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专题 27.3 相似三角形中的动点问题
【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，动点P从点A开始以每秒2个单位长度沿AB向终
点B运动，同时，动点Q从点C开始沿C−D−A以每秒3个单位长度向终点A运动，它们同时到达终点．
连接PQ交AC于点E．过点E作EF⊥PQ，交直线CD于点F．
CE 3
（1）当点Q在线段CD上时，求证： = ．
AE 2
（2）当DQ=1时，求△APE的面积．
（3）在P，Q的运动过程中，是否存在某一位置，使得以点E，F，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若
存在，求BP的长；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）证明△CQE∽△APE即可得到答案；
（2）①当点Q在CD上时，如图1，CQ=CD−DQ=3．过点E作AB的垂线交AB于点M，交CD于点
N．②当点Q在AD上时，如图2，作EM⊥AB于点M，设EM=
ℎ
，再利用相似三角形的性质求解三角
形的高，再利用面积公式计算即可；
（3）分三种情况讨论：①当点Q在CD上时，设CQ=3t，则AP=2t，若点F在Q的右侧，如图3，当
△FEQ∽△ABC，则∠1=∠2，作PH⊥CD于点H，而∠B=∠PHQ=90°，
PH AB
∴△ABC∽△PHQ，则 = =2，从而可得答案；若点F在Q的左侧，如图4，△FEQ∽△ABC，
QH BC
EF BA
点F与点C重合，从而可得答案；②当点 Q在AD上时，如图5，△FEQ∽△ABC， = =2，
EQ BC
∠FEG=∠B=90°，作EN⊥CD于点N，EG⊥AD于点G．，则∠≠=90°，再结合相似三角形的性
质建立方程可得答案．
【解题过程】（1）当点Q在线段CD上时，由题意可得：AB∥CD，CQ=3t，AP=2t，
∴△CQE∽△APE，
CE CQ 3
∴ = = ．
AE AP 2
（2）①当点Q在CD上时，如图1，CQ=CD−DQ=3．过点E作AB的垂线交AB于点M，交CD于点
N．
CQ V 3
由 = 点Q= ，得AP=2．
AP V 2
点P
EN CE 3
由△CQE∽△APE，得 = = ，
EM AE 2
2 4
∴EM= MN= ，
5 5
1 1 4 4
∴S = AP⋅EM= ×2× = ．
△APE 2 2 5 5
②当点Q在AD上时，如图2，作EM⊥AB于点M，设EM= ℎ．
2 10
AQ=AD−DQ=1，AP= (CD+DQ)= ．
3 3
同理：△AME∽△ABC，
EM BC 1
∴ = = ，
AM AB 2
∴AM=2EM=2ℎ．EM AQ 1 3
= = =
同理：△PME∽△PAQ，得PM PA 10 10，
3
10 10
∴PM= EM= ℎ．
3 3
10 10 5
∴AP=PM+AM= ℎ +2ℎ = ，解得ℎ = ，
3 3 8
1 1 10 5 25
∴S = AP⋅EM= × × = ．
△APE 2 2 3 8 24
4 25
∴△APE的面积为 或 ．
5 24
（3）①当点Q在CD上时，设CQ=3t，则AP=2t．
若点F在Q的右侧，如图3，当△FEQ∽△ABC，则∠1=∠2．
作PH⊥CD于点H，而∠B=∠PHQ=90°，
PH AB
∴△ABC∽△PHQ，则 = =2，
QH BC
1
∴QH= PH=1．
2
∵HD=AP=2t，
∴CD=CQ+QH+HD=3t+1+2t=4，
3
解得t= ．
5
6 14
∴BP=4−2t=4− = ．
5 5
若点F在Q的左侧，如图4，△FEQ∽△ABC，点F与点C重合．∵AC=❑√AB2+BC2=❑√42+22=2❑√5，
CE 3
又∵ =
AE 2
2 4❑√5
∴AE= AC= ．
5 5
∵由△FEQ∽△ABC结合对顶角可得：∠AEP=∠B=90°，而∠PAE=∠BAC，
∴△AEP∽△ABC，
4❑√5
AE AP
∴ = ，即 5 AP ，则AP=2，
AB AC =
4 2❑√5
∴BP=AB−AP=2．
EF BA
②当点Q在AD上时，如图5，△FEQ∽△ABC， = =2，∠FEG=∠B=90°，
EQ BC
作EN⊥CD于点N，EG⊥AD于点G．，则∠≠=90°，
由∠FEQ=∠¬=90°，得∠FEN=∠QEG，
∴Rt△FEN∽Rt△QEG，
EN EF
∴ = =2．
EG EQ
AG BC 1
同理可得： = = ，
EG AB 2
