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专题 27.1 成比例线段【七大题型】
【人教版】
【题型1 成比例线段的概念】...............................................................................................................................1
【题型2 成比例线段的应用】...............................................................................................................................2
【题型3 比例的证明】...........................................................................................................................................3
【题型4 利用比例的性质求比值】.......................................................................................................................4
【题型5 利用比例的性质求参】...........................................................................................................................4
【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】.......................................................................................................5
【题型7 黄金分割】...............................................................................................................................................6
【知识点1 成比例线段的概念】
1．比例的项：
在比例式 （即 ）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式
（即 ）中，b称为a，c的比例中项，满足 ．
2．成比例线段：
四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫
做成比例线段，简称比例线段．
【题型1 成比例线段的概念】
【例1】（2022秋•南岗区校级月考）不能与2，4，6组成比例式的数是（ ）
4
A． B．3 C．8 D．12
3
【变式1-1】（2022秋•义乌市月考）已知线段a＝2，b＝6，则它们的比例中项线段为 2√3 ．
【变式1-2】（2022秋•道里区期末）如图，用图中的数据不能组成的比例是（ ）A．2：4＝1.5：3 B．3：1.5＝4：2 C．2：3＝1.5：4 D．1.5：2＝3：4
【变式1-3】（2022秋•八步区期中）如图所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，
A'B'＝4cm，B'C'＝6cm．则线段A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段吗？
【题型2 成比例线段的应用】
【例2】（2022秋•渭滨区期末）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝
﹣2：7：1，试判断△ABC的形状．
【变式2-1】（2022秋•青羊区校级月考）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地
图上，甲乙两地的距离是（ ）
A．0.8cm B．8cm C．80cm D．800cm．
【变式2-2】（2022秋•杜尔伯特县期末）一个班有30名学生，男、女生人数的比可能是（ ）
A．3：2 B．1：3 C．4：5 D．3：1
【变式2-3】（2022•台湾）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团
的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列
叙述何者正确？（ ）
舞蹈社 溜冰社 魔术社
上学期 3 4 5
下学期 4 3 2
A．舞蹈社不变，溜冰社减少
B．舞蹈社不变，溜冰社不变
C．舞蹈社增加，溜冰社减少
D．舞蹈社增加，溜冰社不变
【知识点2 比例的性质】比例的性质 示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质： 或
或
（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：
（7）等比性质：
已 知 ， 则 当 时 ，
.
【题型3 比例的证明】
a c
【例 3】（2022 秋•汝州市校级月考）已知线段 a，b，c，d（b≠d≠0），如果 = =k，求证：
b d
a-c a+c
= ．
b-d b+d
【变式 3-1】（2022春•江阴市期中）如图，点 B，C 在线段 AD上，且 AB：BC＝AD：CD，求证：
1 1 2
+ = ．
AB AD AC
【变式3-2】（2022秋•秦都区校级期中）已知：如图，点O为三角形ABC内部的任意一点，连接AO并延
长交BC于点D．证明：（1）S S ；（2）S BD．
△ABO = △ACO △ABO =
S S S CD
△BOD △COD △ACO
【变式3-3】（2022秋•岳阳县期中）若a，b，c，d是非零实数且a c，求证 a2+c2 ab+cd．
= =
b d ab+cd b2+d2
【题型4 利用比例的性质求比值】
2b 3 a
【例4】（2022秋•炎陵县期末）已知 = ，则 = ．
3a-b 4 b
a-b 3 b
【变式4-1】（2022春•霍邱县期末）若 = ，那么 的值等于（ ）
a 4 a
2 1 2 1
A． B． C．- D．-
5 4 5 4
a c e 1 a-2c+3e
【变式 4-2】（2022 春•沙坪坝区校级期末）若 = = = 且 b﹣2d+3f≠0，则 的值为
b d f 3 b-2d+3f
（ ）
1 1 1 5
A． B． C． D．
