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专题 4.1 整式（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】单项式
1
mn
1.单项式的概念：如
2xy2
，3 ，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个
数或一个字母也是单项式．
【要点提示】
（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独
的一个字母．
st 1
st
（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如： 2 可以写成2 。但若分母中含有字母，
5
如m就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
【要点提示】
（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；
（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；
（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成
1 5
1 x2y x2y
假分数，如： 4 写成4 ．
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
【要点提示】
单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：
（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；
（2）不能将数字的指数一同计算．
【知识点二】多项式
1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．【要点提示】
“几个”是指两个或两个以上．
2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
【要点提示】
（1）多项式的每一项包括它前面的符号．
6x2 2x7
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如： 是一个三项式．
3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
【要点提示】
（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．
（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．
【知识点三】整式
单项式与多项式统称为整式．
【要点提示】
（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．
即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】单项式系数、次数
【例1】（22-23七年级上·广东东莞·期中）若 是关于x，y的单项式，且系数为 ，次数是3，
求a和b的值．
【变式1】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）单项式 的系数是（ ）
A．5 B．3 C． D．1
【变式2】（22-23七年级上·江苏南京·期中）单项式 的系数是 ，次数是 ．
【题型2】与单项式系数、次数有关规律题
【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）【观察与发现】， ， ， ， ， ， ，
（1）直接写出：第7个单项式是 ；第8个单项式是 ；
（2）第 大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数．
【变式1】（23-24八年级下·云南楚雄·期末）按一定规律排列的单项式： ．则第7
个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级上·河北保定·期末）请你写出一个单项式，同时满足下列条件：①含有字母
x、y；②系数是 ；③次数是5，则写出的单项式为 （写一个即可）．
【题型3】多项式的项、项数与次数
【例3】（22-23七年级上·河南新乡·期中）已知多项式 是五次四项式，单项式
与该多项式的次数相同．
（1）求m、n的值．
（2）若 ，求这个多项式的值．
【变式1】（2024六年级上·上海·专题练习）式子 是关于x的一次式，则a、b的值可
能为（ ）
A．0，1 B．1，2 C．0，3 D．1，1
【变式2】（2024六年级上·上海·专题练习）一次式 中b的系数是 ，常
数项是 ．
【题型4】多项式的升（降）幂排列与次数、指数的相关求值问题
【例4】（23-24七年级上·吉林松原·期中）已知关于x、y的多项式 是六次五项
式．
（1）m的值是______，该多项式的常数项是______；（2）将此多项式按x的降幂排列．
【变式1】（23-24七年级上·吉林长春·期末）将多项式 按 的升幂排列的结果是（
）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24七年级上·吉林·期中）若多项式 是关于 的二次三项式，则 的值
是 ．
【题型5】整式的认识
【例5】（23-24七年级上·江苏·周测）把下列代数式的序号填入相应的横线上：
① ；③ ；④ ；⑤0；⑥ ；⑦ ；⑧ ；⑨ ；⑩ ．
（1）单项式：_______； （2）多项式：_______；
（3）整式：_______； （4）二项式：_______．
【变式1】（22-23六年级上·山东烟台·期末）对代数式 ， ， ， ， ， 判断正
确的是（ ）
A．只有 个单项式 B．只有 个单项式
C．有 个整式 D．有 个二次多项式
【变式2】（2024七年级上·上海·专题练习）下列式子：
，其中单项式有 ；整式有
．
【题型6】数字类规律探索
【例6】（22-23七年级上·内蒙古乌海·阶段练习）（1）已知 ，求的值；
（2）若a、b互为倒数，c、d互为相反数， ．求 的值；
（3）观察数表．
根据其中的规律，在数表中的方框内填入适当的数．
【变式1】（23-24七年级上·广东深圳·期末）观察下列算式： ， ， ， ，
， ， …，用你所发现的规律得出 的末位数字是（ ）
A．3 B．9 C．7 D．1
【变式2】（23-24七年级上·广东佛山·期末）一列数 ， ， ，…，满足 ， （ ，
且n为整数），则 ．
【题型7】图形类规律探索
【例7】（2024七年级上·江苏·专题练习）观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续
摆放，记第n个图中小黑点的个数为y．
①填表：n 1 2 3 4 5 …
y 1 3 13 …
②当 时， ．
③你能发现n与y之间的关系吗？
【变式1】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按
照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为 ，第2幅图形中“●”的个数为 ，第2幅图
形中“●”的个数为 ， …， 依次类推， 则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级上·广东汕头·期末）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和
正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形，第②个图案有7个三角形，第③个图案有10个三角形，
…依此规律，第2023个图案有多少个三角形 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有
1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个
数为（ ）A．90 B．91 C．92 D．93
【例2】（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记 为数表中第 行第
列位置的数字，如 ， ， ．若 ，则 ， ．
2、拓展延伸
【例1】（22-23八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》
一书中，介绍了 展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．
如第 行的 个数是 ，恰好对应着 展开式中的各项系数．利用
上述规律计算：
．
【例2】（2024·浙江·一模）已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别
作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……；则的值为 ．