设AG=k，则EG=2AG=2k，EN=2EG=4k．∴DG=EN=4k，AD=AG+DG=5k，
2
由AD=2，得5k=2，k= ，
5
2 4
∴AG= ，EG= ．
5 5
AQ V 6−3t 3
由题意， = 点Q= = ，
BP V 4−2t 2
点P
2
设AQ=3x，则BP=2x，AP=4−2x，QG=AQ−AG=3x− ，
5
4 2
EG QG 3x−
由△QGE∽△QAP，得 = ，即 5 5，
AP QA =
4−2x 3x
化简，得15x2−26x+4=0，
13+❑√109 13−❑√109
解得x = （舍去），x = ．
1 15 2 15
26−2❑√109
∴BP=2x= ．
15
14 26−2❑√109
综上所述，BP的长为 或2或 ．
5 15
1．（2023秋·江苏常州·九年级常州市第二十四中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A、B两
点的坐标分别为(20,0)和(0,15)，动点P从点A出发在线段AO上以每秒2cm的速度向原点O运动，动直线
EF从x轴开始以每秒1cm的速度向上平行移动(即EF∥x轴)，分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接
EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）求t=9时，△PEF的面积；
（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t使得△PEF的面积等于40cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．
【思路点拨】
1
（1）由于EF//x轴，则S = ⋅EF⋅OE,t=9时，OE=9，关键是求EF.易证△BEF∽△BOA，则
△PEF 2
EF BE
= ，从而求出EF的长度，得出△PEF的面积；
OA BO
（2）假设存在这样的t，使得△PEF的面积等于40cm2，则根据面积公式列出方程，由根的判别式进行判
断，得出结论；
（3）如果△EOP与△BOA相似，由于∠EOP=∠BOA=90°，则只能点O与点O对应，然后分两种情况
分别讨论：①点P与点A对应；②点P与点B对应．即可得解．
【解题过程】
（1）∵EF//OA，
∴∠BEF=∠BOA
又∵∠B=∠B，
∴△BEF∽△BOA，
EF BE
∴ = ，
OA BO
当t=9时，OE=9，OA=20，OB=15，BE=OB−OE=15−9=6，
20×6
∴EF= =8，
15
1 1
∴S = EF⋅OE= ×8×9=36(cm2)；
△PEF 2 2
（2）不存在．
理由：∵△BEF∽△BOA，
BE⋅OA (15−t)⋅20 4
∴EF= = = (15−t)，
BO 15 3
1 4
∴ × (15−t)×t=40，
2 3
整理，得t2−15t+60=0，
∵△=152−4×1×60<0，
∴方程没有实数根．
∴不存在使得△PEF的面积等于40cm2的t值；（3）当∠EPO=∠BAO时，△EOP∽△BOA，
OP OE 20−2t t
∴ = ，即 = ，
OA OB 20 15
解得t=6；
当∠EPO=∠ABO时，△EOP∽△AOB，
OP OE 20−2t t
∴ = ，即 = ，
OB OA 15 20
80
解得t= ．
11
80
∴当t=6s或t= s时，△EOP与△BOA相似．
11
2．（2022·四川·九年级专题练习）如图1，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动
点M从点A出发，沿AB以1cm/s的速度向点B匀速运动：同时点N从点D出发，沿DA方向以2cm/s的
速度向点A匀速运动，点N运动到点A时停止运动，运动时间为t．
（1）若△AMN是等腰直角三角形，则t=___________（直接写出结果）．
（2）是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值，若不存在，请
说明理由．
（3）如图2，连接CN、CM，试求CN+2CM的最小值．
【思路点拨】
（1）根据题意可知只有AM=AN时，△AMN是等腰直角三角形，再根据题意可用t表示出AM=t，
AN=6−2t，列出等式，解出t即可；
（2）分类讨论①当△ACD∼△NMA时和②当△CAD∼△NMA时，列出比例式，代入数据，即可求解；
（3）取CN中点E，作E点关于CD的对称点E′，连接CE′．作M点关于BC的对称点M′，连接CM′，
E′M′．根据作图可知CE′=CE，CM′=CM，即可知当CE′+CM′最小时CN+2CM最小，即最小值为
