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专题 4.1 与三角形有关线段的计算三大类型
【人教版】
【类型1 三角形的三边关系计算】..........................................................................................................................1
【类型2 三角形的周长计算】..................................................................................................................................7
【类型3 三角形的面积计算】................................................................................................................................14
【类型1 三角形的三边关系计算】
1．（2024•汉川市模拟）已知△ABC中，其中有两边长是2和5，且△ABC的第三边长是偶数，则此三角
形的周长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．11或13
【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，设第三边长
x，得到3＜x＜7，由△ABC的第三边长是偶数，得到x＝4或6，于是得到此三角形的周长．
【解答】解：设第三边长x，
∴5﹣2＜x＜5+2，
∴3＜x＜7，
∵△ABC的第三边长是偶数，
∴x＝4或6，
∴此三角形的周长为2+5+4＝11或2+5+6＝13．
故选：D．
2．（2024春•桥西区期末）使用a，b两根直的铁丝做成一个三角形框架，尺寸如图所示，若需要将其中
一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的是（ ）
A．只有a B．只有b
C．a，b都可以 D．a，b都不可以
【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，由此即可判断．【解答】解：∵a＜b，
∴由三角形三边关系定理得到：只有将铁丝b折成两段才能做成一个三角形框架．
故选：B．
3．（2024•桥西区校级三模）如图，数轴上点A，B，C，D对应的数字分别是﹣1，1，x，7，点C在线段
BD上且不与端点重合，若线段AB，BC，CD能围成三角形，则x可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
{x−1+7−x＞2①
)
【分析】由三角形三边关系定理得： 2+x−1＞7−x② ，得到不等式组的解集是3＜x＜5，即可得
2+7−x＞x−1③
到答案．
【解答】解：由点在数轴上的位置得：AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝x﹣1，CD＝7﹣x，
{x−1+7−x＞2①
)
由三角形三边关系定理得： 2+x−1＞7−x② ，
2+7−x＞x−1③
不等式①恒成立，
由不等式②得：x＞3，
由不等式③得：x＜5，
∴不等式组的解集是3＜x＜5，
故选：C．
4．（2024•邢台三模）五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且4＜m＜n＜14），已
知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
【分析】根据三角形三边关系求解即可．
【解答】解：由题意，4＜m＜7，则m的值为5或6．
若m＝5，5＜n＜9，n最大取8，而5，8，14不能构成三角形；
若m＝6，6＜n＜10，n的值为7或8或9，只有6，9，14能构成三角形，
所以n＝9．
故选：C．
5．（2024春•沙坪坝区期中）若△ABC的三边长分别为5，3，k，且关于y的一元一次方程3（y﹣1）﹣2
（y﹣k）＝7的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（ ）A．13 B．18 C．21 D．26
【分析】直接解一元一次方程，进而表示出y的值，再利用三角形三边关系得出k的值，即可得出答
案．
【解答】解：3（y﹣1）﹣2（y﹣k）＝7，
则3y﹣3﹣2y+2k＝7，
解得：y＝10﹣2k，
∵关于y的一元一次方程3（y﹣1）﹣2（y﹣k）＝7的解为非正数，
∴10﹣2k≤0，
解得：k≥5，
∵△ABC的三边长分别为5，3，k，
∴2＜k＜8，
故符合题意的k的值为：5，6，7，
则符合条件的所有整数k的和为：5+6+7＝18．
故选：B．
6．（2024•邱县二模）老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形，三根小木棍的
长度分别为5cm、9cm、10.5cm，并且只能对10.5cm的小木棍进行裁切（裁切后，参与拼图的小木棍的
长度为整数），则同学们最多能拼出不同的三角形的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据三角形的三边关系列出不等式组求解即可．
【解答】解：设从10.5cm的小木棍上裁剪的线段长度为x cm，
则9﹣5＜x＜9+5，即4＜x＜14，
∴整数x的值为5cm、6 cm、7 cm、8cm、9cm、10cm，
∴同学们最多能做出6个不同的三角形木架．
故选：C．
7．（2024春•惠山区期中）如图，用四个螺丝将四根不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中
相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两根木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏
此木框，则任意两个螺丝之间距离的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8【分析】要使两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，分为四种情况：①选2+3、4、6
作为三角形，②选3+4、6、2作为三角形，③选4+6、2、3作为三角形，④选2+6、3、4作为三角
形，分别在四种情况下应用三角形的三边关系进行分析即可．
【解答】解：已知四根木条的长分别为2、3、4、6．
①选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6，
∵6﹣5＜4＜6+5，
∴能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6；
