专题 28.2 锐角三角函数与函数综合
◆ 典例分析
3 3
【典例1】如图，抛物线y= x2− x−3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
8 4
作直线BC．P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．过点P作PD⊥x轴于点D，交BC
于点E．
（1）求B，C两点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式．
（2）求线段PE的最大值．
（3）若M是平面内一点，是否存在点P，使以C，P，E，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写
出m的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）令y=0，可求出B的坐标，令x=0，可求出C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的函数表达式；
（2）先表示出点P的坐标，再表示出点E的坐标，进而表示出PE的长，最后根据二次函数的性质即可求
解；
（3）分三种情况讨论：当CP为对角线时，当CE为对角线时，当CM为对角线时．
【解题过程】
3 3
（1）解：令y=0，则 x2− x−3=0，
8 4
解得：x =−2，x =4，
1 2
∵点A在点B的左侧，
∴ A(−2,0)，B(4,0)，
令x=0，则y=−3，
∴ C(0,−3)，
设直线BC的函数表达式为y=kx+b，将B(4,0)，C(0,−3)代入，
{4k+b=0)
得： ，
0+b=−3
{ k= 3 )
解得： 4 ，
b=−3
3
∴直线BC的函数表达式为y= x−3；
4
（2）根据题意得：P ( m, 3 m2− 3 m−3 ) ，
8 4
∵ PD⊥x轴于点D，交BC于点E，
( 3 )
∴ E m, m−3 ，
4
∴ PE= 3 m−3− (3 m2− 3 m−3 ) =− 3 m2+ 3 m=− 3 (m−2) 2+ 3 ，
4 8 4 8 2 8 2
3
∵ − <0，0<m<4，
8
3
∴当m=2时，线段PE有最大值，最大值为： ；
2
2 11
（3）存在，m的值为 或 ．
3 9
3 3
根据题意得：OD=m，BD=4−m，PE=− m2+ m，
8 2
分以下三种情况讨论：
3 3
①当CP为对角线时，CE=PE=− m2+ m，
8 2
∵ PD⊥x轴于点D，
∴ PD∥OC，
CE BC
∴ = ，
OD OB
∵ OB=4，OC=3，
，
∴ BC=❑√OB2+OC2=❑√42+32=5
3 3
− m2+ m
∴ 8 2 5，
=
m 42
解得：m =0（舍去），m = ；
1 2 3
②当CE为对角线时，CP=PE，
1
如图，过点P作PH⊥BC于点H，则EH=CH= CE，
2
由（1）知PD∥OC，
∴ ∠BED=∠BCO，
BD 4
∴ sin∠BCO=sin∠BED= = ，
BE 5
5 5 5
∴ BE= BD= (4−m)=5− m，
4 4 4
( 5 ) 5
∴ CE=BC−BE=5− 5− m = m，
4 4
1 5
∴ EH= CE= m，
2 8
∵ ∠PEH=∠BED=∠BCO，
EH 3
∴ cos∠BCO=cos∠PEH= = ，
PE 5
5
m
8 3
∴ = ，
3 3 5
− m2+ m
8 2
11
解得：m =0（舍去），m = ；
1 2 9
③当CM为对角线时，CE=CP，
1
如图，过点C作CK⊥PE于点K，则EK=PK= PE，
2
∵ C(0,−3)，
∴ K(m,−3)，3 3
∴ EK= m−3−(−3)= m，
4 4
∴ 3 m= 1 × ( − 3 m2+ 3 m ) ，
4 2 8 2
解得:m =m =0（舍去）；
1 2
2 11
综上所述，m的值为 或 ．
3 9
◆ 学霸必刷
1．（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于A(−1,0)，B(5,0)两点，与y轴交
1
于点C，顶点为D，O为坐标原点，tan∠ACO= ．
5
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点P为抛物线第一象限上一动点，求点P运动到什么位置时四边形ACPB的面积最大，最大面积为
多少？
2．（2023·黑龙江鸡西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+8交x轴于A、B两点，
交y轴于点C，连接AC、BC，AB=AC，tan∠ABC=2．
（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点G，使直线BG将△ABC的面积分成1:2的两部分，若存在，求点G的横坐
标；若不存在，请说明理由．
3．（2024·湖北省直辖县级单位·一模）抛物线y=x2−4x与直线y=x交于原点O和点B，与x轴交于另一
点A，顶点为D．
（1）求出点B和点D的坐标；
1
（2）如图①，连接OD，P为x轴的负半轴上的一点，当tan∠PDO= 时，求点P的坐标；
2
（3）如图②，M是点B关于抛物线的对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m(0<m<5)，
连接 ， ， 与直线 交于点 ，设 和 的面积分别为 和 ，求S 的最大值．