E′M′的长．连接E′E并延长，交CD于点F，AB于点G．由作图结合题意易求出E′G=E′F+AD=t+6，
1 3 9
BG= AB= ，BM′=BM=AB−AM=3−t，从而可求出GM′=BG+BM′= −t．在Rt△E′GM′中，
2 2 2√ 3 2 441
利用勾股定理可求出E′M′=❑√E′G2+GM′2=❑2(t+ ) + ，最后根据二次函数的性质，即得出t=0
4 8
时，❑ √ 2(t+ 3 ) 2 + 441 最小，即此时E′M′= 15 ，故可求出CN+2CM的最小值为15．
4 8 2
【解题过程】
（1）∵∠MAN=90°，
∴若△AMN是等腰直角三角形时，只有AM=AN．
根据题意可知AM=t，DN=2t，则AN=AD−DN=6−2t，
∴t=6−2t，
解得t=2，
故答案为：2．
（2）∵∠MAN=∠ADC=90°，
∴以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似分为两种情况，
AD CD 6 3
①当△ACD∼△NMA时，有 = ，即 = ，
AN AM 6−2t t
3
解得：t= ；
2
AD CD 6 3
②当△CAD∼△NMA时，有 = ，即 = ，
AM AN t 6−2t
12
解得：t= ．
5
3 12
当t= 或t= 时，以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似；
2 5
（3）如图，取CN中点E，作E点关于CD的对称点E′，连接CE′．作M点关于BC的对称点M′，连接
CM′，E′M′．
根据作图可知CE′=CE，CM′=CM，
∴CN+2CM=2(CE+CM)=2(CE′+CM′ )，
∴当CE′+CM′最小时CN+2CM最小，
∵CE′+CM′≥E′M′，
∴CE′+CM′的最小值为E′M′的长，即CN+2CM的最小值为2E′M′的长．如图，连接E′E并延长，交CD于点F，AB于点G．
∵作E点关于CD的对称点E′，
∴E′F//AD，E′F=EF．
又∵E为中点，
1
∴E′F=EF= DN=t，G为AB中点，
2
1 3
∴E′G=E′F+AD=t+6，BG= AB= ．
2 2
∵作M点关于BC的对称点M′，
∴BM′=BM=AB−AM=3−t，
3 9
∴GM′=BG+BM′= +3−t= −t．
2 2
√ 9 2 √ 3 2 441
在Rt△E′GM′中，E′M′=❑√E′G2+GM′2=❑(6+t) 2+( −t) =❑2(t+ ) + ，
2 4 8
∵t≥0，2>0
√ 3 2 441 √ 3 2 441 15
∴t=0时，❑2(t+ ) + 最小，即E′M′=❑2×( ) + = ．
4 8 4 8 2
∴CN+2CM=2E′M′=15．
3．（2022秋·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）如图1，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上的一
个动点（不与A、C重合），过点P作PE⊥CD于点E，连接PB，已知AD＝3，AB＝4，设AP＝m．
（1）当m＝1时，求PE的长；
（2）连接BE，试问点P在运动的过程中，能否使得△PAB≌△PEB？请说明理由；
（3）如图2，过点P作PF⊥PB交CD边于点F，设CF＝n，试判断5m+4n的值是否发生变化，若不变，
请求出它的值；若变化，请说明理由．【思路点拨】
（1）根据勾股定理得出AC，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可；
（3）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【解题过程】
解：（1）连接BE，
由已知：在Rt△ADC中，AC＝❑√AD2+DC2=❑√32+42=5，
当AP＝m＝1时，PC＝AC﹣AP＝5﹣1＝4，
∵PE⊥CD，
∴∠PEC＝∠ADC＝90°，
∵∠ACD＝∠PCE，
∴△ACD∽△PCE，
AD AC
∴ = ，
PE PC
3 5
即 = ，
PE 4
12
∴PE＝ ；
5
（2）如图1，当△PAB≌△PEB时，∴PA＝PE，
∵AP＝m，则PC＝5﹣m，
由（1）得：△ACD∽△PCE，
3 5
∴ = ，
PE 5−m
3(5−m)
∴PE＝ ，
5
3(5−m)
由PA＝PE，即 =m，
5
15
解得：m＝ ，
8
∴EC＝❑√PC2−PE2=❑ √ ( 5− 15) 2 − (15) 2 = 5 ，
8 8 2
