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专题 27.3 相似三角形的判定与性质综合
◆ 典例分析
【典例1】如图，
CE CD
（1）如图1，在矩形ABCD中，CE⊥BD于点H，交AD于点E．求证： = ；
BD BC
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°,AD=4,BC=9,CD=7．E是边AB上的一动点，过
CF
点C作CG⊥ED，交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F．试探究 是否为定值？若是，请求
DE
CF
出 的值；若不是，请说明理由；
DE
（3）如图3，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，将△ABD沿BD翻折得到△CBD，点E，F分别在边
CF 3 AD
AB,AD上，连接CF,DE．若∠AED=∠AFC，且 = ，则 的值为 ．
DE 5 AB
【思路点拨】
CE CD
（1）证明△CED∽△BDC，利用相似三角形的性质即可证明 = ；
BD BC
（2）过点C作CH⊥AF交AF延长线于点H，首先证明四边形ABCH为矩形，易得AB=CH，BC=AH，
CF CH
再证明△DEA∽△CFH，由相似三角形的性质可得 = ，然好由勾股定理解得CH=2❑√6，即可证
DE AD
CF CH ❑√6
明 = = ，即可获得答案；
DE AD 2
（3）过点C作CG⊥AD于点G，交BD于点H，作HM⊥CD于点M，证明CG∥AB，易得CF CG 3
∠ABD=∠GHD，再证明△AED∽△GFC，由相似三角形的性质可得 = = ，由折叠的性质可
DE AD 5
得AD=CD，∠ADB=∠CDB，设GC=3x，则AD=CD=5x，由勾股定理可得
，然后由角平分线的性质定理可得 ，结合 ，可求
DG=❑√CD2−CG2=4x HG=HM S +S =S
△HDG △CHD △CDG
4x
得HG= ，证明△DGH∽△DAB，列出比例式求解即可．
3
【解题过程】
（1）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC=∠DCB=90°，
∵CE⊥BD，
∴∠DBC+∠BCH=∠BCH+∠ECD=90°，
∴∠DBC=∠ECD，
∴△CED∽△BDC，
CE CD
∴ = ；
BD BC
CF
（2） 是定值，
DE
如下图，过点C作CH⊥AF交AF延长线于点H，
∴∠A=∠B=∠H=90°，
∴四边形ABCH为矩形，
∴AB=CH，BC=AH，
∵∠GFD=∠HFC，∠GDF=∠ADE，
又∵∠GFD+∠GDF=∠HFC+∠HCF，
∴∠ADE=∠HCF，
∵∠A=∠H，∴△DEA∽△CFH，
CF CH
∴ = ，
DE AD
∵BC=9，CD=7，AD=4，
∴DH=AH−AD=BC−AD=5，
∴ ，
CH=❑√CD2−DH2=2❑√6
CF CH 2❑√6 ❑√6
∴ = = = ，
DE AD 4 2
CF ❑√6
∴ 为定值 ；
DE 2
（3）如下图，过点C作CG⊥AD于点G，交BD于点H，作HM⊥CD于点M，
∴∠CGF=∠A=90°，
∴CG∥AB，
∴∠ABD=∠GHD，
∵∠AED=∠AFC，∠CGF=∠A，
∴△AED∽△GFC，
CF CG 3
∴ = = ，
DE AD 5
∵将△ABD沿BD翻折得到△CBD，
∴AD=CD，∠ADB=∠CDB，
设GC=3x，则AD=CD=5x，
∴ ，
DG=❑√CD2−CG2=4x
∵HG⊥AD，HM⊥CD，∠ADB=∠CDB，
∴HG=HM，
∵S +S =S ，
△HDG △CHD △CDG1 1 1
即 ×4x×HG+ ×5x×HM= ×3x×4x，
2 2 2
4x
∴HG= ，
3
∵CG∥AB，
∴△DGH∽△DAB，
DG HG
∴ =
AD AB
AD DG 4x
= = =3
∴ AB HG 4 ．
x
3
◆ 学霸必刷
1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=6，BC=5，点D，B分别在BC、
AC上，CD=2BD，CE=2AE，BE交AD于点F，则△AFE的面积的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
AC 4
2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， = ，D为AB上一点，H为
BC 3
DH
AC上一点，若∠ABC=∠HDC，CB=CD，则 的值为（ ）
HC
3 7 ❑√3 ❑√6
A． B． C． D．
5 20 3 3
3．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=4，点E,F分别在线段BC和线段1
DC的延长线上．若BE= ,∠EAF=45°，则CF的长为（ ）
2
1 2 2 3
A． B． C． D．
2 5 3 5
4．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=6，E为AD边上一动点，将
1
△ABE沿BE翻折到△FBE的位置，点A与点F重合，连接DF，CF，则DF+ CF的最小值为
2
（ ）
9 ❑√13 3❑√13
A． B． C．4 D．
2 2 2
5．（2024·浙江·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB为边向三角形外作正方形ABDE，
作EF⊥BC于点F，交对角线AD于点G，连接BG．要求△BFG的周长，只需知道（ ）
A．AC的长 B．BC的长 C．BF的长 D．FG的长
6．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，矩形ABCD中，BE平分∠ABC，过C点作CF⊥BE，
连接AF并延长交CD于点G，交CE于点M．则下列结论：①∠AME=45°；②AD⋅EF=DG⋅BF；③
若AF=4，FM=3，则CD=5；④若BC=❑√2AB，则EC=2EM．其中正确的是（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是BC上一点，
∠ADC=3∠BAD，BD=8，CD=7，则AB= ．
8．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D，延长CD至
1
点E，使DE= CD，BE，CA的延长线交于点F，若BE=❑√5，DE=1，则EF的长为 ．
3
