文档内容
专题3.2 等腰三角形分类讨论问题综合应用（六大类型）
【题型1 腰和底不明时需分类】
【题型2 顶角和底角不明时需讨论】
【题型3 涉及中线、高位置的讨论】
【题型4 等腰三角形个数的讨论】
【题型5 动点引起的分类】
【题型6 等腰三角形中半角模型】
【题型1 腰和底不明时需分类】
【典例1】等腰三角形一边长12cm，另一边长5cm，它第三边长可以是（ ）
A．17cm B．12cm C．7cm D．5cm
【答案】B
【解答】解：若12cm为腰长，4cm为底边长，
∵12+12＞5，
∴能组成三角形，
∴它的第三边是12cm；
若12cm为底边长，5cm为腰长，
∵5+5＜12，
∴不能组成三角形；
故选：B．
【变式1-1】已知等腰△ABC的周长为16厘米，边AB＝6cm，则边BC的长是（ ）
A．4cm或10cm B．4cm或6cm
C．4cm或5cm D．4cm或5cm或6cm
【答案】D
【解答】解：当边AB为腰时，则AC为腰，BC为底或BC为腰，AC为底，
当AB、AC为腰，BC为底时AC＝AB＝6cm，∵等腰△ABC的周长为16厘米，
∴底边BC的长为：16﹣6﹣6＝4cm，
而6+6＞4，能构成三角形，适合题意；
当AB、BC为腰，AC为底时，BC＝AB＝6cm，
∵等腰△ABC的周长为16厘米，
∴底边AC的长为：16﹣6﹣6＝4cm，
而6+6＞4，能构成三角形，适合题意；
当边AB为底边时，则腰为AC和BC，
∵等腰△ABC的周长为16厘米，AB＝6cm，
∴BC的长为： ＝5cm，
而5+5＞6，能构成三角形，适合题意；
综上，BC的长为4cm或5cm或6cm，
故选：D．
【变式1-2】已知等腰△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，则△ABC的周长为（ ）
A．18cm B．24cm
C．30cm D．24cm或30cm
【答案】C
【解答】解：分两种情况讨论：
当等腰三角形的腰长为6cm，底边长为12cm，
∵6+6＝12，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为12cm，底边长为6cm，
∴△ABC的周长＝12+12+6＝30（cm）；
综上所述：△ABC的周长为30cm，
故选：C．
【变式1-3】已知a，b是等腰三角形的两边长，且满足 ，则此三角形
的周长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．12或15
【答案】C【解答】解：∵ ，
∴a﹣3＝0，6﹣b＝0，
解得：a＝3，b＝6，
分两种情况：
当腰为3，底边长为6时，
∵3+3＝6，
∴不能组成三角形；
当腰为6，底边长为3时，
∴这个三角形的周长＝6+6+3＝15；
综上所述：此三角形的周长为15，
故选：C．
【题型2 顶角和底角不明时需讨论】
【典例2】等腰三角形的一角为100°，则另一角为（ ）
A．100° B．40° C．100°或40° D．50°
【答案】B
【解答】解：当底角为100°时，则另外一个底角为100°，此时不满足三角形内角和定理，
当顶角为100°时，则底角为 ，
故选：B．
【变式2-1】如果等腰三角形的一个底角为70°，那么另外两个角的度数分别为（ ）
A．50°和70° B．40°和70° C．55°和55° D．55°和70°
【答案】B
【解答】解：∵等腰三角形的一个底角为70°，等腰三角形的两底角相等，
∴等腰三角形的另一个底角为70°，
∴等腰三角形的顶角＝180°﹣70°×2＝40°，
∴等腰三角形另外两个角的度数分别为40°和70°，
故选：B．
【变式2-2】已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（ ）
A．80° B．20° C．80°或20° D．不能确定
【答案】C
【解答】解：①若100°是顶角的外角，则顶角＝180°﹣100°＝80°；②若100°是底角的外角，则底角＝180°﹣100°＝80°，那么顶角＝180°﹣2×80°＝20°．
故选：C．
【变式2-3】等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角的度数为（ ）
A．50° B．65° C．50°或65° D．80°或50°
【答案】D
【解答】解：①当50°角为顶角时，顶角度数为50°；
②当50°为底角时，顶角＝180°﹣2×50°＝80°，
故选：D．
【题型3 涉及中线、高位置的讨论】
【典例3】（2023春•莲池区校级期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为32°，
则它的顶角的度数是（ ）
A．32° B．58° C．122° D．58°或122°
【答案】D
【解答】解：如图1，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝32°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝58°，
此时顶角的度数为58°．
如图2，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝32°，
∴∠BAC＝90°+∠ABD＝122°．
此时顶角的度数为122°，
故选：D．
【变式3-1】（2023春•菏泽月考）已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为
40°，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．50° B．130° C．50°或130° D．65°或130°
【答案】C
【解答】解：①如图1，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝40°，∴∠A＝50°，
即顶角的度数为50°．
②如图2，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA＝40°，
∴∠BAD＝50°，
∴∠BAC＝130°．
故选：C．
【变式3-2】（2022秋•硚口区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则它
的底角的大小是（ ）
A．25° B．20° C．25°或65° D．20°或70°
【答案】D
