专题27.1平行线分线段成比例、三角形相似的判定之六大考点(教师版)_初中数学_九年级数学下册（人教版）_重难点专题提优-V8

专题 27.1 平行线分线段成比例、三角形相似的判定之六大考点 【考点导航】 目录 【典型例题】..................................................................................................................................................1 【考点一 由平行判断成比例的线段】............................................................................................................1 【考点二 由平行截线求相关线段的常或比值】............................................................................................3 【考点三 两角对应相等，两个三角形相似】................................................................................................6 【考点四 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似】..............................................................................10 【考点五 三边对应成比例，两个三角形相似】..........................................................................................13 【考点六 补充条件使两个三角形相似】......................................................................................................16 【过关检测】...........................................................................................................................................18 【典型例题】 【考点一 由平行判断成比例的线段】 例题：（2023春·山西临汾·九年级统考开学考试）如图，在 中， ， ，则下列比例 式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可． 【详解】解：A．由 ，得 ，故A选项错误； B．由 ，得 ，又由 ，得 ，则 ，故B选项错误，D选项正 确； C．由 ，得 ，故C选项错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于 三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例． 【变式训练】 1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，在平行四边形 中，E是 上一点，连接 并延长交 的延长线于点F，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质得出 ， ， ， ，利用平行线分线段成 比例定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵四边形 为平行四边形， ∴ ， ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，故A正确，不符合题意； B．∵ ，∴ ， ∵ ， ∴ ，故B正确，不符合题意； C．∵ ， ∴ ，故C正确，不符合题意； D．∵ ， ∴ ， 即 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，故D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分 线段成比例定理． 2．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）如图，直线 ，分别交直线m、n于点A、C、E、B、 D、F，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解： ， ， ， ， ；选项A、C、D正确， ∴故选：B． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练运用平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【考点二 由平行截线求相关线段的常或比值】 例题：（2023春·吉林长春·九年级统考阶段练习）如图， 、 相交于点 ，点 、 分别在 、 上， ，如果 ， ， ， ，那么 ． 【答案】10 【分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：10． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题 型． 【变式训练】 1．（2023·江苏南京·南师附中树人学校校考三模）如图，已知直线 ，如果 ， ，那么线段 的长是 ．【答案】6 【分析】由平行线所截线段对应成比例可知 ，然后代入 求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查平行线所截线段对应成比例，熟练掌握比例线段的计算是解决本题的关键． 2．（2023秋·河南周口·九年级统考期末）如图，点 分别在 的边 上，且 ，过 点 作 ，分别交 、 的平分线于点 ．若 ， 平分线段 ，则 ． 【答案】 / / 【分析】设 、 交于点 ，结合 可得 ；由平行线分线段成比例定理可得 ，即有 ，再证明 ，进一步可得 ，易知 ，可得 ，即可获得答案．