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专题 3-2 平行四边形（考题猜想，构造中位线解题的五种方法）
方法1：连接两点构造三角形的中位线
【例题1】（2023下·广西桂林·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，CE平分
∠BCD交AB于点E，点F，G分别是CD，CE的中点，则FG的长为（ ）
❑√10 ❑√13
A．5 B． C．❑√13 D．
2 2
【变式1】.（2023下·湖北黄冈·八年级校考期中）如图，矩形ABCD中，AE⊥BD交CD于点E，点F在
AD上，连接CF交AE于点G，且CG=GF=AF，若BD=4❑√6，则CD的值为 ．
【变式2】（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平行四边形 中，对角线 交于点
，点 分别是 的中点， 交 于点 ，下列4个结论中说法正确的
有（ ）（1） （2） （3） ；（4）
A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）
【变式2】．（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，在 中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．
求证：AF与DE互相平分．
【变式3】如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形
BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．
(1)求证：PM＝PN；
(2)求∠MPN的度数．
方法2：已知角平分线及垂直构造中位线
【例题2】（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，在 中， ，点E是 的中点，
若 平分 ，线段 的长为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1】（20-21八年级下·重庆·期中）如图，在 中， 是对角线， ，E是 的中
点， 平分 ，连接 ， ．若 ， ， ，则 的长为 ．
【变式2】（22-23八年级下·辽宁盘锦·期中）如图， 中，AD平分 ，E是 中点， ，
， ，求 的长．
【变式3】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，正方形 的对角线 相交于O， 平分
， 于点F，交 于点G，
求证：
(1) ；
(2) ；
(3)若M为 得中点， ，求 的长．方法3：倍长法构造三角形中位线
【例题3】（22-23八年级下·辽宁营口·期末）如图， 中， 平分 ，过点 作 于点
，点 是 的中点，连接 ，若 ， ，求 的长．
【变式1】（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰直角 和等腰直角 ，
，M为 的中点，连接 ，过B作 的延长线于点S．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，则四边形 的面积为______．（直接写出结果）【变式2】（22-23八年级下·广东深圳·期中）（1）如图1，在 中， ， ，点 、
、 分别为 、 、 的中点，求证： ；
（2）如图2，在 中， ， ，点 为 的中点， ，那么
是否成立？证明你的猜想；
（3）如图3，边长为4的等边 外有一点 ， ， ， 、 分别是边 、 的
点，满足 ，求 的周长．【变式3】（2023上·福建漳州·八年级校联考期中）【知识探究】探究得到定理：直角三角形斜边上的中
线等于斜边的一半.
【定理证明】请你利用矩形的性质，证明该定理.
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O是AC的中点；
1
（1）求证：OB= AC.
2
（2）【灵活运用】如图2，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，E，F分别是AC，CD的中点，
连接BE，EF，BF，求证：∠1=∠2．
方法4：已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线
【例题4】（21-22八年级下·广东广州·期中）如图，在 中， ， ，E，F分别为
CA，CB上的点， ，M，N分别为AF，BE的中点，若 ，则MN＝ ．【变式1】（2023下·全国·八年级假期作业）如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点．若
AB=10，CD=8求MN长度的取值范围．
【变式2】（2023下·全国·八年级假期作业）如图，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，
E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G．若AB=CD=2，∠FEC=45°，求EF的长．
【变式3】（23-24八年级上·吉林·期中）如图，在等边 中 ，点D是 的中点，P是
上的动点，E是 的中点，则 的最小值为 cm．方法5：已知一边中点，推理得出另一边中点，再取第三边中点构造三角形的中位线
【例题5】（2023上·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，
∠BAC=90°,AB=3,AC=4，平面上有一点P，连接AP，CP，且CP=2，取AP的中点M．连接BM，
则BM的最小值为（ ）
6❑√5
A．❑√10 B． C．❑√13-1 D．2❑√3
5
【变式1】（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∠BAC=30°，BC=3，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连CE，设CE的最大值为
m，最小值为n，则m+n= ．
【变式2】（22-23八年级下·江西宜春·阶段练习）在 中， 为 的中点，分别延长 ， 到点
， ，使 ；过 ， 分别作 ， 的垂线，相交于 ．求证： ．
【变式3】．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，D在AC上，△ABC与△CDE均为等边三角
形，F,H,G分别是BC,CE,AD的中点，连接FH,HG,GH．求证：△FGH为等边三角形．
