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第 11 章 三角形全章培优测试卷
【人教版】
（考试时间：60分钟 试卷满分：100分）
考前须知：
1．本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，压轴题均有★标记。
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（ ）
A．M表示等边三角形
B．M表示锐角三角形
C．P表示等腰三角形
D．N表示三边都不相等的三角形
【分析】根据三角形按边的分类可直接选出答案．
【解答】解：三角形根据边分类如下：
{ 不等边三角形 )
三角形 {底和腰不相等的等腰三角形) ，
等腰三角形
等边三角形
由图可知，M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形．
故选：C．
2．（3分）在下列说法中：
①三角形至少有两个锐角，
②三角形最多有一个钝角，
③三角形至少有一个内角的度数不少于60°．其中正确的是（ ）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】根据反证法，可证明①②③正确．
【解答】解：①若三角形的三个内角至多只有一个锐角，则三个内角中至少有 2个钝角，那么三个内
角的和就大于180°，与三角形三个内角的和等于180°矛盾，所以说法①正确；
②若三角形的三个内角最少有2个钝角，那么三个内角的和就大于180°，与三角形三个内角的和等于
180°矛盾，所以说法②正确；
③若三角形的三个内角都小于60°，那么三个内角的和就小于180°，与三角形三个内角的和等于180°矛
盾，所以说法③正确．
故选：D．
3．（3分）在△ABC中，AC＝7，BC边上的中线AD把△ABC分成周长差为5的两个三角形，则AB的长
为（ ）
A．2 B．19 C．2或19 D．2或12
【分析】分两种情形：当△ABD的周长大时，当△ADC的周长大时，分别求解即可
【解答】解：∵AD为BC边的中线，
∴BD＝CD．
①当△ABD的周长大时，
△ABD与△ADC的周长差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC．
∵△ABD与△ADC的周长差为5，AC＝7，
∴AB﹣7＝5，解得AB＝12．
②当△ADC的周长大时，
△ADC与△ABD的周长差＝（AC+AD+CD）﹣（AB+AD+BD）＝AC﹣AB．
∵△ABD与△ADC的周长差为5，AC＝7，
∴7﹣AB＝5，解得AB＝2．
故AB＝2或12．
故选：D．
4．（3分）将如图所示的一块直角三角板放置在△ABC上，使三角板的两条直角边DE、EF分别经过点
B、C，若∠A＝60°，则∠ABE+∠ACE等于（ ）A．30° B．40° C．50° D．55°
【分析】连接AE，延长AE交BC于点M，由∠BEM是△ABE的外角，∠CEM是△ACE的外角，利用
三角形的外角性质，可得出∠BEM＝∠BAE+∠ABE，∠CEM＝∠CAE+∠ACE，将两式相加后可得出
∠BEC＝∠BAC+∠ABE+∠ACE，再代入∠BEC＝90°，∠BAC＝60°，即可求出∠ABE+∠ACE的度数．
【解答】解：连接AE，延长AE交BC于点M，如图所示.
