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专题 4.10 一元一次方程的应用题必考十二大类型（84 题）
【人教版2024】
【类型1 商品销售问题·7题】..................................................................................................................................1
【类型2 配套问题·7题】..........................................................................................................................................3
【类型3 行程问题·7题】..........................................................................................................................................4
【类型4 工程问题·7题】..........................................................................................................................................6
【类型5 古代问题·7题】..........................................................................................................................................7
【类型6 数字问题·7题】..........................................................................................................................................9
【类型7 年龄问题·7题】........................................................................................................................................10
【类型8 日历问题·7题】........................................................................................................................................11
【类型9 积分问题·7题】........................................................................................................................................14
【类型10 几何问题·7题】......................................................................................................................................16
【类型11 方案决策问题·7题】..............................................................................................................................18
【类型12 分段计费问题·7题】..............................................................................................................................21
【类型1 商品销售问题·7题】
【方法点拨】
在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、标价、售价、打折等概念，在了解这些基
本概念的基础上，还必须掌握以下几个等量关系：
利润=售价－进价
利润=进价×利润率 实际售价=标价×打折率
【经典习题】
1．（2024•江西模拟）一家商店将某种服装按成本提高40%标价，又以8折优惠卖出，结果每件服装仍可
获利15元，则这种服装每件的成本价是 元．
2．（2022秋•深圳期末）某款羽绒服成本价为400元，商场按成本价提高50%后标价，由于换季滞销，商
场计划推出“换季大清仓”优惠活动，将此款羽绒服打折出售，若要使得打折后该商场仍可获利 20%，
则该款羽绒服应该打 折出售．
3．（2023秋•叙永县月考）某商场购进一批服装，又恰巧碰到双十一的促销活动，商场决定将这批服装按
标价的五折销售，若打折后每件服装可获利润 60元，其利润率为10%；若双十一过后，该商场按这批服装的标价打八折出售，那么获得的利润是 元．
4．（2023秋•成安县期末）某商场因换季，将一品牌服装打折销售，每件服装如果按标价的六折出售将亏
10元，而按标价的七五折出售将赚50元，问：
（1）每件服装的标价是多少元？
（2）每件服装的成本是多少元？
（3）为保证不亏本，最多能打几折？
5．（2023秋•桐乡市期末）某超市第一次用10500元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件
数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：
甲 乙
进价（元/件） 40 60
售价（元/件） 50 80
（1）该超市第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市第一次购进的甲、乙两种商品售完后，第二次又以第一次的进价购进甲、乙两种商品，其
中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两
种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润少600元，求第二次乙商品是按原价打几折销
售？
6．（2023秋•信宜市期末）综合应用
春节前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，乙种商品的每件进价比甲种商品的每件进价高 20
元．若购进甲种商品10件，乙种商品2件，需要1000元．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？
（2）若甲种商品按标价出售，则每件可获利40元，为了促销，现对甲种商品在标价基础上打折出售，
若按此促销方案售出6件所能获得的利润，与按标价每件降价35元出售12件所获得利润一样，求甲种
商品打了几折出售？
（3）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共60件，所用资金恰好为5600元，在销售时，甲种商品的
每件售价为100元，要使得这60件商品全部售出所获利润率为25%，求每件乙种商品售价为多少元？
7．（2024秋•南岗区校级期中）某家电商场在双十一活动前共投入 68000元，购进A、B两种品牌的微波
炉共100台，其中A品牌微波炉每台进价是500元，B品牌微波炉每台进价是800元．
（1）求购进A、B两种品牌微波炉各多少台？
（2）在销售过程中，A品牌微波炉每台售价800元，B品牌微波炉每台按进价加价25%销售，求全部售
磬后，该家电商场共获利多少元？（3）在（2）的条件下，根据市场调研情况，该家电商场决定第二次购进一批A、B两种品牌的微波炉
进行销售，其中A品牌微波炉购进数量不变，进价每台提高了50元，售价不变，并且全部售出；B品
牌微波炉购进数量增加10%，进价不变，售价提高10%，按标价售出一部分后，出现滞销，商场决定打
九折出售剩余的B品牌微波炉，第二次购进的两种品牌微波炉全部售磬后共获27600元，有多少台B品
牌微波炉打九折出售？
【类型2 配套问题·7题】
【方法点拨】
“配套”型应用题中有三组数据：（1）车间工人的人数；（2）每人每天平均能生产的不同的零件