【详解】解：如下图，设 、 交于点 ， ∵ ， 平分线段 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∵ 平分 ， 平分 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、平行线的判定、角平分线的定义等知识，熟练运用平行线分线段定理是解题关键． 【考点三 两角对应相等，两个三角形相似】 例题：（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上， DE∥AC，∠DEF＝∠A．求证：△BDE∽△EFC． 【答案】见解析 【分析】根据 ，得出 ，根据 可判断 ， 可证 ． 【详解】证明 ， ， 又 ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线性质，三角形相似判定，掌握平行线性质，三角形相似判定是解题关键． 【变式训练】 1．如图，在 中， ，E是边AC上一点，且 ，过点A作BE的垂线，交BE的 延长线于点D，求证： ． 【答案】见解析 【分析】先根据等腰三角形的性质得∠C=∠BEC，又由对顶角相等可证得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出结论． 【详解】证明：∵ ∴∠C=∠BEC， ∵∠BEC=∠AED， ∴∠AED=∠C， ∵AD⊥BD， ∴∠D=90°， ∵ ， ∴∠D=∠ABC， ∴ ． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判 定定理是解题的关键． 2．如图，在 ABC中，∠ABC＝2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于 点F，求证：△ AEF∽△ABC． △ 【答案】证明见解析． 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得到ED＝EC，则∠EDC＝∠C，再利用三角形外角性质可 得∠AEF＝2∠C，而∠ABC＝2∠C，所以∠ABC＝∠AEF，加上∠EAF＝∠BAC，则根据有两组角对应相等 的两个三角形相似可判断 AEF∽△ABC． 【详解】证明：∵AD⊥BC△， ∴∠ADC＝90°， ∴△ADC是直角三角形， ∵点E为AC的中点， ∴ED＝EC， ∴△ECD是等腰三角形， ∴∠EDC＝∠C， ∴∠AEF＝∠EDC＋∠C＝2∠C，∵∠ABC＝2∠C， ∴∠ABC＝∠AEF， ∵∠EAF＝∠BAC， ∴△AEF∽△ABC． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定和性质、三角 形的外角的性质等，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键． 3．如图，在 中， ， 于点 ． （1）求证： ； （2）若点 是 边上一点，连接 交 于 ， 交 边于点 ，求证： ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）由 得 ，利用同角的余角相等推出 即可； （2）两次用同角的余角相等推出 和 即可． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ， ， ； （2）证明： ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查三角形相似判定问题 ，掌握三角形相似的判定定理，灵活运用三角形相似的判定定理 证明相似是解题关键． 【考点四 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似】 例题：如图，AB•AF＝AE•AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△AEF． 【答案】见解析 【分析】根据题意得出 ，然后由∠1＝∠2得出∠BAC＝∠EAF，利用相似三角形的判定即可证明 【详解】证明：如图， ∵AB•AF＝AE•AC， ∴ ， 又∵∠1＝∠2， ∴∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF，即∠BAC＝∠EAF，∴△ABC∽△AEF． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 【变式训练】 1．如图所示，点D是△ABC的AB边上一点，且AD＝1，BD＝2，AC＝ ．求证：△ACD∽△ABC． 【答案】见解析 【分析】首先利用已知得出 ，进而利用相似三角形的判定方法得出即可． 【详解】证明：∵ ， ，， ∴ ， ∵∠A=∠A， ∴△ACD∽△ABC． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，正确把握相似三角形的判定方法是解题关键． 2．如图，FE∥CD，AF=3，AD=5，AE=4． (1)求AC的长； (2)若 ，求证： ADE∽ ABC． △ △ 【答案】(1)AC= ； (2)见解析 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得出比例式，求出AC即可；（2）根据已知线段的长度求出 ，根据相似三角形的判定即可得出 ADE∽△ABC． △ （1） 解：∵EF∥CD， ∴ ， ∵AF=3，AD=5，AE=4， ∴ ， 解得：AC= ； （2） 证明：∵AB= ，AD=5，AE=4，AC= ， ∴ ， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ABC． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是 解此题的关键． 3．如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC＝ °，BC＝ ； （2）判断△ABC和△DEF是否相似，并证明你的结论． 【答案】（1） ， ；（2） ，证明见解析 【分析】（1）先在Rt△BCG中根据等腰直角三角形的性质求出∠GBC的度数，再根据 ∠ABC=∠GBC+∠ABG即可得出∠ABC的度数；在Rt△BGC中利用勾股定理即可求出BC的长． （2）利用格点三角形的知识求出AB，BC及DE，EF的长度，继而可作出判断．