MQ BQ MQ OB E △BEQ △BEM S S 1
1 2 S
24．（2023·山东菏泽·二模）如图，抛物线y=ax2+bx+4与坐标轴分别交于A，B，两点A(−2,0)，B(3,0)，
点P是第一象限内抛物线上的一点．
（1）求抛物线的解析式；
1
（2）连接AP，CP，AC，若S = S ，求点P的坐标；
△APC 2 △AOC
（3）连接AP，BC，是否存在点P，使得2∠PAB=∠ABC，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请
说明理由．5．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线
y=−x+4与x轴、y轴分别相交B，C，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A，点B，且AB=6．
（1）求a和b的值．
（2）点P是直线BC上方抛物线上任意一点，设点P的横坐标为t，连接AC．四边形ACPB的面积为S，
求S与t的函数关系式．
（3）点P为抛物线上的一点，连接AC，当∠PBO+∠ACO=45°，求P的坐标．1
6．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，已知抛物线y= x2+bx+c经过点A(−6,0)，B(2,0)，与y
2
轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为该抛物线上一动点．
①当点P在直线AC下方时，过点P作PE∥x轴，交直线AC于点E，作PF∥y轴．交直线AC于点F，求
EF的最大值；
②若∠PCB=3∠OCB，求点P的横坐标．7．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，抛物线经过△AOD的三个顶点，其中O为原点，A(2,4)，D(6,0)，
点F在线段AD上运动，点G在直线AD上方的抛物线上，GF∥AO，¿⊥DO于点E，交AD于点I，AH
平分∠OAD，C(−2,−4)，AH⊥CH于点H，连接FH．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点F运动至抛物线的对称轴上时，求△AFH的面积；
FG
（3）试探究 的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不为定值，请说明理由．
GI8．（2024·湖南衡阳·二模）已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴
1
交于点C(0,5)，且tan∠ACO= ．
5
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）如图1，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB
是直角三角形，直接写出所有符合条件的点P的坐标．
（3）如图2，若点G为线段AB上的动点，过点G作GH∥BM交AM于点H．求△HGM面积的最大值，
并求此时G点坐标．9．（2024·山东济宁·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于
A(−6,0)、B(2,0)两点，交y轴于点C(0,6)，连接AC．
（1）求抛物线表达式；
（2）点P从点C以每秒❑√2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度
沿OC运动到点C，点P和点Q同时出发，连接PQ，设点P和点Q的运动时间为t，求S 的最大值及
△CPQ
此时点P的坐标；
（3）抛物线上存在点M，使得∠ACM=15°，请直接写出点M的坐标．10．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴
C :y=x2+bx+c x A(−2,0) B(4,0) y
1
于点C．
（1）直接写出抛物线C 的解析式；
1
（2）如图1，连接AC，点P在抛物线C上，且在对称轴右侧，若∠ACO=∠CBP，求点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线C通过变换得到顶点为(0,1)的抛物线C，交x轴于D，E(1,0)两点，F(0,2)，点G
在第四象限的抛物线上，过点G作不平行y轴的直线l，分别交直线DF，FE于P，Q两点，若直线l与抛物
线只有一个公共点，求证：DP=FQ．11．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A(−3,0)，点B(1,0)交y轴
于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，连接AC，BC，点P为线段AC下方抛物线上一动点，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，过点
3
Q作QH∥x轴交BC于点H，求PQ+ QH的最大值以及点P的坐标；
4
（3）将二次函数沿射线AC平移一定的单位长度，使得平移后的抛物线过点(1,−4)，记平移后的点C对应
点为C′，连接C′，点G为平移后新抛物线上一动点，若满足∠AC′G=∠OCB，直接写出符合题意所有点
G的横坐标．9
12．（2024·重庆·二模）已知抛物线y=ax2− x+3与x轴交于点A(−4,0)和点B，与y轴交于点C．
