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专题 27.4 相似三角形的性质【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用相似三角形的性质求角度】......................................................................................................................2
【题型2 利用相似三角形的性质求线段长度】..............................................................................................................2
【题型3 利用相似三角形的性质求面积】......................................................................................................................3
【题型4 利用相似三角形的性质求周长】......................................................................................................................4
【题型5 利用相似三角形的判定与性质证明角度相等】..............................................................................................4
【题型6 利用相似三角形的判定与性质证明对应线段成比例】..................................................................................6
【题型7 尺规作图作相似三角形】..................................................................................................................................7
【题型8 在网格中画与已知三角形相似的三角形】......................................................................................................8
【题型9 新定义中的相似三角形】..................................................................................................................................9
【题型10 相似与函数综合探究】....................................................................................................................................11
【知识点1 相似三角形的性质】
①相似三角形的对应角相等．
如图， ，则有
．
②相似三角形的对应边成比例．
如图， ，则有
（ 为相似比）．
③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成
比例，都等于相似比．
如图， ∽ ， 和 是 中
边上的中线、高线和角平分线， 、 和 是
中 边上的中线、高线和角平分线，则有
④相似三角形周长的比等于相似比．
如图， ∽ ，则有
．
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．
如图， ∽ ，则有【题型1 利用相似三角形的性质求角度】
【例1】（2022·湖南·永州柳子中学九年级期中）已知 ABC~ DEF，若∠A=50°，∠E=70°，则∠F的度数
为（ ） △ △
A．30° B．60° C．70° D．80°
【变式1-1】（2022·江苏·常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，△ABC∽△DAC，∠B＝31°，
∠D＝117°，则∠BCD的度数是（ ）
A．32° B．48° C．64° D．86°
【变式1-2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF，
则∠ABC+∠ACB的度数为（ ）
A．135° B．90° C．60° D．45°
【变式1-3】（2022·云南楚雄·九年级期末）如图，点A、B、C、D四点共线，ΔPBC是等边三角形，当
ΔPAB∼ΔDPC时，∠APD的度数为（ ）
A．120° B．100° C．110° D．125°【题型2 利用相似三角形的性质求线段长度】
【例2】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在 ▱ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在CD
上取一点F，使△CBF∽△ABE，则DF的长是（ ）
A．8.2 B．6.4 C．5 D．1.8
【变式2-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-2】（2022·全国·九年级专题练习）已知△ABC∽△DEF，△ ABC的三边长分别为√2，√14，3，
△ DEF的其中的两边长分别为1和√7，则第三边长为______．
【变式2-3】（2022·吉林·长春市赫行实验学校二模）如图所示，图中x=___．
【题型3 利用相似三角形的性质求面积】
【例3】（2022·陕西渭南·九年级阶段练习）若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比为25:36，则
△ABC与△DEF的对应边的比是（ ）
A．5:6 B．6:5 C．25:36 D．36:25
【变式3-1】（2022·河南新乡·九年级期末）△ABC与△A'B'C'的位似比是1:2，已知△ABC的面积是3，