【详解】解：（1）∵△BCG是等腰直角三角形， ∴∠GBC=45°， ∵∠ABG=90°， ∴∠ABC=∠GBC+∠ABG=90°+45°=135°； ∵在Rt△BGC中，BG=2，CG=2， ∴ ； 故答案为： ， ； （2）解：相似．理由如下： ∵ ， ， ∴ ， ∴ 又∵ ∴ ． 【点睛】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图 形，得出两个三角形角和角，边和边的关系． 【考点五 三边对应成比例，两个三角形相似】 例题：如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由． 【答案】相似，理由见解析 【分析】根据勾股定理求出AB，BC，AC，DE，DF，EF的长，再根据相似三角形的判定定理，即可求解． 【详解】解：△ABC和△DEF相似；理由如下： 根据题意得：AB＝2， ， ； ， ，EF＝2， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴△ABC∽△DEF． 【点睛】本题主要考查了网格图与勾股定理，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题 的关键． 【变式训练】 1．根据下列条件，判断 与 是否相似，并说明理由： (1) ， ， ， ， ， ； (2) ， ， ， ， ， ． 【答案】(1)相似，理由见解析 (2)相似，理由见解析 【分析】（1）计算对应边的比，根据三边对应，两三角形相似，进而判断即可； （2）根据两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，进而判断即可． （1） 解：∵ ， ， ，∴ ． ∴ ． （2） ∵ ， ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 【点睛】题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键． 2．如图，在 和 中， 、 分别是 、 上一点， ，当 时，求证： ． 【答案】见解析 【分析】根据比例的性质可得， ，即可求证． 【详解】证明：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定方法，涉及了比例的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方 法．3．如图，设网格中每个小正方形的边长均为1．点 、 、 和 、 、 都在正方形的顶点上．求证： ． 【答案】证明见解析 【分析】先利用勾股定理分别求解 再分别计算： 可得两个三角形的三边对应成比例，从而可得结论. 【详解】解：由勾股定理可得： 【点睛】本题考查的是二次根式的运算，勾股定理的应用，相似三角形的判定，熟悉三边对应成比例的两 个三角形相似是解题的关键. 【考点六 补充条件使两个三角形相似】 例题：如图，在 中， ，点 在 上（点 与 ， 不重合），若再增加一个条件就能使，则这个条件是________（写出一个条件即可）． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】两个三角形中如果有两组角对应相等，那么这两个三角形相似，据此添加条件即可． 【详解】解：添加 ，可以使两个三角形相似． ∵ ， ， ∴ ． 故答案为： （答案不唯一） 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，两组角对应相等的两个三角形相似．理解和掌握三角形相似的 判定是解题的关键． 【变式训练】 1．如图，在 中，点 在 边上，点 在 边上，请添加一个条件_________，使 ． 【答案】∠ADE=∠B（答案不唯一）． 【分析】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或 添加夹此角的两边对应成比例也可以判定． 【详解】解∶∵∠A=∠A， ∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B或∠AED=∠C证 相似； 根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件 证 相似．故答案为∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 2．如图，已知 相交于点O，若补充一个条件后，便可得到 ，则要补充的条件可以 是________． 【答案】∠B=∠C（答案不唯一） 【分析】根据题意有∠AOB=∠DOC，因此根据相似三角形的判定条件只需要添加∠B=∠C或∠A=∠D即可 证明△AOB∽△DOC． 【详解】解：∵∠AOB=∠DOC， ∴当添加条件∠B=∠C时可以证明△AOB∽△DOC， 故答案为：∠B=∠C（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键． 3．如图所示，在四边形 中,AD∥BC，如果要使△ABC∽△ADC，那么还要补充的一个条件是________． （只要求写出一个条件即可） 【答案】 或 或 （答案不唯一） 【分析】先由AD∥BC，得到∠DAC=∠ACB，然后利用相似三角形的判定定理，做题即可． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB， ∴当∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或 ∴都可得相似． 故答案为：∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或 （答案不唯一）．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键：①如果两个三角形的 三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等， 那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一 边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似． 