数；（3）不同零件的配套比．（利用（1）（3）得到等量关系，构造方程）
一般地说，（2）、（3）两个数据可以预先给定．例如，在给出（2）、（3）两组数据的基础上，如
何确定车间工人人数，使问题有整数解．
【经典习题】
1．（2023秋•工业园区校级期中）服装厂生产一批学生校服，已知生产 1件上衣需要布料1.5米，生产1
条裤子需要布料1米．因为裤子旧得快，要求1件上衣和2条裤子配一套．生产这批校服共用了2016米
布料，共生产了 套校服．
2．（2023秋•南岗区校级期中）某车间有22名工人，每人每天可以生产12个螺钉或20个螺母，1个螺钉
需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排 人生产螺钉．
3．（2024秋•绥棱县校级期中）某车间有90名工人，每人平均每天加工大齿轮20个或小齿轮15个，已知
2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问一天最多可以生产多少套这样成套的产品？设最多可生产套成x
套产品，则可列方程为 ．
4．（2023秋•和田地区期末）机械厂加工车间有68名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10
个，已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套，那么需要分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能
使每天加工的大、小齿轮刚好配套？
5．（2023秋•江海区期末）某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工
人数的2倍少20人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底120个．
（1）该工厂有男工、女工各多少人？
（2）该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名
女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？
6．（2023秋•岚山区期末）某工厂车间有38名工人生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件12个或
B零件14个（每人每天只能生产一种零件），1个A零件和2个B零件配成一套，每天生产的A零件和
B零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利18元，每个B零件可获利13元．（1）工厂每天应分别安排多少名工人生产A，B两种零件？
（2）因市场需求，该工厂调整生产方案，每天除生产一定数量的配套零件外，还需额外生产若干数量
的A零件供商场单独销售，现从每天生产B零件的工人中调出部分工人生产A零件，工厂每日生产零件
的总获利比调动前增加了170元．则工厂从每天生产B零件的工人中调出多少名工人生产A零件？
7．（2023秋•凉州区期末）列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解）
第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”
“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的
盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人．
（1）若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒A的工人人
数；
（2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由 2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每
个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安
排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？
【类型3 行程问题·7题】
【方法点拨】
基本关系：路程=速度×时间 相遇路程=速度和×相遇时间 追及路程=速度差×追及时间
（1）直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的路程
（2）直线形追及问题：快者走的路程=慢者走的路程+两人初始路程差
快者走的路程=慢者先走的路程+慢者后走的路程（3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相
遇所用时间=环形周长/二者速度和；第n次相遇时，二者合走了n圈.
（4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走了1圈；追及
所用时间=环形周长/二者速度差；第n次相遇时，快者比慢者多走了n圈.
【经典习题】
1．（2023秋•巴彦县校级月考）已知一条笔直的公路旁依次有A，B，C三地，A、B两地相距30千米，小
明乘车从A地出发，以每小时30千米的速度驶向C地，同时小丽乘车从B地出发，以每小时20千米的
速度驶向C地，当两人相距10千米时，两人乘车的时间为 小时．
2．（2024秋•金华月考）如图，甲乙两只蚂蚁分别从数轴上的 A，B两点处同时出发，相向而行．甲蚂蚁
的速度为每分钟6个单位长度，乙蚂蚁的速度为每分钟4个单位长度．一只蝴蝶精灵与甲同时从A地出
发，当蝴蝶精灵碰到乙后，马上返回遇上甲，再返回遇上乙，依次反复，直至甲和乙两只蚂蚁相遇为
止．已知蝴蝶精灵的速度为每分钟 20 个单位长度，那么，在这一过程中，蝴蝶精灵一共飞行了
（ ）个单位长度．
A．2020 B．4420
C．5400 D．缺少条件，无法计算
3．（2023秋•光山县校级期末）某学校七年级学生组织步行到郊外旅行，701班学生组成前队，速度为每
小时4千米，702班同学组成后队，速度为每小时6千米，前队出发1小时后，后队才出发，同时，后
队派出一名联络员骑自行车在两队之间不断地来回进行联络，骑车的速度是每小时 12千米（队伍长度
忽略不计）．
（1）后队出发后多长时间可以追上前队？
（2）后队刚好追上前队时，联络员共骑行了多少千米？（3）联络员出发到他第一次追上前队的过程中，何时联络员离前队的距离与他离后队的距离相等？
4．（2023秋•阳新县期末）两船从B港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度
都是50千米/时，水流速度是a千米/时．
（1）4小时后两船相距多远？
（2）若甲船由B港到A港用了4小时36分钟，再立即由A港返回B港时，共花10小时，试求水流速
度a．
5．（2023秋•铁东区期末）甲、乙两人从A，B两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶，已知出发后
经3小时两人相遇，相遇时乙比甲多行驶了60千米，相遇后再经1小时乙到达A地．
（1）甲，乙两人的速度分别是多少？
（2）两人从A，B两地同时出发后，经过多少时间后两人相距20千米？
6．（2024秋•浙江校级月考）上午八时，张、王两同学分别从 A、B两地同时骑摩托车出发，相向而行．
已知张同学每小时比王多行2千米，到上午十时，两人仍相距36千米的路程．相遇后，两人停车闲谈
了15分钟，再同时按各自的方向和原来的速度继续前进，到中午十二时十五分，两人又相距 36千米的
路程．A、B两地间的路程有多少千米？
7．（2024秋•鼓楼区校级月考）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，会在C地相遇．若两
车交换出发点，速度不变，同时出发相向而行，会在 D地相遇，且C、D两地距离占A、B两地距离的
1
．
11
（1）若甲、乙两车分别从 A、B两地同时出发，相向而行60分钟后，甲车再提速60%，则两车会在
A、B两地的中点相遇．那么甲车以原速从A地到B地需要多少分钟？
（2）若两车以原速走到另一地后都立即掉头返回，那么两车第6次迎面相遇共需要多少分钟？
【类型4 工程问题·7题】
【方法点拨】
（1）基本相等关系：工作量=工作效率×工作时间；
（2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体1;
（3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和.
