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专题2 关于数轴的探索（解析版）
类型一 数轴的折叠
典例1 （2023秋•江阴市期中）已知在纸面上画有一根数轴，现折叠纸面．
（1）若﹣1表示的点与1表示的点重合，则3表示的点与数 ﹣ 3 表示的点重合；
（2）若﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①6表示的点与数 ﹣ 4 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为d （点A在点B的左侧，d＞0），且A、B两点经折叠后重合，则
1
用含d的代数式表示点B在数轴上表示的数是 d +1 ．
2
【答案】见试题解答内容
【思路引领】（1）若﹣1表示的点与1表示的点重合，则对称中心是原点，据此找到3的对称点即可．
（2）若﹣1表示的点与3表示的点重合，则对称中心是1表示的点，据此找到6的对称点即可，也可以
表示出点B．
−1+1
【解答】解：（1）∵ =0，
2
∴0×2﹣3＝﹣3，
故答案为：﹣3；
−1+3
（2）①∵ =1，
2
∴1×2﹣6＝﹣4，
故答案为：﹣4；
−1+3
②∵ =1，A、B两点之间的距离为d （点A在点B的左侧，d＞0），且A、B两点经折叠后重
2
合，
1
∴表示点B在数轴上表示的数是： d+1，
2
1
故答案为： d+1．
2
【总结提升】本题考查数轴，解题的关键是明确数轴的特点，根据题意找出所求问题需要的条件．
针对训练
1．如图，在数轴上，点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足|a+2|+（c﹣6）2＝0．
（1）a＝ ﹣ 2 ，b＝ 1 ，c＝ 6 ．
（2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则折痕与数轴的交点所表示的数为 2 ，点B与数 3
对应的点重合，原点与数 4 对应的点重合．
【答案】（1）﹣2，1，6；（2）2，3，4．
【思路引领】（1）根据b是最小的正整数，a，c满足|a+2|+（c﹣6）2＝0，即可得出答案．
−2+6
（2）将数轴折叠，折痕与数轴的交点所表示的数为 =2，由此进一步计算可得答案．
2
【解答】解：（1）∵b是最小的正整数，
∴b＝1，
又∵a，c满足|a+2|+（c﹣6）2＝0，
∴a＝﹣2，c＝6，
故答案为：﹣2，1，6．
−2+6
（2）折痕与数轴的交点所表示的数为 =2，点B到折痕的距离为1，B点重合的点为2+1＝3，原
2
点到折痕距离为2，原点重合的数为2+2＝4，
故答案为：2，3，4．
【总结提升】本题考查了数轴上的点的问题，解题关键在于找到点之间的位置关系和距离．
2．（2022秋•袁州区校级月考）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣5表示的点与数 5 表示的点重合；
（2）若﹣5表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数 ﹣ 7 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点
表示的数是多少？
【答案】见试题解答内容
【思路引领】首先找出对称点，然后根据对应点到对称点的距离相等进行解答即可．
【解答】解：（1）数轴上数1表示的点与﹣1表示的点关于原点对称，所以数轴上数﹣5表示的点与数
5表示的点重合；
（2）①数轴上数﹣5表示的点与数3表示的点关于点﹣1对称，所以数轴上数5表示的点与数﹣7表示的点重合；
②AB＝10，所以点A、B到﹣1的距离均为5，所以两点表示的数分别是A＝﹣1﹣5＝﹣6，B＝﹣1+5
＝4．
故答案为：（1）5；（2）①﹣7；②﹣6，4．
【总结提升】本题主要考查的是数轴的认识，掌握数轴上点的特点和对称的性质是解决问题的关键．
类型二 数轴上点的规律问题
典例2（2022秋•桂林月考）一动点P从数轴上的原点出发，按下列规则运动：
①沿数轴的正方向先前进5个单位，然后后退3个单位，如此反复进行；
②已知点P每秒只能前进或后退1个单位．
设x ，表示第n秒点P在数轴上的位置所对应的数，则x 为 50 8 ．
n 2022
【答案】508．
【思路引领】通过计算发现，当n是偶数时，第n个数是n，先确定x ＝504，再求x ＝508．
2016 2022
【解答】解：点P每8秒完成一个前进和后退，即前8个对应的数是1、2、3、4、5、4、3、2；
后8个对应的数是3、4、5、6、7、6、5、4．
根据此规律可推导出，2022÷8＝252……6，
∴x ＝504，
2016
故x ＝508，
2022
故答案为：50，8．
【总结提升】本题考查数字的变化规律，通过计算，找到点运动过程中数轴上对应点的规律是解题的关
键．
变式训练
1．（2021秋•韶关校级期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“振”“兴”“中”“华”四个字，且将