【过关检测】 一、单选题 1．（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图，在 中，点D在边 上， ，若 ，则 的值是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接运用平行线分线段成比例定理得出比例式求解即可． 【详解】解： ∵ ， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 2．（2023春·山东潍坊·八年级统考期末）如图，已知 ，那么添加下列一个条件后，不能判定 的是（ ）A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据 求出 ，再根据相似三角形的判定方法解答． 【详解】解： ， ， A、添加 ，可用两角法判定 ，故本选项不符合题意； B、添加 ，可用两角法判定 ，故本选项不符合题意； C、添加 ，可用两边及其夹角法判定 ，故本选项不符合题意； D、添加 ，不能判定 ，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角 形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三 角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 3．（2023秋·湖南益阳·九年级统考期末）如图， 是平行四边形 对角线 上的点，若 ， ，则 的长为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】可证 ，从而可求 ，即可求解． 【详解】解： 四边形 是平行四边形， ， ，， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，掌握性质及定理是解题的关键． 4．（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）如图，下列条件：① ；② ；③ ；④ ；其中单独能够判定 的条件有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解： ， ， ， 故①单独能够判定； ， ， ， 故②单独能够判定； 由③不能判定 ， ， ， ， 故④单独能够判定；其中单独能够判定 的条件有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 二、填空题 5．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，要使 和 相似，已具备条件 ，还 需补充的条件是 ，或 ，或 ． 【答案】 【分析】根据三角形判定定理：两角对应相等两三角形相似、两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相 似．已知一个角相等，只要满足另外任何一个角对应相等或者所夹角的两边对应成比例即可． 【详解】解：由图示可知 ， 要使 和 相似 根据三角形相似的判定定理， 需要补充条件是 ，或 ， ． 故答案为： ； ； ； ． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定，定理为：①两角对应相等两三角形相似；②两边对应成比例且夹 角相等，两个三角形相似；③三边对应成比例，两个三角形相似． 6．（2023·北京·统考中考真题）如图，直线AD，BC交于点O， .若 ， ， .则 的值为 ．【答案】 【分析】由平行线分线段成比例可得， ， ，得出 ， ，从 而 . 【详解】 ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为： . 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决 本题的关键. 7．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在 中，D为 边的中点，点E在线段 上， 的延长线 交 边于点F，若 ， ，则线段 的长为 ． 【答案】 【分析】过点 作 于点 ,由平行线分线段成比例定理得 ，求得 ，再结合中点进 一步可得 ，从而得到答案． 【详解】解：如图，过点 作 于点 ；则 ； 而 ， ， ； 为 边的中点， ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正确构造平行线是解决此题的关键． 8．（2023秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，在 中， ， ，点 为 中点，点 在 上，当 为 时， 与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 【答案】3或 【分析】先得到 ，再分 与 两种情况讨论即可解答． 【详解】解：当 时， ∵ ， ∴ ， ∴ ，当 时， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 综上， 或 ， 故答案为：3或 ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是分类讨论思想的运用及熟练掌握相似三角形的判定 定理． 三、解答题 9．（2023·上海·九年级假期作业）如图， ， ， ， ，求 、 的长． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得 ，代入数值后解决问题． 【详解】解： ， ∴ ， ， ， ∴ ，解得： ， 则 ． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，其中掌握平行线分线段成比例定理（ 三条平行线截 两条直线，所得对应线段成比例）是关键．10．