则△A'B'C'的面积是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12【变式3-2】（2022·河北石家庄·九年级期末）把一个三角形的各边长扩大为原来的3倍，则它的面积扩大
为原来的__________倍．
【变式3-3】（2022·河南·鹤壁市淇滨中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝
5，点D是线段BC上一动点，连结AD，以AD为边作△ADE，使△ADE∽△ABC，则△ADE的最小面积等
于______．
【题型4 利用相似三角形的性质求周长】
【例4】（2022·湖南株洲·九年级期末）有一个直角三角形的边长分别为3，4，5，另一个与它相似的直角
三角形的最小边长为7，则另一个直角三角形的周长是（ ）
42 84
A． B． C．21 D．28
5 5
【变式4-1】（2022·重庆实验外国语学校八年级期末）如图是一个边长为1的正方形组成的网络，△ABC
与△ABC 都是格点三角形（顶点在网格交点处），并且△ABC∽△ABC ，则△ABC与△ABC 的周长之
1 1 1 1 1 1 1 1 1
比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．4：9
【变式4-2】（2022·辽宁·阜新市第四中学九年级阶段练习）已知△ABC∽△DEF，其中AB=12，BC=6，
CA=9，DE=3，那么△DEF的周长是______．
【变式4-3】（2022·辽宁鞍山·二模）已知△ABC∽△A'B'C'，且AB=2A'B'．若△ABC的周长是18cm，
那么△A'B'C'的周长是________cm．
【题型5 利用相似三角形的判定与性质证明角度相等】
AB AE
【例5】（2022·北京市第一五六中学九年级期中）如图，已知AE平分∠BAC， = ．
AD AC(1)求证：∠E=∠C；
(2)若AB=9，AD=5，DC=3，求BE的长．
【变式5-1】（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期末）如图，在△ABC中，点D、点E分别在AC、AB
上，点P是BD上的一点，联结EP并延长交AC于点F，且∠A=∠EPB=∠ECB．
(1)求证：BE⋅BA=BP⋅BD；
(2)若∠ACB=90°，求证：CP⊥BD．
【变式5-2】（2022·山东·东平县江河国际实验学校二模）如图，点D，E分别在 ABC的边BC，AC上，连
接AD，DE． △
（1）若∠C=∠BAD，AB=5，求BD·BC的值；
（2）若点E是AC的中点，AD=√2AE， 求证：∠1=∠C．
【变式5-3】（2022·湖北恩施·二模）如图，在△ABC中，D、E、F分别是边AC，AB，BC上的点，DE∥
BC，DF∥AB．
(1)求证：∠B=∠EDF．(2)若CF＝1BC，求S 的值．
△DFC
3 S
△AED
【题型6 利用相似三角形的判定与性质证明对应线段成比例】
【例6】（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交
于点F，∠FEA=∠B，∠DAF=∠EAC．
(1)若AF=BF=4，求AE；
DF CE
(2)求证： = ．
DE CB
【变式6-1】（2022·江苏·九年级专题练习）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶
点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
OC OP
（1）求证： = ；
PD AP
（2）若OP与PA的比为1：2，求边AB的长．
【变式6-2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在ΔABC中，AB=AC，D是边BC的延长线上一点，
E是边AC上一点，且∠EBC=∠D．
CE BC
求证： = ；
AB BD【变式6-3】（2022·湖南益阳·九年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是
BC边上的一个动点（不与B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G．
EG CG
(1)求证： = ；
AD CD
(2)FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；
【题型7 尺规作图作相似三角形】
【例7】（2022·山东烟台·八年级期末）尺规作图：如图，已知△ABC，且AB>AC．（只保留作图痕迹，
不要求写出作法）
(1)在AB边上求作点D，使DB=DC；
(2)在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB．
【变式7-1】（2022·山东济宁·二模）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,BD平分∠ABC．
(1)求作△CDE使点E在BC上，且△CDE∽△CBD；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若BA=√3,∠ABC=60°，求CE长．
【变式7-2】（2022·陕西宝鸡·一模）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AC边上一定点．请用尺规作图法在BC上求作一点P，使得△ABC∽△PCD．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式7-3】（2022·江苏省锡山高级中学实验学校模拟预测）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B．
(1)请用无刻度的直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）：
① 过点D作AB的平行线交BC于点F；
② P为AB边上的一点，且△DAP∽△PBC，请找出所有满足条件的点；
(2)在（1）的条件下，若AD＝2，BC＝3，AB＝6，则AP＝ ．
【题型8 在网格中画与已知三角形相似的三角形】
【例8】（2022·安徽合肥·二模）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A、B、C、D四点均在正方形
网格的格点上，线段AB、CD相交于点O．
(1)请在网格图中画出两条线段（不添加另外的字母），构成一对相似三角形，并用“∽”符号写出这对相
似三角形：