【解答】解：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠ABD＝50°，
∴∠A＝90°﹣50°＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣40°）＝70°；
②若∠A＞90°，如图2所示：
同①可得：∠DAB＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣40°＝140°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣140°）＝20°；综上所述：等腰三角形底角的度数为70°或20°，
故选：D．
【变式3-3】（2022秋•聊城期末）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这
个等腰三角形的底角的度数为（ ）
A．20° B．50°或70° C．70° D．20°或70°
【答案】D
【解答】解：①如图1，当该等腰三角形为钝角三角形时，
∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，
∴底角＝ （90°﹣50°）＝20°，
②如图2，当该等腰三角形为锐角三角形时，
∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，
∴底角＝ [180°﹣（90°﹣50°）]＝70°．
故选：D．【题型4 等腰三角形个数的讨论】
【典例4】（2021秋•越秀区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点 A，B分别在y轴
和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件
的P点的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解答】解：①当AB＝AP时，在y轴上有2点满足条件的点P，在x轴上有1点满足
条件的点P．
②当AB＝BP时，在y轴上有1点满足条件的点P，在x轴上有2点满足条件的点P，
有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．
③当AP＝BP时，在x轴、y轴上各有一点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴
正半轴的点P重合．
综上所述：符合条件的点P共有6个．
故选：B．
【变式4-1】（武汉模拟）平面直角坐标系中，A（3，3）、B（0，5）．若在坐标轴上取
点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】D
【解答】解：当AC＝CB时，
作AB的垂直平分线，交x轴于C ，交y轴于点C
1 2
当AB＝AC时，
以点A为圆心，AB为半径作圆A，交y轴于C ，交x轴于C 、C ，
3 4 5
当AB＝BC时，
以点B为圆心，AB为半径作圆B，交y轴于点C 、C
6 7
故选：D．
【变式4-2】（2023春•莲池区期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．
已知A、B是两格点，如果P也是图中的格点，且使得△ABP为等腰三角形，则点P的
个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解答】解：如图，分情况讨论：①AB为等腰△ABP的底边时，符合条件的P点有4个；
②AB为等腰△ABP其中的一条腰时，符合条件的P点有4个．
故选：D．
【变式4-3】（2022秋•香洲区期中）如图，平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（4，
0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（
）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0）．
∴AB＝2 ，
①若AC＝AB，以A为圆心，AB为半径画弧与x轴有2个交点（含B点），即（0，
0）、（4，0），
∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；
②若BC＝AB，以B为圆心，BA为半径画弧与x轴有2个交点（A点除外），即满足
△ABC是等腰三角形的C点有2个；
③若CA＝CB，作AB的垂直平分线与x轴，y轴各有一个有1个交点，即满足△ABC是
等腰三角形的C点有2个；综上所述：点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个．
故选：A．
【变式4-4】（2022秋•佛山校级期中）在平面直角坐标系内点A、点B的坐标分别为（0，
3）、（4，3），在坐标轴上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的
个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】C
【解答】解：①若AC＝AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；
②若BC＝BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；
③若CA＝CB，则点C在AB的垂直平分线上，
∵A（0，3），B（4，3），
∴AB∥x轴，
∴AB的垂直平分线与坐标轴只有1个交点．
综上所述：符合条件的点C的个数有7个．
故选：C．【变式4-5】（2021秋•东安区校级期中）如图，坐标平面内一点A（﹣1，1），O为原点，
P是坐标轴上一点，如果以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的点
P的个数是（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解答】解：如图所示，满足条件的点P有8个：
故选：D．
【题型5 动点引起的分类】
【典例5】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝10cm，若点M从点B出发
以2cm/s的速度向点A运动，点N从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设M、N分