∵∠BEM是△ABE的外角，∠CEM是△ACE的外角，
∴∠BEM＝∠BAE+∠ABE，∠CEM＝∠CAE+∠ACE，
∴∠BEM+∠CEM＝∠BAE+∠ABE+∠CAE+∠ACE，
即∠BEC＝∠BAC+∠ABE+∠ACE，
∴90°＝60°+∠ABE+∠ACE，
∴∠ABE+∠ACE＝90°﹣60°＝30°．
故选：A．
5．（3分）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距
离依次为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺
丝的距离之最大值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种
三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．
【解答】解：已知4条木棍的四边长为3、4、5、7；
①选3+4、5、7作为三角形，则三边长为7、5、7；7﹣5＜7＜7+5，能构成三角形，此时两个螺丝间的
最长距离为7；
②选4+5、3、7作为三角形，则三边长为9、3、7；7﹣3＜9＜7+3，能构成三角形，此时两个螺丝间的
最大距离为9；③选3+7、4、5作为三角形，则三边长为10、4、5；4+5＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；
④选5+7、3、4作为三角形，则三边长为12、3、4；而3+4＜12，不能构成三角形，此种情况不成
立；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为9．
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足
分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，得∠C＝∠BDF＝∠BAD＝∠ADE．
【解答】解：如图，∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠C+∠B＝90°，∠BDF+∠B＝90°，∠BAD+∠B＝90°，
∴∠C＝∠BDF＝∠BAD，
∵∠DAC+∠C＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°，
∴∠C＝∠ADE，
∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3，
故选：A．
7．（3分）如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若
∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（ ）
A．38 B．39 C．40 D．41【分析】先根据折叠的性质得到∠ADE＝∠ODE，∠AED＝∠OED，∠OFE＝∠BFE，∠BEF＝
∠OEF，则利用平角的定义得到∠AED+∠BEF＝90°，∠ADE+∠BFE＝128°，再利用三角形内角和定理
得到∠A+∠ADE+∠AED+∠B+∠BFE+∠BEF＝2×180°，则可计算出∠A+∠B＝142°，然后根据三角形
内角和定理可计算出∠C的度数．
【解答】解：∵△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，
∴∠ADE＝∠ODE，∠AED＝∠OED，∠OFE＝∠BFE，∠BEF＝∠OEF，
∵∠AEO+∠BEO＝180°，
∴∠AED+∠BEF＝90°，
∵∠ADO+∠BFO＝2×180°﹣∠CDO﹣∠CFO＝360°﹣104°＝256°，
∴∠ADE+∠BFE＝128°，
∵∠A+∠ADE+∠AED+∠B+∠BFE+∠BEF＝2×180°，
即∠A+∠B+（∠ADE+∠BFE）+（∠AED+∠BEF）＝2×180°，
∴∠A+∠B+128°+90°＝2×180°，
∴∠A+∠B＝142°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣142°＝38°．
故选：A．
8．（3分）在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了 1个内角，其和等于1180°，则少算的这个角
的度数是（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【分析】设这个多边形的边数为n（n为正整数且n≥3），根据题意得1180°＜180°（n﹣2）＜1180°
+180°，从而求得多边形的边数n，进而解决此题．
【解答】解：设这个多边形的边数为n（n为正整数且n≥3）．
由题意得：1180°＜180°（n﹣2）＜1180°+180°．
∴1180°＜180°（n﹣2）＜1360°．
5 5
∴8 ＜n＜9 ．
9 9
∴n＝9．
∴这个多边形的内角和为180°×（9﹣2）＝1260°．
∴少算的这个角的度数为1260°﹣1180°＝80°．
故选：C．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给出以下结论：①BF＝AF；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④S△ABE ＝
