依题意可得 ，解得即可.
【详解】因为 ，所以当 或 时 ，
即 在 ， 上单调递增，
当 时 ，即 在 上单调递减，
根据题意可得 ，即 ，解得 .
故选：A
3．（2024·江苏泰州·模拟预测）若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出函数 的导函数，利用换元法将题目条件转化为 在 上恒成立；再构造函
数 ，判断其函数的单调性，求出最大值即可解答.
【详解】因为函数 在 上单调递增，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立.
令 ，
则 ，
所以 在 上恒成立.又因为 在 上单调递增，
所以当 时 ，
故 .
故选：D.
4．（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数 ，若 成立，则实数a的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的性质，把函数不等式转化为代数不等式，再求解即可.
【详解】 ，所以 ，即 为偶函数，
对函数 ， ，则 ，
因为 ，所以 ， ，所以 ，故 在 上恒成立.
所以函数 在 上单调递增，所以 在 上单调递增.
所以 ，
所以 ，解得 或 ．
故选：B
5．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】先利用偶函数定义判断 为偶函数，再利用导数得到 在 上单调递减，则不等式等
价于 ，利用函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】函数 的定义域为 ，
，所以 为偶函数，
由 得 ，
当 时， ， ， ，
有 ，
， ， ，
有 ，故 ，
所以 在 上单调递减，又 ，
所以 等价于 ，由偶函数性质得 ，所以 ，
所以 ，故不等式 的解集为 .
故选：D
6．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数 有两个零点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求定义域，求导，当 时， 在 上单调递减，不合要求，当 时，得
到函数单调性和极值，最值情况，得到不等式，求出答案.【详解】 定义域为 ，
，
当 时， ，故 在 上单调递减，
故 不会有2个零点，舍去，
当 时，令 得， ，令 得， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 处取得极大值，也是最大值， ，
又 趋向于0时， 趋向于负无穷， 趋向于正无穷时， 趋向于负无穷，
要想函数 有两个零点，则 ，解得 .
故选：D
二、多选题
7．（2024·河南信阳·模拟预测）已知 为 上的可导函数，且 ，则下列不等式
一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】先构造函数 ，利用导数判断该函数的单调性；再利用单调性即可判断各个选项.
【详解】设 ， .
则 .
因为 所以 ，则函数 在区间 上单调递增，
所以 ，即 ， ；
，即 ， ；而A无法确定；故BD正确，AC错误.
故选：BD.
8．（23-24高三下·湖北·开学考试）设函数 且 在区间 上单调递减，
则 的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】利用导数可求得 的单调性，由此可得 的大致图象；分别在 和
的情况下，根据复合函数单调性可确定 的单调性，结合 的图象可构造不等
式组求得 的范围.
【详解】令 ， ，
，
当 时， ；当 时， ；
在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
令 ，解得： 或 ，
的大致图象如下图所示，当 时，若 在 上单调递减，则 在 上单调递减，
，解得： ；
当 时，若 在 上单调递减，则 在 上单调递增，
或 ，解得： ；
综上所述：实数 的取值范围为 ， 可能的取值为 和 .
故选：AC.
三、填空题
9．（2024高三上·全国·专题练习）已知函数 ，若 在 上恒成立，则a的取值
范围是
【答案】
【分析】由题意知恒成立的不等式为 ，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法，继而构造函
数，利用导数求解即可.
【详解】由题意知 ，其中
只需要 恒成立，
令 ， ，
， ，
设 ， ，则 ，
在 单调递减，
在 单调递减，，
；
故答案为：
10．（2024·山东·模拟预测）已知函数 ，则不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】要先证明函数的中心对称性，即 ，这样原不等式就可以化为 ，
再用求导来证明单调递增，从而就可以解出结果.
【详解】由已知得： ，
所以 ，即
则不等式 等价于 ，
再由 ，
可得 在 上单调递增，所以 ，解得 ，
故答案为： .
11．（2024·福建厦门·三模）已知奇函数 及其导函数 的定义域均为 ， ，当 时，
，则使不等式 成立的 的取值范围是 .
【答案】
【分析】构造函数 ，求导，结合已知可判断其单调性及奇偶性，结合函数的性质即可求解．
【详解】因为当 时， ，所以 ，
令 ，则 ， 单调递增，
因为 是奇函数，所以 ，
所以 ，
所以 为偶函数，图象关于 轴对称，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
大致图象如图：
所以 成立的 的取值范围是 ，
故答案为： .
四、解答题
12．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ,求 的单调区间.
【答案】答案见解析
【分析】先求导，然后讨论 的正负和 的大小关系，最后求出单调区间.
【详解】定义域 ,,
令 ,即解不等式 .
（1）当 时,可得 ，则不等式的解为 ,
的单调区间为：
（2）当 时, ,
① 时，即 ,解得 或 ,
的单调区间为：
② ,代入到 恒成立,
为增函数.
③ ,解得： 或 ,
的单调区间为：综上，当 时, 在 递增,在 递减,在 递增;
当 时, 在 递增;
当 时, 在 递增,在 递减,在 递增;
当 时, 在 递增,在 递增.
13．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ．讨论 的单调性．
【答案】答案见解析.
【分析】求出函数 的导数 ，再按照 值的正负零分类，并结合一元二次方程的判别式求出单调区
间即可.