（2023·浙江杭州·校联考三模）如图所示，延长平行四边形 一边 至点F，连接 交 于点 E，若 ． (1)求证： ； (2)若 ，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 ，则 ，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得 ，根据相似三角形的性质可得 ，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， 由（1）可得， ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对 边平行且相等；相似三角形对应边成比例． 11．（2023秋·安徽·九年级阶段练习）如图，在正方形 中，E是 的中点，点F在 上，且 ．(1)求证： ； (2) 与 相似吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)相似，理由见解析 【分析】（1）由正方形的性质可得 , ，再根据 可得 ，进而说 明 ，再结合 ，即可证明结论； （2）设 ，利用E为边 的中点， ，得到 ，则可计算 出 ,由勾股定理逆定理可得 以及再说明 即可证明结论． 【详解】（1）解：∵正方形 ， ∴ , ∵CF 3FD， 1 FD CD ∴ ， 4 ∵点F在CD上， 1 AE ED AD ∴ , 2 AE DF 1   ∴ , AB ED 2 ∵AD90, ∴△ABE∽ △DEF ． （2）解：△ABE与△BEF相似，理由如下： 设AB ADCD4a， ∵E为边AD的中点，CF 3FD， ∴AEDE2a，DF a，BE AE2AB2 2 5a EF  DF2DE2  5a BF  CF2BC2 5a ∴ ， , , ∴BF2 EF2BE2,即BEF 90, ∴ABEF 90, AB 4a BE 2 5a  2,  2 ∵ AE 2a EF 5a , AB BE  ∴ , AE EF ∴△ABE∽△BEF ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、正方形的性质、勾股定理逆定理等知识点，掌握两组对应边 的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解答本题的关键． 12．（2023秋·九年级课时练习）如图，在△ABC中，AD平分BAC，点E在AC上，且EADADE． (1)求证：△DCE∽△BCA； BD (2)若 ， ，求 的值． AB6 AC8 CD 【答案】(1)见解析 BD 3  (2) ． CD 4 【分析】（1）已知AD平分BAC，可得BADDAC，再由EADADE，可得BADADE，即 可得DE∥AB，从而得△DCE∽△BCA； （2）作DF  AB于点F，DG AC于点G，利用角平分线的性质得到DF DG，再利用三角形面积公式 S 3 求得 △ADB  ，据此即可求解． S 4 △ADC 【详解】（1）证明：∵AD平分BAC， ∴BADDAC， ∵EADADE， ∴BADADE，∴DE∥AB， ∴△DCE∽△BCA； （2）解：作DF  AB于点F，DG AC于点G， ∵AD平分BAC， ∴DF DG， 1 ABDF S 2 AB 6 3 △ADB     ∴S 1 AC 8 4， △ADC ACDG 2 S BD VADB  ∵ ， S CD VADC BD 3  ∴ ． CD 4 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的判定和性质、角平分线的性质，掌握“角平分线上点到 角两边的距离相等”是解题的关键． 13．如图， 是 的中线， 是线段 上的一点，且 ，连接 并延长交 于点 ． (1)求 的值； (2)若 ，求 的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由 ， ，得出 ，即可得到答案； （2）过 作 交 于 点，则 ，由 是 的中线可得 ，从而得到，由平行线分线段成比例可得 的长，最后由 进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：如图，过 作 交 于 点， ， ∴ ， ∵ 是 的中线， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例、线段之间的数量关系，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助 线是解此题的关键． 14．【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容： 我们可以发现，当两条直线与一组平行践相交时，所截得的线段存在一定的比例关系： ．这就是 如下的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所傅的对应线段成比例，（简称“平行钱分线段成比例“【问题原型】如图①， 中，点 为边 上的点，过点 作 交为边 于点 ，点 在 边 上，直线 交 于点 ，交 于点 ．若 ， ， ，则 ． 【结论应用】（1）如图②， 中，点 在 的延长线上，直线 交 于点 交 于点 ． 求证： ； （2）如图③， 中， ， ， ，若 、 分别是边 、 的中点，连接 ，点 是边 上任意一点，连接 、 分别交 于点 、 ，则 周长的最小值是 ． 【答案】（1）2.7；（2）见解析；（3） 【分析】（1） ， ， ， ， ，即可求得 ； （2） ， ， ， ，同理 ， ，即可证明 ； （3）过点 作以 所在直线为对称轴的对称点 ，交 于点 ，易得 ， ，且 、 分别是边 ， 的中点， 为 的中位线， ，连接 ，此时与 的交点 ， 此时 周长最小，根据勾股定理即可求出 进而求出 作答． 【详解】解（1）： ， ，又 ， ， ， 即 ， ， 故答案为：2.7； （2）证明： ， ， ， ， ， ， 同理 ， ， ； （3）解：过点 作以 所在直线为对称轴的对称点 ，交 于点 ，易得 ，如图， ，且 、 分别是边 ， 的中点， 为 的中位线， ， 连接 ，此时与 的交点 ，此时 周长最小， ， ， ，， ， 在 中， ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，中位线，平行线的性质，三角形等综合问题，解题的关键是对将军 饮马问题的灵活运用．