S△BCE ；⑤BH＝CH．其中结论正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据三角形的中线的性质判断①；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根
据角平分线的定义判断③，根据题意判断④．
【解答】解：∵BE是△ABC的中线，
∴S△ABE ＝S△BCE ，
故④正确，符合题意；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD⊥BC，
∴∠BCF+∠CGD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACF+∠AFG＝90°，
∴∠CGD＝∠AFG，
∵∠CGD＝∠AGF，
∴∠AGF＝∠AFG，
故②正确，符合题意；
∵AD⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠FAG＝∠ACB＝2∠ACF，
故③正确，符合题意；
由已知条件不能确定∠HBC＝∠HCB，
∴BH与CH的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意；
∵CF是角平分线，∠BAC＝90°，
∴BF≠AF，
故①错误，不符合题意；
综上，符合题意的有3个，故选：B．
10．（3分）如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角
∠ACF．以下结论：① AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④ BD 平分
∠ADC；⑤∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EAC＝∠ABC+∠ACB＝
2∠ABC，根据角平分线的定义可得∠EAC＝2∠EAD，然后求出∠EAD＝∠ABC，再根据同位角相等，
两直线平行可得AD∥BC，判断出①正确；
根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB＝∠CBD，再根据角平分线的定义可得∠ABC＝2∠CBD，从
而得到∠ACB＝2∠ADB，判断出②正确；
根据两直线平行，内错角相等可得∠ADC＝∠DCF，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
角的和和角平分线的定义整理可得∠ADC＝90°﹣∠ABD，判断出③正确；
1
根据三角形的外角性质与角平分线的定义表示出∠DCF，然后整理得到∠BDC= ∠BAC，判断出⑤错
2
误，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBD＝∠ADB，∠ABC与∠BAC不一定相等，所以∠ADB
与∠BDC不一定相等，判断出④错误．
【解答】解：由三角形的外角性质得，∠EAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠ABC，
∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，故①正确，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠CBD，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ADB，故②正确；∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCF，
∵CD是∠ACF的平分线，
1 1 1 1
∴∠ADC= ∠ACF= （∠ABC+∠BAC）= （180°﹣∠ACB）= （180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠ABD，
2 2 2 2
故③正确；
由三角形的外角性质得，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠DCF＝∠BDC+∠DBC，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，
1 1
∴∠DBC= ∠ABC，∠DCF= ∠ACF，
2 2
1 1 1 1
∴∠BDC+∠DBC= （∠ABC+∠BAC）= ∠ABC+ ∠BAC＝∠DBC+ ∠BAC，
2 2 2 2
1
∴∠BDC= ∠BAC，故⑤错误；
2
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠ADB，
∵∠ABC与∠BAC不一定相等，
∴∠ADB与∠BDC不一定相等，
∴BD平分∠ADC不一定成立，故④错误；
综上所述，结论正确的是①②③共3个．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图，五根木条钉成一个五边形框架ABCDE，要使框架稳固且不活动，至少还需要添 2
根木条．
【分析】根据三角形的稳定性，只要使五边形框架ABCDE变成三角形的组合体即可．
【解答】解：从图中可以看出，要使框架稳固且不活动，至少还需要添2根木条．
故答案为：2．12．（3分）已知某三角形的两条边长分别为4cm和8cm．则周长l的取值范围是： 1 6 ＜ l ＜ 2 4 ．
【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得第三边大于8cm﹣4cm＝4cm，而小于8cm+4cm＝12cm．