正方形放置在数轴上，其中“中”“华”对应的数分别为﹣2和﹣1，如图．现将正方形绕着顶点按顺
时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“振”所对应的数为 0，则连续翻滚后数轴
上的数2021对应的字是（ ）
A．振 B．兴 C．中 D．华
【答案】B
【思路引领】根据规律可知，数轴上的数字与字的对应关系，“中”字对应的数字是除以 4余2的，“华”对应的数字是除以4余3的，“振”对应的数字是能被4整除的，“兴”对应的数字是除以4余
1的，由此可得连续翻滚后数轴上数2021对应的字．
【解答】解：由题意可知：“中”字对应的数字是除以 4余2的，“华”对应的数是除以4余3的，
“振”对应的数是能被4整除的，“兴”对应的数是除以4余1的，
∵2021÷4＝505......1，
∴数字2021对应的是“兴”，
故选：B．
【总结提升】本题考查了旋转的性质，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组依次循环是
解题的关键．
6．（2020秋•浑源县期中）综合与实践：
一只电子跳蚤从数轴上原点处出发，第一次向左跳动1个单位，第二次向右跳动2个单位，第三次向左
跳动3个单位，第四次向右跳动4个单位，第五次向左跳动5个单位，第六次向右跳动6个单位，如此
往返．
（1）第1次跳动的落点位置对应的有理数是 ﹣ 1 ，第2次跳动的落点位置对应的有理数是 1 ，
第2020次跳动的落点位置对应的有理数是 101 0 ．
（2）若该跳蚤从﹣8处出发，第1次跳动的落点位置对应的有理数是 ﹣ 9 ，第2020次跳动的落点位
置对应的有理数是 100 2 ，第 1 6 次跳动的落点位置是原点．
（3）若该跳蚤从m（m是正整数）处出发，第1次跳动的落点位置对应的有理数是 m ﹣ 1 ，第2020
次跳动的落点位置对应的有理数是 m +1010 ，第2n（n是正整数）次跳动的落点位置对应的有理数
是 m + n ，第 （ 2 m ﹣ 1 ） 次跳动的落点位置是原点．
【答案】（1）﹣1，1，1010；
（2）﹣9，1002，16；
（3）m﹣1，m+1010，m+n，2m﹣1．
【思路引领】（1）根据数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可；
（2）利用（1）的规律从﹣8开始计算即可；
（3）结合（2）利用（1）的规律从m开始计算即可．
【解答】解：（1）根据题意可知：
第1次跳动的落点位置对应的有理数是：0﹣1＝﹣1，
第2次跳动的落点位置对应的有理数是：0﹣1+2＝1，
第2020次跳动的落点位置对应的有理数是：0﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣…+2018﹣2019+2020＝0+1010×1＝1010，
故答案为：﹣1，1，1010；
（2）跳蚤从﹣8处出发，第1次跳动的落点位置对应的有理数是：﹣8﹣1＝﹣9，
第2020次跳动的落点位置对应的有理数是：
﹣8﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣…+2018﹣2019+2020＝﹣8+1010＝1002；
因为﹣8﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣…+16＝﹣8+8＝0，8×2＝16，
所以第16次跳动的落点位置是原点；
故答案为：﹣9，1002，16；
（3）第1次跳动的落点位置对应的有理数是：m﹣1，
第2020次跳动的落点位置对应的有理数是：
m﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣…﹣2019+2020＝m+1010×1＝m+1010，
第2n（n是正整数）次跳动的落点位置对应的有理数是：
m﹣1+2﹣3+4﹣5+6…﹣2n﹣1+2n＝m+n×1＝m+n，
所以第2n次跳动的落点位置对应的有理数是m+n，
所以第（2n+1）次跳动的落点位置对应的有理数是：m+n﹣（2n+1）＝0，
解得n＝m﹣1，2n+1＝2m﹣1，
故第（2m﹣1）次跳动的落点位置是原点．
故答案为：m﹣1，m+1010，m+n，2m﹣1．
【总结提升】本题主要考查了规律型：数字的变化类，数轴，解决本题的关键是要注意数轴上点的移动
规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相
成，注意数形结合的数学思想．
7．点A从数轴上表示+2的点开始移动，第一次先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度；从
第一次移动后的位置开始，第二次先向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度；从第二次移动