【经典习题】
1．（2023秋•玉环市期末）一项任务，由甲单独做需16天完成，由乙单独做需24天完成，现在乙先做9
天，再由甲和乙合做，正好如期完成，求完成这项工程的规定时间，假设完成这一项工程的规定时间为
x天，则下列方程正确的是（ ）x x−9 x−9 x
A． + =1 B． + =1
16 24 16 24
x−9 x+9 x x+9
C． + =1 D． + =1
16 24 16 24
2．（2023秋•滕州市校级月考）修筑一条公路，甲工程队单独承包要90天完成，乙工程队单独承包要120
天完成．如果甲、乙两工程队合作了30天后，因甲工程队另有任务，剩下的工作由乙工程队完成，则
修好这条公路一共需要 天．
3．（2023秋•潍坊期末）某中学需要制作宣传栏，请来三名工人，已知甲单独做12天可完成，乙单独做
20天可完成，丙单独做15天可完成．现在甲和乙合做了4天，余下的工作乙和丙两人合作完成．完成
后，支付酬金4000元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么乙应得 元．
4．（2023秋•埇桥区期末）整理一批图书，由一个人做要30h完成．现计划由一部分人先做1h，然后增加
6人与他们一起做3h，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，应先安排 人工作．
5．（2024•陕西）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，
若小峰单独完成，需4h；若爸爸单独完成，需2h．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球
训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了 3h，求这次小峰打扫了多
长时间．
6．（2023秋•大化县月考）修一条公路，甲工程队单独承包要40天完成，乙工程队单独承包要60天完
成．
（1）现在由两个工程队合作承包，几天可以完成？
（2）如果甲、乙两工程队合作12天后，因甲工程队另有任务，剩下的工作由乙工程队完成，则修好这
条路共需要几天？
7．（2023秋•岳阳期末）（列方程解应用题）为了打赢蓝天保卫战，共筑魅力和谐长沙，长沙市环保局对
湘江河流中一段长2400米的河道进行整治，整治任务由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天
完成30米，乙工程队每天完成50米．
（1）若该任务由甲、乙两个工程队合作完成，请问整治这段河道任务用了多少天？
（2）若甲工程队先单独整治一段时间后离开，剩下的由乙工程队来完成，两队共用时60天，求甲、乙
工程队分别整治了多长的河道？
【类型5 古代问题·7题】
1．（2024•花溪区一模）《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不
足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱；
若每人出7钱，则仍然差3钱．求买羊的人数和这头羊的价格．设买羊的人数为x人，根据题意，可列方程为（ ）
A．5x﹣45＝7x+3 B．5x+45＝7x﹣3
C．5x﹣45＝7x﹣3 D．5x+45＝7x+3
2．（2024春•雁峰区期末）我国古代有很多经典的数学题，其中有一道题目是：良马日行二百里，驽马日
行一百二十里，驽马先行十日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走200里，跑得慢的马每
天走120里，慢马先走10天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意可列方程为
（ ）
A．120+10x＝200x B．120x+200x＝120×10
C．200x＝120x+200×10 D．200x＝120x+120×10
3．（2023秋•梁溪区期末）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳
多一尺，井深几何？译文：“用一根绳子去量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井
外余绳一尺，井深几尺？设井深x尺，可列方程为 ．
4．（2023秋•左权县期末）我国古代数学著作“算经十书”之首《九章算术》中记载了一个问题：“今有
人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”其意思为：有若干人一起买
鸡，若每人出9文钱，则多出11文钱；若每人出6文钱，则还差16文钱求人数和鸡的价格．鸡的价格
为 文钱．
5．（2023秋•醴陵市期末）在我国的数学史上，有不少数学趣题是用诗词来表述的．民间广为流传至今的
李白买酒数学诗就是其中一例．其诗为：李白无事街上走，提着酒壶去买酒．遇店加一倍，见花喝一
斗，三遇店和花，喝光壶中酒．试问壶中原有多少酒？意思就是：李白闲着没事提起酒，酒壶中原来是
有酒的，每次遇到酒店便将壶中的酒增加一倍，看到了花，就开始饮酒作诗，每饮一次，喝去一斗酒
（斗，古代酒器）．这样经过酒店遇到花，总共反复三次．在最后一次遇到花时，正好喝光了壶中的
酒．试问李白的酒壶中原有多少酒？设原来酒壶中有酒x斗，则由题意得方程： ．
6．（2023秋•宝鸡期末）列方程解应用题：
鸡兔同笼是我国古代三大算术题目之一，最早记载于《孙子算经》中，距今已经超过 1500年的历史，
原文如下：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？翻译成现代汉语就是：有若
干只鸡和兔子在同一个笼子里，从上面数共有35个头，从下面数共有94只脚，鸡和兔子各有多少只？
7．（2023•迎江区校级四模）《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事，诗云：“今携一壶酒，游