则周长l的取值范围是大于8cm+4cm+4cm＝16cm，而小于8cm+4cm+12cm＝24cm．
即16＜l＜24，
故答案是：16＜l＜24．
13．（3分）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠EAB，∠DBA，∠E保持不
变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝130°，则图中∠D应增加 1 0 度．
【分析】延长EF交BD于H，根据三角形的内角和可求∠EHC，进而可得∠DHF，再根据外角定理即
可求解．
【解答】解：延长EF交BD于H，
∵∠CAB+∠CBA＝∠E+∠EHC，
∴∠EHC＝50°+60°﹣30°＝80°，
∴∠DHF＝180°﹣∠EHC＝100°，
∵∠D＝∠EFD﹣∠DHF，∠EFD＝130°，∴∠D＝30°，
故∠D应增加10°．
故答案为：10．
14．（3分）足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内
角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球
形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 12 ° ．
【分析】先由多边形的内角和公式求出正六边形和正五边形的内角，再根据周角是360°即可求出∠AOB
的大小．
【解答】解：因为正多边形内角和为（n﹣2）•180°，正多边形每个内角都相等，
1
所以正五边形的每个内角的度数为 （5﹣2）•180°＝108°，
5
1
正六边形的每个内角的度数为 （6﹣2）•180°＝120°．
6
∴∠AOB的度数为：360°﹣108°﹣120°×2＝12°．
故答案为：12°．
15．（3分）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC ＝4cm2，
则阴影部分的面积为 1 cm2．
【分析】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，
那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半．
【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
1 1
∴S△ABD ＝S△ACD =
2
S△ABC =
2
×4＝2（cm2），
1 1
同理S△BDE ＝S△CDE =
2
S△BCE =
2
×2＝1（cm2），∴S△BCE ＝2（cm2），
∵F为EC中点，
1 1
∴S△BEF =
2
S△BCE =
2
×2＝1（cm2）．
故答案为1．
16．（3分）如图，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB．若∠A＝72°，则∠D﹣
∠E＝ 3 6 °．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由BD，BE三等分∠ABC，CD，CE
三等分∠ACB得出∠EBC+∠ECB，∠DBC+∠DCB的度数，由三角形内角和定理得出∠E，∠D的度
数，进而得出结论．
【解答】解：∵∠A＝72°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣72°＝108°，
∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，
2 2
∴∠EBC+∠ECB= （∠ABC+∠ACB）= ×108°＝72°，
3 3
1 1
∠DBC+∠DCB= （∠ABC+∠ACB）= ×108°＝36°，
3 3
∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣36°＝144°；
∠E＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣72°＝108°，
∴∠D﹣∠E＝144°﹣108°＝36°．
故答案为：36．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）如图，在△ABC中，AD是中线，AB＝10cm，AC＝6cm．
（1）△ABD与△ACD的周长差为 4 cm．
（2）点E在边AB上，连接ED，若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的
长．【分析】（1）因为AD是中线，所以BD＝CD，因为△ABD的周长＝AB+AD+BD，△ACD的周长＝
AC+CD+AD，可得△ABD的周长△ACD的周长的差即 AB与AC的差，因为AB﹣AC＝4（cm），即
△ABD的周长△ACD的周长的差为4cm；
（2）分两种情况讨论．
【解答】解：（1）∵AD是中线，
∴BD＝CD，
∵△ABD的周长＝AB+AD+BD，△ACD的周长＝AC+CD+AD，
∴△ABD的周长△ACD的周长的差即AB与AC的差，
∵AB﹣AC＝4（cm），
∴△ABD的周长△ACD的周长的差为4cm，
故答案为：4；
（2）①折线BE+BD比折线AE+AC+CD大2cm时，
即BE﹣（AE+AC）＝2cm，
∵AB＝10cm，AC＝6cm，
∴AE＝1cm，
②折线AE+AC+CD比折线BE+BD大2cm时，
即AE+AC﹣BE＝2cm，
∵AB＝10cm，AC＝6cm，