∴BE＝❑√EC2+BC2=❑
√ (5) 2
+32=
❑√31
≠AB，
2 2
∴△PAB与△PEB不全等，
∴不能使得△PAB≌△PEB；
（3）如图2，延长EP交AB于G，
∵BP⊥PF，
∴∠BPF＝90°，
∴∠EPF+∠BPG＝90°，
∵EG⊥AB，
∴∠PGB＝90°，
∴∠BPG+∠PBG＝90°，
∴∠PBG＝∠EPF，
∵∠PEF＝∠PGB＝90°，∴△BPG∽△PFE，
BG PG
∴ = ，
PE EF
3(5−m)
由（1）得：△PCE∽△ACD，PE＝ ，
5
EC PC
∴ = ，
DC AC
EC 5−m
即 = ，
4 5
4(5−m)
∴EC＝ ，
5
4(5−m)
∴BG＝EC＝ ，
5
3(5−m)
3−
5 4(5−m) 4
∴ = = ，
4(5−m) 3(5−m) 3
−n
5
∴5m+4n＝16．
4
4．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）如图（1），在矩形ABCD中，AB=6cm，tan∠ABD= ，
3
E、F分别是AB、BD中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点
Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接PQ，设
运动时间为ts（00）（1）求线段PQ的长（用含t的代数式表示）；
（2）点R落在AC上时，求t的值；
（3）当重叠部分图形是三角形时，求S（平方单位）与t（秒）之间的函数关系式；
（4）在点P运动的过程中，当点R落在△ABC的中位线所在的直线上时，直接写出t的值．
【思路点拨】
（1）分两种情形分别求解：如图1中，当点Q在AB上时，如图2中，当点Q在AC上时；
（2）如图3中，当点R落在AC上时，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题；
80 80 16
（3）分三种情形：如图1中，当03解得t>
5
60
故t= ．
43
17．（2023春·吉林·九年级专题练习）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．动点P
从点A出发，在AB上以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿折线BC−CA以
每秒7个单位长度的速度向终点A运动，当点Q不与点C重合时，以PQ、QC为邻边作平行四边形PQCE．
设点P的运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示线段CQ的长；
（2）当点E在Rt△ABC内部时，求t的取值范围；
（3）当Rt△ABC的边将平行四边形PQCE的面积分为1：2两部分时，求t的值；
（4）如图②，点D为AB的中点，连接DQ，作点C关于直线DQ的对称点C'，当C'Q∥AB时，直接写
出t的值．
【思路点拨】
（1）根据“路程=速度×时间”即可表示；（2）分点E落在AC上和点E落在BC上两种情况讨论，分别求出临界情况下对应的时间即可；
（3）分当Q点在CB上和当Q点在AC上两种情况讨论，分别把图形的面积表示出来，再根据题中的面积比
为1:2得到对应的线段倍数关系进而求解；
（4）分当点Q在边BC上和点Q在边AC上，根据“点C关于直线DQ的对称点C'”及C'Q∥AB得到等腰
三角形，进而根据等腰三角形的腰相等列方程求解．
【解题过程】
（1）解：当点Q落在BC上时，CQ=BC−BQ=6−7t；
当点Q落在AC上时，CQ=7t−BC=7t−6．
（2）解：如下图，当点E落在AC上时，由于∠C=90°，
∴四边形PQCE为矩形，∠AEP=∠C=90°，
且∠A=∠A，
∴△ABC∽△APE，
AP EP
∴ = ，代入AP=5t, AB=10, BC=6，
AB BC
∴EP=3t，
∴CQ=PE=3t，
∵CQ+BQ=BC=6，
3
∴3t+7t=6，解得t= ，
5
6
∵Q从B点运动到C点所需要时间为 ，
7
3 6
∴点E落在AC上时，点E在Rt△ABC内部时对应的时间t取值范围为： 0)．（1）线段AD的长为 ；
（2）当点P在折线AE−EB上时，用含t的代数式表示线段EP的长；
（3）当点A′在△ABC内部时，求t的取值范围；
（4）当∠A A′D与∠C相等时，直接写出t的值．
【思路点拨】
（1）利用勾股定理求出AC，可得结论；
5 5
（2）分两种情况：当010，即290°，
∴△GHC与△BEF不相似．
32 32
综上所述，s满足的条件为：s=1或s= 或s= 或10≤s≤12．
25 7