春郊外走．逢朋加一倍入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士，如何知原有．”（注：古
代一斗是10升）译文：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增
加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友时，李白正好喝光了壶中的酒，请问各位，壶中原有多少升酒？
【类型6 数字问题·7题】
【方法点拨】
（1）多位数字的表示方法：
一个两位数的十位数字、个位数字分别为a、b，（其中a、b均为整数， ， ）则这个
两位数可以表示为 ．
一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，（其中均为整数，且 ，
， ）则这个三位数表示为： ．
（2）奇数与偶数的表示方法：偶数可表示为2k，奇数可表示为 （其中k表示整数）．
（3）三个相邻的整数的表示方法：可设中间一个整数为a，则这三个相邻的整数可表示为 ．
【经典习题】
1．（2023秋•武功县期末）一个两位数个位上的数是x，十位上的数是1．把x与1对调，新两位数比原两
位数大9．根据题意列出的方程为（ ）
A．10x+1﹣（10+x）＝9 B．10+x﹣10x+1＝9
C．10x+1﹣10+x＝9 D．10+x﹣（10x+1）＝9
2．（2023秋•新宁县期末）一个五位数，个位数为5，这个五位数加上6120后所得的新的五位数的万位、
千位、百位、十位、个位的数恰巧分别为原来五位数的个位、万位、千位、百位、十位上的数，则原来
的五位数为（ ）
A．48755 B．47585 C．37645 D．36475
3．（2024秋•江北区校级月考）一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是9，把十位上的数字与个位
上的数字对调后，得到的新数与原数的比是6：5，则原来的两位数是 ．
4．（2024秋•道里区校级月考）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数减去36后，结
果恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数是 ．
5．（2023秋•东港区校级月考）一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大3，且比百位上的数字小
1，三个数字的和的50倍比这个三位数小2，求这个三位数是 ．
6．（2024•王益区开学）把数字5写到一个三位数的左边，再把得到的四位数加上400，它们的和是这个
三位数的55倍，这个三位数是 ．
7．（2023秋•蚌山区月考）一个三位数，十位数比个位数字大2，百位数是十位数字的2倍，如果把百位
数字与个位数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数小495．求原来的三位数．
【类型7 年龄问题·7题】
【方法点拨】“年龄问题”的基本规律是不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的，抓住“年龄差”是解答年龄问
题的关键.
【经典习题】
1．（2024秋•南岗区校级期中）爸爸比儿子大27岁，今年爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今
年各是多少岁？（ ）
A．爸爸36岁，儿子9岁 B．爸爸35岁，儿子8岁
C．爸爸35岁，儿子9岁 D．爸爸36岁，儿子8岁
2．（2023秋•营口期末）今年小明妈妈和小明的年龄之和是36岁，再过5年，妈妈的年龄是小明年龄的4
倍还大1岁，则小明的年龄为几岁．若设今年小明的年龄为x岁，则可列出方程（ ）
A．36﹣x+5＝4（x+5）+1 B．36﹣x﹣5＝4（x+5）+1
C．36﹣x+5＝4（x+5）﹣1 D．36﹣x﹣5＝4（x+5）﹣1
3．（2023秋•湖北期末）哥哥今年的年龄是弟弟的 2倍，弟弟说：“六年前，我们俩的年龄和为 15
岁”，若用x表示哥哥今年的年龄，则可列方程（ ）
x x
A．x+ =15 B．(x−6)+( −6)=15
2 2
x x−6
C．(x−6)+ =15 D．(x−6)+ =15
2 2
4．（2023秋•安州区期末）姐姐比弟弟大3岁，若5年前姐姐的年龄是弟弟的2倍，则姐姐现在的年龄是
岁．
5．（2023秋•宁河区期中）已知明明的年龄是m岁，红红的年龄比明明的年龄的2倍少4岁，元元的年龄
1
比红红的年龄的 还多1岁．
2
（1）用含m的式子分别表示红红的年龄、元元的年龄以及这三人的年龄和；
（2）若这三人的年龄和为35岁，请你求出这三人的年龄．
6．（2023秋•汉阳区期末）父亲和女儿现在年龄之和是91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍的时候，
1
女儿年龄是父亲现在年龄的 ，求女儿现在的年龄是多少？
3
7．（2023秋•梁平区期末）古希腊数学家丢番图（公元 3～4世纪）的墓碑上记载着：“他生命的六分之
一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七
分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他
在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了．”根据以上信息，请你算出：（1）丢番图的寿命；
（2）丢番图开始当爸爸时的年龄；
（3）儿子死时丢番图的年龄．
【类型8 日历问题·7题】
【方法点拨】
（1）在日历问题中，横行相邻两数相差1，竖列相邻两数相差7．
（2）日历中一个竖列上相邻3个数的和的最小值是24，最大值是72，且这个和一定是3的倍数．