∴AE＝3cm，
综上，线段AE的长为1cm或3cm．
18．（6分）已知：a、b、c为△ABC的三边长，且a、b满足|2a﹣b+2|+（a+b﹣8）2＝0．
（1）求c的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若2x﹣c＝1，求x的取值范围．
【分析】（1）根据非负数的性质和三角形的三边关系即可得到结论．
（2）根据题意解不等式组即可得到结论．
【解答】解：（1）∵|2a﹣b+2|+（a+b﹣8）2＝0，{2a−b+2=0)
∴ ，
a+b−8=0
解得a＝2，b＝6，
∵6﹣2＝4，6+2＝8，
∴4＜c＜8，
∴c的取值范围为4＜c＜8；
（2）∵2x﹣c＝1，
∴c＝2x﹣1，
∴4＜2x﹣1＜8，
5 9
∴ ＜x＜ ，
2 2
5 9
∴x的取值范围为 ＜x＜ ．
2 2
19．（6分）如图，CD是△ABC的角平分线，点E在是AC上，BE交CD于点F，∠ACB＝56°．
（1）若BE⊥AC，求∠DFB的度数；
（2）若BE⊥CD，∠A＝50°，求∠ABE的度数．
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠ACD＝28°，再由垂直可得∠AEF＝90°，从而可求∠AFE的度
数，结合对顶角相等即可求∠DFB的度数；
（2）由角平分线的定义可得∠ACD＝28°，再由垂直可得∠AEF＝90°，从而可求∠CEF的度数，由平
角的定义可得∠AEB的度数，利用三角形的内角和即可求∠ABE的度数．
【解答】解：（1）∵CD是∠ACB的平分线，
1
∴∠ACD= ∠ACB=28°，
2
∵BE⊥AC，
∴∠CEF＝90°．
∴∠EFC＝90°﹣∠ACD＝62°，∴∠DFB＝∠EFC＝62°；
（2）∵BE⊥CD，CD是∠ACB 的平分线，
∴∠CFE＝90°，∠ACD＝28°，
∴∠CEB＝180°﹣∠CFE﹣∠ACD＝62°，
∴∠AEB＝180°﹣∠CEB＝118°，
∴∠ABE＝180°﹣∠AEB﹣∠A＝180°﹣118°﹣50°＝12°．
20．（8分）如图，一组正多边形，观察每个正多边形中a的变化情况，解答下列问题．
（1）将表格补充完整．
正多边形的边数 3 4 5 6
的度数
α 180
（2）观察上面表格中 的变化规律，角 与边数n的关系为 ＝（ ） ° ．
n
α α α
（3）根据规律，当 ＝18°时，多边形边数n＝ 1 0 ．
α
【分析】（1）根据n边形的内角和公式求解即可；
180
（2）根据（1）中计算、观察，可发现规律：正n边形中的 ＝（ ）°；
n
α
（3）根据正n边形中的 ＝（
α 180
n
）°，可得答案．
【解答】解：（1）将表格补充完整．
正多边形的边数 3 4 5 6
的度数 60° 45° 36° 30°
故答α案为：60°，45°，36°，30°；
180
（2）根据（1）中计算、观察，可得 的变化规律，角 与边数n的关系为： ＝（ ）°，
n
α α α
180
故答案为： ＝（ ）°；
n
α180
（3）把 ＝18°代入 ＝（ ）°，
n
α α
解得：n＝10，
故答案为：10．
21．（8分）△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，∠B＜∠C，由（1）的计算结果，你能发现△DAE与∠C﹣∠B的数量关系吗？写出这个
关系式，并加以证明；
（3）如图3，∠B＝30°，∠C＝70°延长AB到点G，∠BAD和∠CBG的角平分线交于点F、请直接写出
∠F的度数 55 ° ．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得∠BAC＝80°，由角平分线的定义可得∠CAD的度数，利
用三角形的高线可求∠CAE得度数，进而求解即可得出结论；
（2）根据（1）的推理方法可求解∠DAE、∠B、∠C的数量关系；
（3）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可证明∠ADB＝2∠F，求出∠ADB即可解决问题．
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝80°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
1
∴∠CAD＝∠BAD= ∠BAC＝40°，
2
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝10°；
（2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AD是∠BAC的角平分线，
1
∴∠CAD＝∠BAD= ∠BAC，
2
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠C，
1 1 1 1
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE= ∠BAC﹣（90°﹣∠C）= （180°﹣∠B﹣∠C）﹣90°+∠C= ∠C−
2 2 2 2
∠B，
1 1
即∠DAE= ∠C− ∠B；
2 2
（3）∵∠BAD和∠CBG的角平分线交于点F，
∴∠BAD＝2∠BAF，∠CBG＝2∠FBG，
∵∠BAF＝∠FBG﹣∠BAF，∠BAD＝∠CBG﹣∠ADB，
∴2∠FBG﹣∠BDA＝2（∠FBG﹣∠F）＝2∠FBG﹣2∠F，
即∠ADB＝2∠F，
∵∠BAC＝180°﹣30°﹣70°＝80°，