6 3 2 6
【变式4-3】（2022春•栖霞市期末）下列结论中，错误的是（ ）
a c a 4
A．若 = ，则 =
4 5 c 5
a-b 1 a 7
B．若 = ，则 =
b 6 b 6
a c 2 a-c 2
C．若 = = （b﹣d≠0），则 =
b d 3 b-d 3
a 3
D．若 = ，则a＝3，b＝4
b 4
【题型5 利用比例的性质求参】
y+z x+z x+ y
【例5】（2022秋•蜀山区校级期中）已知： = = =k，则k＝ ．
x y zx y
【变式5-1】（2022秋•灌云县期末）已知 = ，且x+y＝24．则x的值是（ ）
3 5
A．15 B．9 C．5 D．3
x y z
【变式5-2】（2022秋•高州市期中）已知 = = ，且3y＝2z+6，求x，y的值．
3 5 6
a c a c a+c
【变式5-3】（2022•雨城区校级开学）我们知道：若 = ，且b+d≠0，那么 = = ．
b d b d b+d
（1）若b+d＝0，那么a、c满足什么关系？
b+c a+c a+b
（2）若 = = =t，求t2﹣t﹣2的值．
a b c
【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】
【例6】（2022秋•渝中区期末）阅读理解：
a c a+b c+d
已知：a，b，c，d都是不为0的数，且 = ，求证： = ．
b d b d
a c
证明：∵ = ，
b d
a c
∴ +1= +1．
b d
a+b c+d
∴ = ．
b d
根据以上方法，解答下列问题：
a 3 a+b
（1）若 = ，求 的值；
b 5 b
a c a-b c-d
（2）若 = ，且a≠b，c≠d，证明 = ．
b d a+b c+d
【变式6-1】阅读材料：
x y z x+ y-z
已知 = = ≠0，求 的值．
3 4 6 x- y+z
x y z
解：设 = = =k（k≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝6k．（第一步）
3 4 6
x+ y-z 3k+4k-6k k 1
∴ = = = ．（第二步）
x- y+z 3k-4k+6k 5k 5
（1）回答下列问题：
①第一步运用了 的基本性质，
②第二步的解题过程运用了 的方法，k 1
由 得 利用了 的基本性质．
5k 5
（2）模仿材料解题：
x+ y+z
已知x：y：z＝2：3：4，求 的值．
x-2y+3z
【变式6-2】（2022秋•椒江区校级月考）阅读下列解题过程，然后解题：
x y z
题目：已知 = = （a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
a-b b-c c-a
x y z
解：设 = = =k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），
a-b b-c c-a
∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．
依照上述方法解答下列问题：
a+b-c a-b+c -a+b+c (a+b)(b+c)(c+a)
a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，当 = = 时，求 的值．
c b a abc
【变式6-3】（2022春•鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：
x y z
题目：已知 = = （a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．
a-b b-c c-a
x y z
解：设 = = =k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣
a-b b-c c-a
b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，
y+z z+x x+ y x- y-z
依照上述方法解答下列问题：已知： = = （x+y+z≠0），求 的值．
x y z x+ y+z
【知识点3 黄金分割】
如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（ ），且使AC是AB和BC
的比例中项（即 ），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中
， ，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段
AB而言，黄金分割点有两个．）
【题型7 黄金分割】
【例7】（2022•青羊区校级模拟）如图，点R是正方形ABCD的AB边上线段AB的黄金分割点，且AR＞
RB，S 表示以AR为边长的正方形面积；S 表示以BC为长，BR为宽的矩形的面积，S 表示正方形除去
1 2 3S，S 剩余的面积，则S：S 的值为 ．
1 2 1 2
【变式7-1】（2022秋•杨浦区期末）已知点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，下
列结论中，正确的是（ ）
PB √5+1 PB √5+1 AP √5-1 AP √5-1
A． = B． = C． = D． =
AP 2 AB 2 AB 2 PB 2
【变式7-2】（2022秋•江都区校级月考）已知，点D是线段AB的黄金分割点，若AD＞BD．
（1）若AB＝10cm，则AD＝ ；
（2）如图，请用尺规作出以AB为腰的黄金三角形ABC；
（3）证明你画出的三角形是黄金三角形．
面同意，不得复制发布日期：2022/9/15 22:55:34；用户：小不
1825600716号：20699374
【变式7-3】（2022春•兖州区期末）再读教材：
√5-1
宽与长的比是 （约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界
2
各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形
纸片折叠黄金矩形．（提示：MN＝2）
第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．
第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．问题解决：
（1）图③中AB＝ （保留根号）；
（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；
（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．