（3）一年中，每月的天数是有规律的，一、三、五、七、八、十、十二这七个月每月都是 31天，四、
六、九、十一这四个月每月都是30天，二月平年28天，闰年29天，所以，日历表中日期的取值是有范围
的．
【经典习题】
1．（2024秋•西城区校级期中）小元同学在2024年10月的日历上圈出了三个数a，b，c，并求出了它们
的和为45，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024秋•东城区校级期中）如图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题：（1）小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？
（2）“S型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“S型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，
2023年是建国74周年，S的值能否等于74？若能，求m的值；若不能，说明理由；
3．（2024秋•越秀区校级期中）如图所示的是2024年11月的月历，“U型”、“十字型”两个阴影图形
分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），
设“U型”覆盖的五个数字之和为S ，“十字型”覆盖的五个数之和为S ．
1 2
（1）“U型”中最小的数为11，则最大的数为 ；
（2）S 的值可以是80吗？请说明理由；
2
（3）若S +S ＝201，求S ﹣S 的最大值．
1 2 2 1
4．（2024秋•大连期中）在数学活动课上，李老师带领同学们一起探究2024年11月份的月历．
探究一：
（1）如图1，小强同学在月历中画出带阴影的“口”字方框中的4个数，方框可以任意移动．小强设左
上角的数为a，按顺时针排列其它三个数分别为b，c，d，小强发现a+c＝b+d，请你证明这个结论；
探究二：
（2）如图2，小涛同学在月历中画出带阴影的十字方框，移动十字方框，小涛同学发现十字方框中的
五个数的和是5的倍数，请你证明这个结论；
探究三：（3）如图3，小丽同学在月历中画出带阴影的“H”形框，移动“H”形框到某个位置时，她说框中的
七个数字和为140，请你判断小丽的说法是否正确，并说明理由．
5．（2024•济南模拟）如图所示8个图形，都是由相同的小正方形拼成的对称图形，分别将这8个图形放
在某日历图片上，使每个图形的每个小正方形各圈住一个日期，如果某图形圈住的日期数字之和是这个
图形的小正方形个数的整数倍数，那么这个图形叫做倍数图形．
（1）将图形①放在图1中，使其圈住5个日期数字，设其圈住的中心数为n，判断图形①是不是倍数
图形？如果，请证明一下，如果不是，请说明理由．
（2）除图形①外，其余的7个图形中，是倍数图形的有 （填写序号）
（3）将图形④放在日历上，能否圈住三个数，使这三个数之和为33，如果能，请求出它的中心数，如
果不能，请说明理由．
6．（2024秋•永登县期中）图①是2024年3月的月历．
（1）如图①，如果本周六对应的日期用x（2≤x≤23，且x为整数）表示，那么本周五对应的日期可
以表示为 ，下周六对应的日期可以表示为 ；
（2）如图②，若用a表示阴影部分（5天）中最中间一天的日期，用S表示这5天的日期之和，求S与
a之间的数量关系．7．（2023秋•德清县期末）如图是2024年2月份的月历，其中“n型”和“十字型”两个阴影图形分别覆
盖其中五个数字（“n型”和“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“n
型”覆盖的五个数字左上角的数为a，数字之和为S ，“十字型”覆盖的五个数字中间数字为b，数字
1
之和为S ．
2
（1）分别用a，b的代数式表示S 和S ；
1 2
（2）结合月历，若S ﹣S ＝19，则S +S 的最大值为多少？
1 2 1 2
【类型9 积分问题·7题】
【方法点拨】
比赛场数=胜的场数+平的场数+负的场数，比赛分数=胜场得分+平场得分 负场扣分．
【经典习题】
1．（2024秋•道里区校级月考）113中学举办了足球比赛，计分规则为胜一场积2分，平一场积1分，负
一场积0分，某班参加14场比赛始终保持不败的记录，共得22分，则该队胜了（ ）场．
A．9 B．8 C．7 D．6
2．（2023秋•德州期末）某次数学竞赛共有20道题，已知做对一道得4分，做错一道或者不做扣1分，某
同学最后的得分是50分，则他做对 道题．
3．（2023秋•越城区校级期末）某次考试以70分为合格分数线，全班的总平均分为76分，而所有成绩合
格学生的平均分为81分，所有成绩不合格学生的平均分为66分，为了减少不合格的学生人数，老师给
每位学生的成绩加上5分，加分之后，所有成绩合格学生的平均分变为85分，所有成绩不合格学生的
平均分变为69分，已知该班学生人数在30到40人之间，则该班有学生 人．4．（2023秋•仙居县期末）为了大力弘扬亚运精神，某校特意举行了“扬帆起航，逐梦浙江”的知识竞
赛，此次竞赛共20道选择题，且每题必答．评分标准如下：答对1题得5分，答错1题扣1分．已知小
明的总分为82分，则他答对的题数是 ．
5．（2024•邱县一模）在伦敦奥运会举办前夕，国家足球协会举办了一次足球热身赛，其计分规则及奖励
方案（每人）如下表：
胜一场 平一场 负一场
积分 3 1 0
奖金 1500 700 0
（元/人）
当比赛进行到每队各比赛12场时，A队（11名队员）共积20分，并且没有负一场．
（1）试判断A队胜、平各几场？
（2）若每赛一场每名队员均得出场费500元，那么A队的某一名队员所得奖金与出场费的和是多少？
6．（2023秋•长安区期末）嘉嘉和琪琪在一起玩飞镖游戏，每人玩了一局，每局投10次飞镖，若投到边
界不计入次数，需重新投．积分规则如下：
投中位置 A区 B区 脱靶
一次计分（分） 3 1 ﹣2
（1）嘉嘉投中A区5次，B区2次，其余脱靶，求嘉嘉的得分；