9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，△ABC中，∠BCA=90°，AB=2AC，点P在△ABC内，
且PA=❑√3，PB=5，PC=2，则△ABC的面积为 ．
10．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，
BA:BC=BD:DC=2:1，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．则BF的长为
．11．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A<90°，点D，E，F分
BC
别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设 =k，若
AB
CF
AD=DF，则 = ．（结果用含k的代数式表示）．
AC
12．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E为AD边的中点，连
接BE，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接C A′并延长交AD与点F，则DF= ．
13．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，E为AC上一点，过
点E作EF⊥BC于F，且AD=BF，连接BE交AD于G，若∠ABE=45°，AG=5，BD=3，则CE的
长为 ．14．（23-24九年级上·福建漳州·自主招生）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．
求证：
（1）AE⋅BF⋅AB=CD3；
（2）AE AC3．
=
BF BC3
15．（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=2BC=8，点D，E
分别在边BC,AC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现：①当α=0°时，AE:BD= ________；②当α=180°时，AE:BD=________；
（2）拓展研究：试判断，当0°≤α≤360°时，AE:BD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
（3）问题解决：当CE=BC,△EDC旋转至A，D，C三点共线时，直接写出线段AD的长．
16．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图（1），先把一张矩形纸片ABCD上下对折，设折痕为MN；
如图（2），再把点B叠在折痕线上，得到△ABE．过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直
线上，得折痕PQ，其中AB=4，AD=10，
（1）求证：△PBE∽△QAB．
（2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明，如果不相似，请说明理由．
（3）如图（3），沿AG折叠，使点E落在AD上为点H，连结HG交BN于F，求BF．
17．（24-25九年级上·重庆九龙坡·开学考试）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D在AB边上，E在AC
边上，连接EB、CD，点G为BE上一点且满足GA=GB．3❑√5
（1）如图1，若BE平分∠ABC，BC=10，AG= ，CE=5，求△ABC的面积；
2
（2）如图2，若BD=CE，取CD中点为F，连接FG，求证：CE=❑√2FG；
1
（3）如图3，在（1）的条件下，点F为直线AC上一点，连接BF，若CF=2BD，则CD+ BF最小时，
2
直接写出S 的值．
△ADG
18．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，点B，F分别
DE
是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，求 的值．
CF（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8，AB=6，将△AEB沿BE翻折到
△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH=CH，则AE的长为 ．
1
（3）拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB=6，E为CD边上的一点且DE= DC，∠D=60°，△ADE
3
3
沿AE翻折得到△AFE，AF与CD交于H且FH= ，直线EF交直线BC于点P，求PE的长．
4
19．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）问题提出：
（1）如图①，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠CDE=90°，连接AD、BE．求证：
△BCE∽△ACD；问题探究
（2）如图②， 四边形ABCD是边长为4的正方形，点P是BD上一动点，以AP为斜边在AP边的右侧作
等腰Rt△APQ，∠AQP=90°，连接DQ、CQ．当DQ最小时，S =_____；
△CDQ
问题解决：
（3）随着社会的发展，农业观光园走进我们的生活． 某农业观光园的平面示意图如图③所示的四边形
ABCD，其中BC=20km，∠BAD=135°，∠ADC=90°，AD=CD．为了能够让广大游客更近距离观
光，徜徉在大自然的海洋，设计师计划在BD之间修一条观光小路，为了方便市民观赏，想让BD最大．根
据设计要求，求出当BD最大时△BCD 的面积．
20．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）【问题背景】
在平行四边形ABCD中，E是CD边上一点，延长BC至点F使得CF=CE，连接DF，延长BE交DF于点
G，【特例感知】
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形时，
①求证：△BCE∽△DGE；②当G时DF中点时，∠F=________度；
【深入研究】
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AB=4，当G为DF中点时，求CE的长；
【拓展提升】
（3）如图3，若四边形ABCD是矩形，AB=3，AD=4，点H在BE的延长线上且满足BE=6EH，当
△EFH是直角三角形时，请直接写出CE的长．