别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．
（1）用含t的式子表示线段AM、AN的长；
（2）当t为何值时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形？
（3）当t为何值时，MN∥BC？并求出此时CN的长．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
∵AB＝10cm，
∴AM＝AB﹣BM＝10﹣2t，AN＝t；
（2）∵△AMN是以MN为底的等腰三角形，
∴AM＝AN，即10﹣2t＝t，
∴当t＝ 时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形；
（3）当MN⊥AC时，MN∥BC．
∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°
∵MN∥BC，
∴∠NMA＝30°
∴AN＝ AM，
∴t＝ （10﹣2t），解得t＝ ，
∴当t＝ 时，MN∥BC，
CN＝5﹣ ×1＝ ．
【变式5-1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动
（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ 25 °，∠DEC＝ 115 °；点D从B向C运动时，
∠BDA逐渐变 小 （填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，
∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°，
∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°，115°，小；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝2，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
理由：∵∠BDA＝110°时，
∴∠ADC＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C+∠EDC＝30°+40°＝70°，
∴∠DAC＝∠AED，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC＝100°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝40°，
∴∠DAC＝∠ADE，∴△ADE的形状是等腰三角形．
【变式5-2】如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在AB边上运动（D不与A、
B重合），连接CD．作∠CDE＝30°，DE交AC于点E．
（1）当DE∥BC时，△ACD的形状按角分类是 直角三角形 ；
（2）在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出
∠AED的度数；若不可以，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵△ABC中，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝ ＝ ＝30°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝30°，
又∵∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝30°+30°＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ADC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴△ACD是直角三角形；
故答案为：直角三角形；
（2）△ECD可以是等腰三角形．理由如下：
①当∠CDE＝∠ECD时，EC＝DE，
∴∠ECD＝∠CDE＝30°，
∵∠AED＝∠ECD+∠CDE，
∴∠AED＝60°，
②当∠ECD＝∠CED时，CD＝DE，∵∠ECD+∠CED+∠CDE＝180°，
∴∠CED＝ ＝ ＝75°，
∴∠AED＝180°﹣∠CED＝105°，
③当∠CED＝∠CDE时，EC＝CD，
∠ACD＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵∠ACB＝120°，
∴此时，点D与点B重合，不合题意．
综上，△ECD可以是等腰三角形，此时∠AED的度数为60°或105°．
【题型6 等腰三角形中半角模型】
【典例6】如图1，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，
以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．
（1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由．
（2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）MN＝BM+NC．理由如下：
延长AC至E，使得CE＝BM，连接DE，如图所示：
∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，
∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，∠MBC＝∠ACB＝60°，
又∵BD＝DC，且∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠ABC+∠DBC＝∠ACB+∠DCB＝60°+30°＝90°，
∴∠MBD＝∠ECD＝90°，
在△MBD与△ECD中，，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD＝DE，∠BDM＝∠CDE，BM＝CE，
又∵∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，