（2）琪琪投中A区x次，B区3次，其余脱靶，琪琪得分能否正好超嘉嘉10分，如果能请求出x，如果
不能请说明理由．
7．（2023秋•安次区校级月考）某次篮球联赛部分球队积分表
队名 比赛场次 胜场 平场 负场 积分
A 16 8 4 4 36
B 16 2 8 6 28
C 16 0 16 0 32
D 16 6 2 8 30
E 16 0 12 a cF 16 b 6 10 22
（1）由表中数据可知，胜一场积 分，平一场积 分，负一场积 分；
（2）直接写出a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（3）设一个队胜m场，负场是平场的2倍，则平 场（用含m的式子表示）；
（4）G队平了3场，该队队长声称他们队的积分是30分，你认为可能吗？为什么？
【类型10 几何问题·7题】
1．（2023秋•武城县校级月考）如图，一个大长方形恰好分成6个小正方形，其中最小的正方形面积是1
平方厘米，则这个大长方形的面积为（ ）
A．154平方厘米 B．143平方厘米
C．132平方厘米 D．120平方厘米
2．（2023秋•武汉期末）把八张形状大小完全相同的小长方形卡片按两种不同的方式，不重叠地放在一个
底面为长方形的盒子底部（如图1、图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知盒子底部
长方形的长比宽大5，图1与图2阴影部分周长之比为25：22，则盒子底部长方形的面积为（ ）
A．150 B．176 C．204 D．234
3．（2023秋•温州期末）如图1是一个盛有水的圆柱形玻璃容器的轴截面示意图，把甲，乙两根相同的玻
璃棒垂直插入水中，高度与水面齐平．如图2，先将甲玻璃棒竖直向上提起4cm，露出水面部分高度为
5cm，保持甲玻璃棒离容器底部4cm不变，再将乙玻璃棒竖直向上提起6cm，发现乙玻璃棒仍有部分浸
入水中，则乙玻璃棒露出水面部分高度为（ ）A．7.3cm B．7.5cm C．8.3cm D．8.5cm
4．（2023秋•历下区期末）如图，一块长4厘米、宽1厘米的长方形纸板①，一块长5厘米、宽2厘米的
长方形纸板②与一块正方形纸板③以及另两块长方形纸板④和⑤，恰好拼成一个大正方形，则大正
方形的面积是 平方厘米．
5．（2023秋•沭阳县月考）如图所示由四种大小不同的八个正方形拼成一个长方形，其中最小的正方形的
边长为2，则这个长方形的周长为 ．
6．（2024秋•乐清市期中）底面积为48cm2，高为10cm的圆柱形容器内有若干水，水位高度为 h ，现将
1
一个边长为4cm的立方体铁块水平放入容器底部，立方体完全沉没入水中（如图甲）．再将一个边长为
a cm的立方体铁块水平放在第一个立方体上面，若第二个立方体只有一半没入水中（如图乙）．此时
17
水位高度为h ，若ℎ −ℎ = cm，则a＝ cm．
2 2 1 127．（2023秋•涪城区期末）用8个形状和大小都相同的小长方形，恰好可以拼成如图1所示的大长方形；
若用这8个小长方形拼成如图2所示的正方形，则中间留下一个空的小正方形（阴影部分）．设小长方
形的长和宽分别为a和b（a＞b）．
（1）由图1，可知a，b满足的等量关系是 ；
（2）若图2中小正方形的边长为2，求小长方形的面积；
（3）用含b的代数式表示图2中小正方形的面积．
【类型11 方案决策问题·7题】
【方法点拨】
在实际生活中，做一件事情往往会有多种选择，这就需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用，
到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，把每一种方案的结果先算出来，进行比较后得出最佳方
案．
【经典习题】
1．（2023秋•慈利县期末）学校10月19日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三
色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的
单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元．
（1）双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？
（2）若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如表：
三色圆珠笔级别 球珠直径0.7mm 球珠直径0.5mm
单价 1元 1.5元
现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级
别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由．（3）若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三
色圆珠笔单价为a元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不
变．求此时a的值和总费用．
2．（2023秋•龙港区期末）在“元旦”期间，七（1）班小明，小亮等同学随家长一同到某公园游玩，小
明与他爸爸的对话：
票价：成人：每张40元；学生：按成人票价的5折优票；团体票（16人以上含16人）：按成人票价的
6折优惠．
爸爸：大人门票是每张40元，学生门票是5折优惠，我们一共12人，共需400元．
小明：爸爸，等一下，让我算一算，另一种方式买票是否可以省钱？
（1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？
（2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票省钱？请说明理由．
（3）正要购票时，小明发现七（2）班的小张等10名同学和他们的7名家长共17人也来购票，为了节
省费用，经协商，他们决定一起购票，请你为他们设计最省钱的购票方案，并求出此时的费用．