1
∴∠CAD= ∠BAC＝40°，
2
∴∠BDA＝∠C+∠DAC＝70°+40°＝110°，
1
∴∠F= ∠BDA＝55°．
2
故答案为55°．
1
22．（8分）（1）如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，则有∠BOC＝90°+ ∠A，
2
请说明理由；
（2）如图2，在△ABC中，内角∠ABC的平分线和外角∠ACD的平分线交于点O，请直接写出∠BOC
与∠BAC的关系，不必说明理由；
1
（3）如图3，AP，BP分别平分∠CAD，∠CBD，则有∠P= （∠C+∠D），请说明理由；
2
（4）如图4，AP，BP分别平分∠CAM，∠CBD，请直接写出∠P与∠C，∠D的关系，不必说明理
由．【分析】（1）根据已知利用角平分线的性质，和图中角与角之间的关系证明．
（2）利用角平分线的性质可知相等．
（3）利用三角形外角与内角的关系，进行证明．
（4）利用角平分线的性质及三角形内角和定理可得出结论．
【解答】解：（1）在△ABC，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵BO是∠ABC的平分线，
1
∴∠1= ∠ABC，
2
∵CO是∠ACB的平分线，
1
∴∠2= ∠ACB，
2
1 1
∴∠1+∠2= （∠ABC+∠ACB）＝90°− ∠A，
2 2
在△BOC，∠BOC+∠1+∠2＝180°，
1
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝90°+ ∠A；
2
1
（2）∠BOC= ∠BAC．
2
∵CO是∠ACD的角平分线，
1
∴∠OCD= ∠ACD．
2
又∵∠ACD＝∠BAC+∠ABC，
1 1
∴∠OCD= ∠BAC+ ∠ABC，
2 2
1
又∵∠OCD＝∠BOC+ ∠ABC，
21 1 1
∴ ∠BAC + ∠ABC＝∠BOC + ∠ABC，
2 2 2
1
∴∠BOC= ∠BAC．
2
（3）∵AP、BP分别平分∠CAD、∠CBD，
1 1
∴∠DAP＝∠CAP= ∠CAD，∠CBP＝∠DBP= ∠CBD，
2 2
∵∠AEB是△ADE和△BEP的外角，
∴∠AEB＝∠D+∠DAP＝∠DBP+∠P，
1 1
∴∠D+ ∠CAD= ∠CBD+∠P，
2 2
1 1
∴ ∠CAD− ∠CBD＝∠P﹣∠D，
2 2
∵∠AFB是△BCF和△AFP的外角，
∴∠AFB＝∠CAP+∠P＝∠CBP+∠C，
1 1
∴ ∠CAD+∠P = ∠CBD+∠C，
2 2
1 1
∴ ∠CAD− ∠CBD＝∠C﹣∠P，
2 2
1 1
∵ ∠CAD− ∠CBD＝∠P﹣∠D，
2 2
∴∠C﹣∠P＝∠P﹣∠D，
1
∴∠P= (∠C+∠D)．
2
1
（4）∠P＝90°+ （∠C+∠D）．
2
理由如下：
∵AP，BP分别平分∠CAM，∠CBD，
∴∠MAP＝∠CAP，∠EBP＝∠PBC，
∵∠AGD＝BGC，
∴∠D+∠DAC＝∠C+∠CBE，
∴∠D+180°﹣2∠CAE＝∠C+2∠PBE，
180°+∠D−∠C
∴∠PBE+∠CAE= ，
2∵∠AED＝∠BEP，
∴∠P+∠PBE＝∠D+∠DAE，
∴∠P+∠PBE＝∠D+180°﹣∠EAM＝∠D+180°﹣∠CAE，
180°+∠D−∠C
∴∠P＝∠D+180°−
2
1 1 1
＝90°+ ∠D+ ∠C＝90°+ （∠C+∠D）．
2 2 2
23．（10分）利用图形这一直观性语言，在一定程度上可以降低我们认识和理解抽象逻辑推理的难度；利
用图形建构几何直观，可以轻松实现空间形式和数量关系的相互转化．让我们在如下的问题解决中体验
一下吧!
【模块探究】
如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C
【直观应用】
（1）应用上述结论，若图2中，∠EOF＝ ，则∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的度数之和等于
2 （直接给出结论，不必说明理由） α
（α2）应用上述结论，求图3所示的五角星中，∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的度数之和是多少？证明你
的结论；
【类比联系】
如图4，求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F、∠G的度数之和是多少？证明你的结论．
【分析】模块探究，由三角形外角的性质，即可证明；直观应用，应用模块探究的结论，即可解决问题；
类比联系，应用模块探究的结论，即可解决问题．
【解答】
模块探究，证明：延长BO交AC于D，
∵∠BOC＝∠C+∠CDO，∠CDO＝∠A+∠B，
∴∠BOC＝∠A+∠B+∠C；
直观应用，解：（1）由上述结论得：∠BOC＝∠A+∠B+∠C，∠EOF＝∠D+∠E+∠F，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠BOC+∠EOF＝2 ，
故答案为：2 ． α
（2）∠A、∠αB、∠C、∠D、∠E的度数之和是180°，
证明：∵∠BOC＝∠A+∠B+∠C，∠COD＝∠E+∠D，
∴∠A+∠B+∠C+∠E+∠D＝∠BOC+∠COD＝180°；
类比联系：∵∠DMN＝∠G+∠GNM，∠GNM＝∠BNC＝∠F+∠B+∠C，
∴∠DMN＝∠G+∠F+∠B+∠C，
∵∠EMD＝∠A+∠E+∠D
∴∠A+∠E+∠D+＝∠G+∠F+∠B+∠C＝∠EMD+∠DMN＝180°．