∴∠BDM+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝60°，
∴∠CDE+∠NDC＝60°，即∠NDE＝60°，
∴∠MDN＝∠NDE＝60°，
在△DMN与△DEN中，
，
∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴MN＝EN，
又∵NE＝NC+CE，BM＝CE，
∴MN＝BM+NC；
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝2，
利用（1）中的结论得出：BM＝CE，MN＝EN，
△AMN的周长＝AM+MN+AN
＝AM+NE+AN＝AM+AN+NC+CE＝AM+AN+NC+BM
＝（AM+BM）+（NC+AN）
＝AB+AC＝2+2＝4．【变式6-1】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D是线段BC上一点，
∠ADC＝90°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结
论：①∠APO＝∠ACO；②∠APO+∠DCO＝30°；③AC＝AO+AP；④PO＝PC，其
中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：连接BO，如图1所示：
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BO＝CO，
∴∠OBC＝∠OCB，
又∵OP＝OC，
∴OP＝OB，
∴∠OBP＝∠OPB，又∵在等腰△ABC中∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠OBC+∠OBP＝∠OCB+∠ACO，
∴∠OBP＝∠ACO，
∴∠APO＝∠ACO，故①正确；
又∵∠ABC＝∠PBO+∠CBO＝30°，
∴∠APO+∠DCO＝30°，故②正确；
∵∠PBC+∠BPC+∠BCP＝180°，∠PBC＝30°，
∴∠BPC+∠BCP＝150°，
又∵∠BPC＝∠APO+∠CPO，
∠BCP＝∠BCO+∠PCO，
∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
又∵∠POC+∠OPC+∠OCP＝180°，
∴∠POC＝60°，
又∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形，
∴PC＝PO，∠PCO＝60°，故④正确；
在线段AC上截取AE＝AP，连接PE，如图2所示：
∵∠BAC+∠CAP＝180°，∠BAC＝120°，
∴∠CAP＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴AP＝EP，
又∵△OPC是等边三角形，
∴OP＝CP，
又∵∠APE＝∠APO+∠OPE＝60°，∠CPO＝∠CPE+∠OPE＝60°，
∴∠APO＝∠EPC，
在△APO和△EPC中，
，
∴△APO≌△EPC（SAS），
∴AO＝EC，
又∵AC＝AE+EC，AE＝AP，
∴AO+AP＝AC，故③正确；
故选：D．
【变式6-2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点O为AC中点，点E为
边AB上一点，∠EOF＝90°，OF交BC于点F，求四边形BEOF的面积．
【答案】4．
【解答】解：连接BO，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点O为AC中点，
∴BO＝OA＝OC，∠ABO＝∠OBC＝∠C＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠BOF+∠FOC＝∠EOB+∠BOF＝90°，
∴∠EOB＝∠FOC，
在△EOB与△FOC中，，
∴△EOB≌△FOC（ASA），
∴S△EOB ＝S△FOC ，
∴ 四 边 形 BEOF 的 面 积 ＝ S△
EOB
+S△
OBF
＝ S△
FOC
+S△
OBF
＝ S△
OBC
＝
．
答：四边形BEOF的面积是4．
【变式6-3】如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点O在BC边上运动（O不与B、
C重合），点D在线段AB上，连结AO，OD．点O运动时，始终满足∠AOD＝∠B．
（1）当AO的最小值为4时，此时BD＝ 6 ；
（2）当OD∥AC时，判断△AOB的形状并说明理由；
（3）在点O的运动过程中，△AOD的形状是等腰三角形时，请直接写出此时∠BDO的
度数．
【答案】（1）6；
（2）△AOB为直角三角形；
（3）60°或105°．
【解答】解：（1）当AO⊥BC时，OA的值最小，如图1中，
在Rt△ABO中，∵∠AOB＝90°，AO＝4，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2OA＝8，
∵AB＝AC，AO⊥BC，∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°，
∵∠AOD＝∠B＝30°，
∴∠ADO＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AD＝ OA＝2，
∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6．
故答案为：6；
（2）结论：△AOB为直角三角形．
理由：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠C＝∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵OD∥AC，∠AOD＝∠B＝30°，
∴∠OAC＝∠AOD＝30°，
∴∠BAO＝120°﹣30°＝90°，
∴△AOB是直角三角形；
（3）△AOD的形状可以是等腰三角形，理由如下：
分三种情况：
①DA＝DO时，∠OAD＝∠AOD＝30°，
∴∠BDO＝∠OAD+∠AOD＝60°；
②OA＝OD时，∠ODA＝∠OAD＝ ×（180°﹣30°）＝75°，
∴∠BDO＝180°﹣75°＝105°；
③AD＝AO时，∠ADO＝∠AOD＝30°，
∴∠OAD＝120°＝∠BAC，点O与C重合，不合题意；
综上所述，∠BDO的度数为60°或105°．