3．（2023秋•青山湖区校级期末）育才学校组织七、八年级老师到省内参加研讨会，需要租用大巴车接送
老师往返学校和参会地，现租赁公司有25座和45座两种型号的大巴车可供选择．
（1）已知25座大巴车每辆每天的租金比45座大巴车租金便宜80元，学校第一天租用2辆45座和5辆
25座大巴车，共付租金1140元，则学校租用25座和45座大巴车每辆每天的租金各是多少元？
（2）因为第二天学习内容主要针对七年级的老师，所以八年级的老师不用参加，因此要重新确定租车
方案．现有如下两种选择：
方案一：全部租用25座的大巴车，则有一辆车空出15个座位；
方案二：全部租用45座的大巴车，刚好坐满且比只租用25座的大巴车少租3辆．
请分别计算出使用两种方案所需要的租金，并说明哪种方案更省钱．
4．（2023秋•北仑区期末）随着春节的临近，A、B两款“欢庆新春”主题盲盒在市场上热销．经调研，
学校周边甲、乙两家文具店里这两款网红盲盒的原价一致，A款盲盒原价为12元/个，B款盲盒的原价
为16元/个，但两家店都推出了相应的促销活动：
甲商店：A款盲盒打八折促销，B款盲盒打九折促销．
乙商店：这两款盲盒单买都不打折，但推出了盲盒大礼包进行促销，每一个大礼包由 3个A款盲盒和2
个B款盲盒组成，大礼包定价为56元/个．
（1）若要购买A款盲盒6个，B款盲盒5个，参加哪家店的促销活动总价更优惠？优惠多少元？
（2）某学校701班和702班打算在班会课举行迎新主题联谊活动，计划购买A款盲盒30个，B款盲盒n个（n≥20），若选择到甲商店购买与到乙商店购买盲盒所需的金额相同，求n的值．
（3）已知甲、乙两家店相隔不远，若你是 701班的班长，负责此次活动所需盲盒的购买事项，请在
（2）的基础上，直接写出最为优惠的采购方案．
5．（2023秋•陕州区期末）某种海产品，若直接销售，每吨可获利润1200元；若粗加工后销售，每吨可
获利润5000元；若精加工后销售，每吨可获利润7500元．某公司现有这种海产品140吨，该公司的生
产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式
不能同时进行，受各种条件限制，公司必须在15天内将这批海产品全部销售或加工完毕，为此该公司
设计了三种方案：
方案一：全部进行粗加工；
方案二：尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售；
方案三：将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成．
你认为选择哪种方案可获利润最多，为什么？最多可获利润多少元？
6．（2024秋•南岗区校级月考）红光水果加工厂收购了29吨雪梨．经市场预测，若直接销售，每吨可获
利0.05万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利0.4万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利0.6万
元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种加工方式不能
同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在7天内全部销售或加工完毕，为此，工厂研制了二种方案：
方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售；
方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好7天完成．
（1）请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？
（2）水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、
乙两家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表：
运输公司 运输单价（元/吨・千米） 每吨装卸费（元）
甲 5 50
乙 6 30
经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多243元，求水果加工厂到市场的距离．
7．（2023秋•鼓楼区校级期末）有一中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，
已知甲工厂每天能加工这种校服15件，乙工厂每天能加工这种校服20件．且单独加工这批校服甲厂比
乙厂要多用15天．在加工过程中，学校需付甲厂每天费用100元、付乙厂每天费用120元．
（1）求这批校服共有多少件？
（2）为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，而乙工厂每天的生产速度也提高25%，乙工厂单独完成剩余部分．且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间
的2倍，求乙工厂共加工多少天？
（3）经学校研究制定如下方案：方案一：由甲厂单独完成；方案二：由乙厂单独完成；方案三：按
（2）问方式完成；并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并由学校提
供每天10元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种既省时又省钱的加工方案．
【类型12 分段计费问题·7题】
【方法点拨】
常见类型：为鼓励节约用水、用电、用气,水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话
费、出租车费实行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等，解决这些分段讨论问题的关键是理
顺部分与整体的关系：各段费用之和=总费用；每一段的计费标准不同.
