文档内容
专题3.2 等腰三角形分类讨论问题综合应用（六大类型）
【题型1 腰和底不明时需分类】
【题型2 顶角和底角不明时需讨论】
【题型3 涉及中线、高位置的讨论】
【题型4 等腰三角形个数的讨论】
【题型5 动点引起的分类】
【题型6 等腰三角形中半角模型】
【题型1 腰和底不明时需分类】
【典例1】等腰三角形一边长12cm，另一边长5cm，它第三边长可以是（ ）
A．17cm B．12cm C．7cm D．5cm
【变式1-1】已知等腰△ABC的周长为16厘米，边AB＝6cm，则边BC的长是（ ）
A．4cm或10cm B．4cm或6cm
C．4cm或5cm D．4cm或5cm或6cm
【变式1-2】已知等腰△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，则△ABC的周长为（ ）
A．18cm B．24cm
C．30cm D．24cm或30cm
【变式1-3】已知a，b是等腰三角形的两边长，且满足 ，则此三角形
的周长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．12或15
【题型2 顶角和底角不明时需讨论】
【典例2】等腰三角形的一角为100°，则另一角为（ ）
A．100° B．40° C．100°或40° D．50°
【变式2-1】如果等腰三角形的一个底角为70°，那么另外两个角的度数分别为（ ）
A．50°和70° B．40°和70° C．55°和55° D．55°和70°
【变式2-2】已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（ ）A．80° B．20° C．80°或20° D．不能确定
【变式2-3】等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角的度数为（ ）
A．50° B．65° C．50°或65° D．80°或50°
【题型3 涉及中线、高位置的讨论】
【典例3】（2023春•莲池区校级期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为32°，
则它的顶角的度数是（ ）
A．32° B．58° C．122° D．58°或122°
【变式3-1】（2023春•菏泽月考）已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为
40°，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．50° B．130° C．50°或130° D．65°或130°
【变式3-2】（2022秋•硚口区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则它
的底角的大小是（ ）
A．25° B．20° C．25°或65° D．20°或70°
【变式3-3】（2022秋•聊城期末）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这
个等腰三角形的底角的度数为（ ）
A．20° B．50°或70° C．70° D．20°或70°
【题型4 等腰三角形个数的讨论】
【典例4】（2021秋•越秀区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点 A，B分别在y轴
和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件
的P点的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式4-1】（武汉模拟）平面直角坐标系中，A（3，3）、B（0，5）．若在坐标轴上取
点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）A．3 B．4 C．5 D．7
【变式4-2】（2023春•莲池区期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．
已知A、B是两格点，如果P也是图中的格点，且使得△ABP为等腰三角形，则点P的
个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式4-3】（2022秋•香洲区期中）如图，平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（4，
0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（
）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式4-4】（2022秋•佛山校级期中）在平面直角坐标系内点A、点B的坐标分别为（0，
3）、（4，3），在坐标轴上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的
个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【变式4-5】（2021秋•东安区校级期中）如图，坐标平面内一点A（﹣1，1），O为原点，
P是坐标轴上一点，如果以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的点
P的个数是（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【题型5 动点引起的分类】
【典例5】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝10cm，若点M从点B出发
以2cm/s的速度向点A运动，点N从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设M、N分
别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．
（1）用含t的式子表示线段AM、AN的长；
（2）当t为何值时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形？
（3）当t为何值时，MN∥BC？并求出此时CN的长．
【变式5-1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动
（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ °，∠DEC＝ °；点D从B向C运动时，
∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
【变式5-2】如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在AB边上运动（D不与A、
B重合），连接CD．作∠CDE＝30°，DE交AC于点E．
（1）当DE∥BC时，△ACD的形状按角分类是 直角三角形 ；
（2）在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出
∠AED的度数；若不可以，请说明理由．
【题型6 等腰三角形中半角模型】
【典例6】如图1，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，
以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．
（1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由．
（2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长．
【变式6-1】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D是线段BC上一点，
∠ADC＝90°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO＝∠ACO；②∠APO+∠DCO＝30°；③AC＝AO+AP；④PO＝PC，其
中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式6-2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点O为AC中点，点E为
边AB上一点，∠EOF＝90°，OF交BC于点F，求四边形BEOF的面积．
【变式6-3】如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点O在BC边上运动（O不与B、
C重合），点D在线段AB上，连结AO，OD．点O运动时，始终满足∠AOD＝∠B．
（1）当AO的最小值为4时，此时BD＝ ；
（2）当OD∥AC时，判断△AOB的形状并说明理由；
（3）在点O的运动过程中，△AOD的形状是等腰三角形时，请直接写出此时∠BDO的
度数．