后的位置开始，第三次先向左移动5个单位长度，再向右移动6个单位长度……依此规律，解答下列各
题．
（1）第一次移动后，这个点在数轴上表示的数为 3 ；
（2）第二次移动后，这个点在数轴上表示的数为 4 ；
（3）第五次移动后，这个点在数轴上表示的数为 7 ；
（4）第n次移动后，这个点在数轴上表示的数为 n + 2 ；
（5）如果第m次移动后，这个点在数轴上表示的数为56，求m的值．
【答案】（1）3；（2）4；
（3）7；
（4）n+2；
（5）54．
【思路引领】先算出前两次移动后的数，找到变换规律，再求解．
【解答】解：（1）第一次移动后，这个点在数轴上表示的数为：2﹣1+2＝3，
故答案为：3；
（2）第二次移动后，这个点在数轴上表示的数为：3﹣3+4＝4，
故答案为：4；
（3）第五次移动后，这个点在数轴上表示的数为：7，
故答案为：7；
（4）第n次移动后，这个点在数轴上表示的数为n+2，
故答案为：n+2；
（5）如果第m次移动后，这个点在数轴上表示的数为：m+2＝56，
解得：m＝54，
所以m的值为54．
【总结提升】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．
8．如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分
别标上了数字0，1，2）上；先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆
周上，使数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，这样，正
半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．
（1）圆周上数字a与数轴上的数5对应，则a＝ 2 ；
（2）数轴刚刚绕过圆周100圈后，一个整数点落在圆周上数字 2所对应的位置，这个整数是 302
．
【答案】见试题解答内容
【思路引领】整数与圆周上的数字建立的对应关系：数字除以3，余数是几，就和周上数字几对应；（1）计算5除以3，看得出的余数判断即可；
（2）用循环的数字个数3乘圈数再加上余数（圆周上数字）求得答案即可．
【解答】解：（1）5÷3＝1…2，所以圆周上数字a与数轴上的数5对应，则a＝2；
（2）数轴刚刚绕过圆周100圈后，一个整数点落在圆周上数字2所对应的位置，这个整数是3×100+2
＝302．
故答案为：2，302．
【总结提升】此题考查数字与图形的变化规律，找出两个数字之间的对应关系是解决问题的关键．
类型三 数轴上的动点问题
典例3（2021秋•新城区月考）如图，有两段线段AB＝2（单位长度），CD＝1（单位长度）在数轴上运动．
点A在数轴上表示的数是﹣12，点D在数轴上表示的数是15．
（1）点B在数轴上表示的数是 ﹣ 1 0 ，点C在数轴上表示的数是 1 4 ，线段BC＝ 2 4 ；
（2）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左
匀速运动，设运动时间为t秒，若BC＝6（单位长度），求t的值；
（3）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段CD以2个单位长度秒的速度也向左
运动，设运动时间为1秒，当0＜t＜24时，设M为AC中点，N为BD中点，求线段MN的长．
【答案】（1）﹣10，14，24；
（2）t的值为6或10；
（3）1.5．
【思路引领】（1）根据AB、CD的长度结合点A、D在数轴上表示的位置求解；
（2）先用t表示点B、C在数轴上表示的数，再列方程求解；
（3）先用t表示M，N的坐标，再利用两点间的距离公式求解．
【解答】解：（1）∵AB＝2，点A在数轴上表示的数是﹣12，
∴点B在数轴上表示的数是﹣10；
∵CD＝1，点D在数轴上表示的数是15，
∴点C在数轴上表示的数是14；
∴BC＝14﹣（﹣10）＝24；
故答案为：﹣10，14，24；
（2）当运动时间为t秒时，点B在数轴上表示的数为t﹣10，点C在数轴上表示的数为14﹣2t，
∴BC＝|t﹣10﹣（14﹣2t）|＝|3t﹣24|，∵BC＝6，
∴|3t﹣24|＝6，
解得：t ＝6，t ＝10，
1 2
答：当BC＝6（单位长度）时，t的值为6或10；
（3）当运动时间为t秒时，点A在数轴上表示的数为﹣t﹣12，点B在数轴上表示的数为﹣t﹣10，点C
在数轴上表示的数为14﹣2t，点D在数轴上表示的数为15﹣2t，
∵0＜t＜24，
∴点C一直在点B的右侧，
∵M为AC中点，N为BD中点，
2−3t 5−3t
∴点M在数轴上表示的数为 ，点N在数轴上表示的数为 ，
2 2
5−3t 2−3t
∴MN= − =1.5，
2 2
故答案为：1.5．
【总结提升】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离公式是解题的关键．
变式训练