【经典习题】
1．（2023秋•上城区期末）某医疗保险产品对住院病人的费用实行分段报销，报销细则如下表．如甲的住
院医疗费为800元，其中报销部分为180元，自付部分为620元．若某人住院医疗费的自付部分是1000
元，那么此人的住院医疗费是（ ）
住院医疗费（元） 报销率（%）
不超过500元的部分 0
超过500～1000元的部分 60
超过1000～3000元的部分 80
… …
A．2500元 B．2000元 C．1750元 D．1250元
2．（2024秋•杭州期中）某购物平台双11期间搞促销活动，一次购物不超过200元时不予优惠；超过200
元而不超过500元时按总价的90%优惠；超过500元时，其中500元部分按9折优惠，超过500元部分
按8折优惠．问：
（1）若要购买总价为350元的货物，则实际付款 元；
（2）若方方购买一批总价为a（a＞500）元的货物，则方方需付款 元（用含a的代数式表
示）；
（3）圆圆两次购物分别付款189元和466元．若圆圆将这两次购物合成一次购买，则可以优惠多少
元？
3．（2024秋•江岸区期中）现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开
放运营．某城市的新型网约车的计价规则如表：
计费项目 里程费 时长费 远途费单价 2元/公里 0.5元/分钟 1元/公里
（注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车
的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程 15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公
里的，超出部分每公里加收1元．）
（1）若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？
（2）若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当
0＜a≤15和当a＞15时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简）
（3）小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少 3公里，行程结束后反而多付了 6
元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长
相差
分钟．（直接写出答案）
4．（2024秋•海门区期中）为了更好地使用和节约水资源，自2014年5月1日起，北京市居民生活用水开
始实施阶梯水价，下表为北京市居民用水（自来水）水费收费标准：
阶梯 每户年用水量 水单价 价格组成（单位：元/立方米）
（单位：立方 （单位：元/立方米）
水费 水资源费 污水处理费
米）
第一阶梯 0～180（含180） 5 2.07 1.57 1.36
第二阶梯 180～260（含 7 4.07 1.57 1.36
260）
第三阶梯 260以上 9 6.07 1.57 1.36
例如，某用户的年用水量为 300立方米，按三阶梯计量应缴纳水费为：5×180+7×（260﹣180）+9×
（300﹣260）＝1820（元）．
请解答以下问题：
（1）如果A用户的年用水量为100立方米，则A用户需缴纳的水费为 元；
（2）如果B用户一年缴纳的水费为1040元，则B用户该年用水量为 立方米；
（3）如果C用户的年用水量为a（a＞260）立方米，求C用户该年应缴纳水费多少元？（用含a的代
数式表示，并化简）
5．（2023秋•余姚市期末）某市电力部门对居民生活用电实行“峰谷电价”和“非峰谷电价”，可由每户
居民预先自主选择．具体电价如下：
电价分类 时段 电价（元/千瓦时）
非峰谷电价 全天24小时 0.538
峰谷电价 高峰时段 上午8：00～晚上22：00 0.568低谷时段 晚上22：00～次日晨8：00 0.288
现某居民户10月份用电100千瓦时．
（1）若该居民户选择“峰谷电价”，其中低谷时段用电x千瓦时，请用含x的代数式表示该居民户这
个月应缴纳的电费．
（2）若该居民户选择“峰谷电价”比“非峰谷电价”少缴电费13.8元，问该居民户高峰时段用电多少
千瓦时？
6．（2023秋•东阳市期末）某市近期公布的居民用天然气阶梯价格方案如下：
第一档天然气用量 第二档天然气用量 第三档天然气用量
年用天然气量在360m3及以 年用天然气量在360m3以上 年用天然气量在600m3以上
下的部分，价格为每立方米 不 超 过 600m3 时 ， 超 过 时，超过600m3部分价格为
2.53元． 360m3部分价格为每立方米 每立方米3.54元．
2.78元．
依此方案请回答：
（1）若小禾家今年使用天然气500m3，则需缴纳天然气费为多少元？
（2）若某户今年缴纳天然气费2286元，求该用户今年使用天然气多少立方米．
7．（2023秋•越城区校级期末）一家电信公司推出如下两种移动电话计费方式：
类别 计费方式
计费方式A 每月收月租费58元，通话时间不超过150
分钟的部分免费，超过150分钟部分按每
分钟0.25元加收通话费．
计费方式B 每月收月租费88元，通话时间不超过350
分钟的部分免费，超过350分钟部分按每
分钟0.20元加收通话费．
（1）若一个月通话时间为250分钟，则A，B两种计费方式相差多少元？
（2）小敏爸爸选用计费方式A，小聪爸爸选用计费方式B，他们一个月里通话时间正好相同，但他俩的
通话费用却相差25元．试求出他俩一个月的实际通话时间．
