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专题 28.2 锐角三角函数与函数综合
◆ 典例分析
3 3
【典例1】如图，抛物线y= x2− x−3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
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作直线BC．P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．过点P作PD⊥x轴于点D，交BC
于点E．
（1）求B，C两点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式．
（2）求线段PE的最大值．
（3）若M是平面内一点，是否存在点P，使以C，P，E，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写
出m的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）令y=0，可求出B的坐标，令x=0，可求出C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的函数表达式；
（2）先表示出点P的坐标，再表示出点E的坐标，进而表示出PE的长，最后根据二次函数的性质即可求
解；
（3）分三种情况讨论：当CP为对角线时，当CE为对角线时，当CM为对角线时．
【解题过程】
3 3
（1）解：令y=0，则 x2− x−3=0，
8 4
解得：x =−2，x =4，
1 2
∵点A在点B的左侧，
∴ A(−2,0)，B(4,0)，
令x=0，则y=−3，
∴ C(0,−3)，
设直线BC的函数表达式为y=kx+b，将B(4,0)，C(0,−3)代入，
{4k+b=0)
得： ，
0+b=−3
{ k= 3 )
解得： 4 ，
b=−3
3
∴直线BC的函数表达式为y= x−3；
4
（2）根据题意得：P ( m, 3 m2− 3 m−3 ) ，
8 4
∵ PD⊥x轴于点D，交BC于点E，
( 3 )
∴ E m, m−3 ，
4
∴ PE= 3 m−3− (3 m2− 3 m−3 ) =− 3 m2+ 3 m=− 3 (m−2) 2+ 3 ，
4 8 4 8 2 8 2
3
∵ − <0，0