1．（2021秋•晋州市期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点 A对应的数为8，且
AB＝12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，
N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（ ）
①点B对应的数是﹣4；②点P到达点B时，t＝6；③BP＝2时，t＝5；④在点P的运动过程中，线
段MN的长度不变．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【思路引领】①根据两点间距离进行计算即可；
②利用路程除以速度即可；
③分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，由题意求出AP的长，再利用路程除以速度即
可；
④分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可．
【解答】解：设点B对应的数是x，
∵点A对应的数为8，且AB＝12，∴8﹣x＝12，
∴x＝﹣4，
∴点B对应的数是﹣4，
故①正确；
由题意得：
12÷2＝6（秒），
∴点P到达点B时，t＝6，
故②正确；
分两种情况：
当点P在点B的右侧，
∵AB＝12，BP＝2，
∴AP＝AB﹣BP＝12﹣2＝10，
∴10÷2＝5（秒），
∴BP＝2时，t＝5，
当点P在点B的左侧，
∵AB＝12，BP＝2，
∴AP＝AB+BP＝12+2＝14，
∴14÷2＝7（秒），
∴BP＝2时，t＝7，
综上所述，BP＝2时，t＝5或7，
故③错误；
分两种情况：
当点P在点B的右侧，
∵M，N分别为AP，BP的中点，
1 1
∴MP= AP，NP= BP，
2 2
∴MN＝MP+NP
1 1
= AP+ BP
2 2
1
= AB
21
= ×12
2
＝6，
当点P在点B的左侧，
∵M，N分别为AP，BP的中点，
1 1
∴MP= AP，NP= BP，
2 2
∴MN＝MP﹣NP
1 1
= AP− BP
2 2
1
= AB
2
1
= ×12
2
＝6，
∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，
故④正确；
所以，上列结论中正确的有3个，
故选：C．
【总结提升】本题考查了数轴，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
类型四 数轴上的遮盖问题
11．（2023•白城模拟）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ）
A．0.5 B．﹣0.5 C．﹣1.5 D．﹣2.5
【答案】B
【思路引领】设小手盖住的点表示的数为x，则﹣1＜x＜0，再根据每个选项中实数的范围进行判断即可．
【解答】解：设小手盖住的点表示的数为x，则﹣1＜x＜0，
则表示的数可能是﹣0.5．
故选：B．
【总结提升】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
12．（2022秋•安阳期中）小红在做作业时，不小心将墨水洒在一条数轴上，如图所示，根据图中标出的
数值，判断墨迹盖住的整数共有 1 2 个．【答案】见试题解答内容
【思路引领】根据数轴上的点是连续的特点，写出被被墨水盖住的整数即可．
【解答】解：根据数轴的特点，﹣12.6到﹣7.5之间的整数有﹣12、﹣11、﹣10、﹣9、﹣8，
10.5到17.8之间的整数有11、12、13、14、15、16、17，
所以，被墨水盖住的整数有﹣12、﹣11、﹣10、﹣9、﹣8、11、12、13、14、15、16、17．
故答案为：12．
【总结提升】本题考查了数轴，是基础题，知道数轴上的点是连续的是解题的关键．
13．（2021秋•江岸区期中）数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是 1厘米，若在这个数轴
上随意画出一条长为2021厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是（ ）
A．2021 B．2022 C．2021或2022 D．2020或2019
【答案】C
【思路引领】分线段AB的端点与整点重合和不重合两种情况考虑，重合时盖住的整点是线段的长度
+1，不重合时盖住的整点是线段的长度，由此即可得出结论．
【解答】若线段AB的端点恰好与整点重合，则1厘米长的线段盖住2个整点，若线段AB的端点不与整
点重合，则1厘米长的线段盖住1个整点．
∵2021+1＝2022，
∴2021厘米的线段AB盖住2021或2022个整点．
故选：C．
【总结提升】本题考查了数轴，解题的关键是找出长度为n（n为正整数）的线段盖住n或n+1个整点，
本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，分端点是否与整点重合两种情况来考虑是关键．