【详解】函数 的定义域为 ，求导得 ，
（i）当 时， ，由 ，得 ；由 ，得 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
（ⅱ）当 时， 的判别式 ，
若 ，①当 时， ， 在 上恒成立， 在 上单调递增；
②当 时， ，方程 的二根 ，
由 ，得 或 ，由 ，得 ，
函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；若 ，①当 时， ， 在 上恒成立， 在 上单调递减；
②当 时， ，方程 的二根 ，
由 ，得 ，由 ，得 或 ，
函数 在 上单调递增，在 ， 上单调递减，
所以当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调
递减；
当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单
调递增.
14．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时， ，求 的取值范围.
【答案】(1) 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 和
(2) .
【分析】（1）先求导函数，再根据导函数正负求出单调区间；
（2）先化简不等式参数分离，再根据最值得出最小值即可求参数范围.
【详解】（1）由题得函数 的定义域为 ，当 时，
，
当 时， ， 单调递增，
当 时， 单调递减.
所以当 时， 的单调递减区间为 ，
单调递增区间为 和 .
（2）当 时， ，
等价于 ，
即 ，
即等价于当 时， .
令 ，
所以
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，
即 的取值范围为 .【C级 拓广探索练】
一、单选题
1．（23-24高二下·广东·期中）已知不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将不等式变形为 ，根据 的单调性得 ，再用常数分离法求出 的取
值范围.
【详解】由 得 ，
即 ，
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，
而 等价于 ，
∴ ，即 ，
令 ， ，则 ，
所以 在 时， ， 递增；
在 时， ， 递减，
所以 最大值为 ，∴ ．
故选：C【点睛】方法点睛：同构法解不等式恒成立求参数范围问题时先将原不等式化成 后再
利用函数 单调性得到 与 的大小关系，由此得到参数范围.
2．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数 ，则 ， ， 的大小关
系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先判断函数 的奇偶性，利用导数判断函数 的单调性，令 ，
利用导数判断 的单调性，从而可得 ，进而可得比较函数值的大小．
【详解】∵ ，
∴ ，∴ 是偶函数，
，
当 时， ，故函数 在 上单调递增，
令 ，则 ，
即函数 在 上单调递减，故 ，
即可 ，而 ，
所以 ，∴ ．
故选：C．
【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数 ；
(3)利用导数研究 的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 在 上存在单调递减区间，则实数
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，转化为 在 上有解，得到 在 上有解，令
，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解.
【详解】因为函数 ，可得 ，
因为函数 在 上存在单调递减区间，
可得 在 上有解，
即 在 上有解，令 ，则 ，且 ，
当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，故 ，所以 .
故选：D．
【点睛】结论点睛：“恒成立问题”与“有解问题”在等价转化上的区别：
恒成立问题 有解问题
① 恒成立 ； 恒成立
① 有解 ；
．
有解 ．
② 恒成立 ；
② 有解 ；
恒成立 ．
有解 ．
③ 恒成立
③ 有解
；
；
恒成立
有解
． ．
④ ，使得
④
．
．
二、多选题
4．（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知函数 ，若 ，则
（ ）
A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递增
C． 中最大的是 D． 中最小的是【答案】ACD
【分析】对于AB，对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间进行判断，对于CD，利用函数的单
调性比较大小即可.
【详解】对于AB， 的定义域为 ，
由 ，得 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减，
所以 ，
所以当 或 时， ，
所以 在 和 上递减，
所以A正确，B错误，
对于CD，因为 在 上递增，且 ，
所以 ，所以
因为 ，所以 ，
因为 在 上递减，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，所以 中最大的是 ，最小的是 ，所以CD正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用函数的单调性比
较大小，解题的关键是对函数正确求导，由导数的正负求出函数的单调区间，考查计算能力，属于较难题.
三、填空题
5．（2024高三下·全国·专题练习）若函数 在区间 上单调递增， 则
的最小值为 .
【答案】
【分析】由函数 在区间 上单调递增，转化为 对
恒成立，求参数的取值范围即可.
【详解】因为函数 在区间 上单调递增，
所以 对 恒成立，
即 对 恒成立，
与目标式 比较，令 ，得 ，
因此令 (等比例赋值法),
则 . ( 时等号成立).
所以 的最小值为 .
故答案为：
6．（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）已知定义在 上的偶函数 ，其导函数为 ，若
， ，则不等式 的解集是 .
【答案】【分析】先判断 为不等式的解，再当 时，根据题意令 ，求导后结合已知条件可得
在 上递增，且 为偶函数，由 ，得 ，则将 转化为 ，
再利用 的奇偶性和单调性可求得结果.
【详解】当 时，由 ，得 ，则 ，
所以 成立，所以 符合 ，
当 时，令 ，则 ，
因为 ，
当 时， ，
所以 在 上递增，
因为 定义在 上的偶函数，所以 ，
所以 ，所以 为偶函数，
因为 ， 定义在 上的偶函数，所以 ，
所以
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，
因为 在 上递增，
所以 ，且 ，得 ，且 ，
综上， ，即不等式 的解集是 ，
故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查函数奇偶性和单调性的应用，解题的关键是根据题
意构造函数 ，求导后判断函数的单调性，再结合函数的奇偶性解不等式，考查数学转化思想和
计算能力，属于较难题.