(2)线段AO的长为______．
【变式8-1】（2022·河南南阳·九年级期末）（1）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上．在方格
纸内画△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，相似比为2:1，且顶点都在格点上．
（2）△A'B'C'的面积是______．【变式8-2】（2022·浙江温州·九年级专题练习）请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图（保留作图
痕迹）
(1)在图1中画出线段AB的中垂线
(2)如图2，在线段AB上找出点C，使AC:CB=1:2．
【变式8-3】（2022·浙江温州·九年级期中）如图，在8×8的方格中，△ABC的三个顶点都在小方格的顶点
上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上．
(1)请在图1中画一个三角形，使它与△ABC相似，且相似比为2：1
(2)请在图2中画一个三角形，使它与△ABC相似，且面积比为2：1
【题型9 新定义中的相似三角形】
【例9】（2022·陕西渭南·九年级期末）四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”．
(1)如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=70°，AB=AD，AD∥BC，当∠ADC=145°时．求证：对角
线BD是四边形ABCD的“理想对角线”；
(2)如图2，四边形ABCD中，CA平分∠BCD，BC=3，CD=2，对角线AC是四边形ABCD的“理想对
角线”，求AC的长．
【变式9-1】（2022·福建·厦门市第五中学八年级期中）定义：若一个三角形最长边是最短边的2倍，我们
把这样的三角形叫做“和谐三角形”．在△ABC中，点F在边AC上，D是边BC上的一点，AB＝BD，点
A，D关于直线l对称，且直线l经过点F．
（1）如图1，求作点F；（用直尺和圆规作图保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图2，△ABC是“和谐三角形”，三边长BC，AC，AB分别a，b，c，且满足下列两个条件：
a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．
①求a，b之间的等量关系；
②若AE是△ABD的中线．求证：△ACE是“和谐三角形”．
【变式9-2】（2022·江苏常州·九年级期末）如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，
其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”．(1)在△ABC中，∠A=30．
①如图1，若∠B=100°，请过顶点C画出△ABC的“形似线段”CM，并标注必要度数；
②如图2，若∠B =90°，BC=1，则△ABC的“形似线段”的长是 ．
(2) 如图3，在DEF中，DE=4，EF=6，DF=8，若EG是DEF的“形似线段”，求EG的长．
【变式9-3】（2022·安徽合肥·二模）定义：如果一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，那么我们称这
样的三角形为倍角三角形．根据上述定义可知倍角三角形中有一个角是另一个角的2倍，所以我们就可以
通过作出其中的2倍角的角平分线，得出一对相似三角形，再利用我们学过的相似三角形的性质解决相关
问题．请通过这种方法解答下列问题：
(1)如图1，△ABC中，AD是角平分线，且AB2=BD⋅BC，求证：△ABC是倍角三角形；
(2)如图2，已知△ABC是倍角三角形，且∠A=2∠C，AB=8，BC=10，求AC的长；
(3)如图3，已知△ABC中，∠A=3∠C，AB=8，BC=10，求AC的长．
【题型10 相似与函数综合探究】
【例10】（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，Rt ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．点D是线段AC
上的一点，点E在射线CB上且∠CDE＝∠B． △
(1)求BC的长；(2)若AD＝x， CDE的面积与 ABC重合部分的面积是y，求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x
的取值范围．△ △
【变式10-1】（2022·全国·九年级）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，B、D分别为垂足．
(1)已知：∠APC＝90°，求证：△ABP∽△PDC．
(2)已知：AB＝2，CD＝3，BD＝7，点P是线段BD上的一动点，若使点P分别与A、B和C、D构成的两
个三角形相似，求线段PB的值．
(3)已知：AB＝2，CD＝3，点P是直线BD上的一动点，设PB＝x，BD＝y，使点P分别与A、B和C、D
构成的两个三角形相似，求y关于x的函数解析式．
k
【变式10-2】（2022·广东茂名·二模）如图，在矩形OABC中，OA=3，AB=4，反比例函数y= (k>0)
x
的图像与矩形的边AB、BC分别交于点D、E，且BD=2AD．
(1)求点D的坐标及k的值；
(2)点P(m,0)(m>2)是线段OC上的一个动点，当△AOP∽△PCE时，求BP的长．
【变式10-3】（2022·四川成都·三模）已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，且AC＝12cm，BD＝
16cm．点P从点B出发，速度为1cm/s；同时，点Q沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，且与AD，BD，
Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：(1)当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？
(2)设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使S APFE：S ABCD＝17：40？若存在，求出t的值，并求出此时PE的长
四边形 菱形
度；若不存在，请说明理由．