4
（1）求a的值和点B的坐标；
（2）如图1，点P为直线AC上方抛物线上的一点，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，再过点P作
PH⊥AC于点H，求△PQH周长的最大值以及此时点P的坐标；
（3）如图2，平移该抛物线，平移后的抛物线y′经过点C．且与x轴交于D,E(3,0)两点，连接CB，CE．
点F是抛物线y′上一点，连接FE，若∠FEC=∠BCE，直接写出所有符合条件的点F的坐标．并写出求
解点F坐标的其中一种情况的过程．13．（2024·重庆·一模）如图，抛物线y=ax2−2x+c(a≠0)交x轴于点A(−1,0)和点B，交y轴于点
C(0,−4)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为直线BC下方抛物线上一点，过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，过点D作
❑√5
DE⊥BD交x轴于点E，求PD− DE的最大值，并求此时点P的坐标；
10
（3）如图2，将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到新抛物线y'，新抛物线
y'交y轴于点G，点H为新抛物线y′上一点，当∠BGC+∠BCO=∠CAH时，请直接写出所有符合条件
的点H的横坐标，并写出求点H横坐标的其中一种情况的过程．4
14．（2023·辽宁·二模）已知抛物线y=−x2+bx+c，直线y=− x+4与y轴交于A，与x轴交于B．抛物
3
线过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
AM 4
（2）如图1，点M为抛物线第一象限一点，AM⊥MN．若 = ，求点M的横坐标；
MN 3
（3）如图2，∠ACB=90°，点P为AB中点，EP∥OB，且点E的横坐标为−1．∠ECD=90°，
，作点A关于x轴的对称点F， ( 5 5❑√3)，连接 ， ．请直接写出
∠EDC=60° G − ,2− DG DF
2 6
5❑√3
DG+DF的最小值（结果无需化简） ．
129
15．（2023·江苏淮安·三模）如图，抛物线y=ax2+ x+c与x轴交于点A(1,0)和点B两点，与y轴交于点
4
C(0,−3)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．
1
①如图1，若点P在第三象限，且tan∠CPD= ，求点P的坐标；
2
②若点P在y轴左侧时，直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，直接写
出点P的坐标．1 ❑√3
16．（2023·重庆沙坪坝·一模）如图，抛物线y=− x2+ x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左
6 6
侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与直线BC的交点为E．
（1）如图1，求直线BC的表达式；
（2）如图1，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线BC于点Q，过点P作
x轴的平行线交直线BC于点H，求△PQH周长的最大值和此时P点的坐标；
（3）如图2，将抛物线沿射线BC方向平移4个单位得到新抛物线y′，新抛物线y′与坐标轴y轴交于点M．
点D与点C关于x轴对称，连接BD，将△BCD沿直线AC平移得到△B′C′D′．平移过程中，在直线ME
上是否存在点N，使得N，B′，C′，D′为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出N点的坐标，并写出
求解其中一个N点坐标的过程．17．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，抛物线y=a2+bx+c经过A(﹣1，0)，B(3，0)，
C(0，3)三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，过点D作DQ⊥x轴于点Q，DQ与BC相交于点M．
DE⊥BC于E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求线段DE长度的最大值；
（3）连接AC，F是AB的中点，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CAO相等？若存在，求点D
的横坐标；若不存在，请说明理由．18．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−2与x轴交于点
A(4，0)和点B(−1，0)，与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P是直线AC下方抛物线上的一动点，过点P作直线PD∥AC交x轴于点D，过点P作
PE⊥AC于点E，求出PE+AD的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接OP交AC于点Q，将原抛物线沿射线CA方向平移❑√5个单位得到新
抛物线y ，在新抛物线y 上存在一点M，使∠OQC−∠MAC=∠BCO，请直接写出所有符合条件的点
1 1
M的横坐标．