②选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6，
∵6﹣2＜7＜6+2，
∴能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；
③选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3，
∵2+3＜10，
∴不能构成三角形，此种情况不成立；
④选2+6、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4，
∵3+4＜8，
∴不能构成三角形，此种情况不成立．
综上所述，任两螺丝的距离值最大为7．
故选：C．
8．（2023秋•景县校级期末）已知a、b、c为△ABC的三边，则化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣
c|＝ ．
【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的
正负值，然后去绝对值进行计算即可．
【解答】解：|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，
＝（a+b+c）﹣（﹣a+b+c）﹣（a﹣b+c）﹣（a+b﹣c），
＝a+b+c+a﹣b﹣c﹣a+b﹣c﹣a﹣b+c，
＝0，
故答案为：0．
9．（2023•海淀区校级开学）若三角形的三边长是三个连续自然数，其周长m满足1986＜m＜2022，则这
样的三角形有 个．
【分析】首先根据连续自然数的关系可设中间的数为x，则前面一个为x﹣1，后面一个为x+1，根据题
意可得1986＜x﹣1+x+x+1＜2022，再解不等式即可．【解答】解：设中间的数为x，则前面一个为x﹣1，后面一个为x+1，由题意得：
1986＜x﹣1+x+x+1＜2022，
解得：662＜x＜674，
∵x是自然数，
∴x是663，664，665，666，667，668，669，670，671，672，673，
即这样的三角形有11个，
故答案为：11．
10．（2023秋•朝阳区校级期中）若三边均不相等的三角形三边 a，b，c满足a﹣b＞b﹣c（a为最长边，c
为最短边），则称它为“不均衡三角形”，例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为7﹣5＞5﹣4，
所以这个三角形为“不均衡三角形”．
（1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）．
①13cm，18cm，9cm；②9cm，8cm，6cm．
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x﹣6，直接写出x的整数值为 ．
【分析】（1）根据已知条件中的新定义，通过计算判断三角形三边a，b，c是否满足a﹣b＞b﹣c，然
后根据结果进行判断；
（2）因为不能确定最长和最短边，分三种情况讨论：①2x+2＞16＞2x﹣6；②16＞2x+2＞2x﹣6；
③2x﹣6＞16；然后根据计算结果可得答案．
【解答】解：（1）∵18﹣13＝5，13﹣9＝4，
∴18﹣13＞13﹣9，
∴这个三角形为“不均衡三角形”；
∵9﹣8＝1，8﹣6＝2，
∴9﹣8＜8﹣6，
∴这个三角形不是“不均衡三角形”，
故答案为：①；
（2）共分3种情况讨论：
①2x+2＞16＞2x﹣6，
解得：7＜x＜11，
2x+2﹣16＞16﹣（2x﹣6），
解得：x＜9，
∴9＜x＜11，
∵x为整数，∴x＝10，
当x＝10时，2x+2＝22，2x﹣6＝14，
∵16+14＞22，
∴能构成三角形；
②16＞2x+2＞2x﹣6，
16﹣（2x+2）＞2x+2﹣（2z﹣6），
解得：x＜3（不合题意舍去）；
③2x﹣6＞16时，
解得：x＞11，
2x+2﹣（2x﹣6）＞2x﹣6﹣16，
解得：x＜15，
∴11＜x＜15，
∵x为整数，
∴x＝12或13或14，
当x＝12时，2x+2＝26，2x﹣6＝18，
∵18+16＞26，
∴能构成三角形；
当x＝13时，2x+2＝28，2x﹣6＝20，
∵20+16＞28，
∴能构成三角形；
当x＝14时，2x+2＝30，2x﹣6＝22，
∵22+16＞30，
∴能构成三角形，
综上可知：x的整数值为10或12或13或14，
故答案为：10或12或13或14．
11．（2023秋•梁子湖区期中）数学课本第29页复习题的第9题如下：
如图1，填空：
由三角形两边的和大于第三边，得AB+AD＞ ，PD+CD＞ ．将不等式左边、右边分别相加，
得AB+AD+PD+CD＞ ，即AB+AC＞ ．
（1）补全上面步骤；
（2）仿照图1的方法，请你利用图2，过P作直线交AB，AC于M，N，证明：AB+AC＞PB+PC．【分析】（1）根据三角形三边关系进行解答即可；
（2）利用三角形三边关系进行证明即可．
【解答】解：（1）由三角形的两边之和大于第三边，得AB+AD＞BD，PD+CD＞PC，
将不等式两边相加得：AB+AD+PD+CD＞BD+PC，
即AB+AC＞BP+PC；
故答案为：BD；PC；BD+PC；BP+PC．
（2）在△AMN中，AM+AN＞MN，
在△MPB中MP+MB＞BP，
在△NPC中，NP+NC＞PC，
将三个不等式相加得：AM+AN+MB+MP+PN+NC＞MP+NP+PB+PC，
即AB+AC＞BP+PC．
【类型2 三角形的周长计算】
1．（2023秋•钟祥市校级期中）在△ABC中，AC＝7，BC边上的中线AD把△ABC分成周长差为5的两个
三角形，则AB的长为（ ）
A．2 B．19 C．2或19 D．2或12
【分析】分两种情形：当△ABD的周长大时，当△ADC的周长大时，分别求解即可
【解答】解：∵AD为BC边的中线，
∴BD＝CD．
①当△ABD的周长大时，
△ABD与△ADC的周长差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC．
∵△ABD与△ADC的周长差为5，AC＝7，
∴AB﹣7＝5，解得AB＝12．
②当△ADC的周长大时，
△ADC与△ABD的周长差＝（AC+AD+CD）﹣（AB+AD+BD）＝AC﹣AB．
∵△ABD与△ADC的周长差为5，AC＝7，
∴7﹣AB＝5，解得AB＝2．
故AB＝2或12．故选：D．
2．（2024•海珠区一模）在△ABC中，AB＝20，BC＝18，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为45，
△BCD的周长是（ ）
A．47 B．43 C．38 D．25
【分析】根据三角形的中线的概念得到CD＝AD，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵BD是AC边上的中线，
∴CD＝AD，
∵△ABD的周长为45，
∴AB+AD+BD＝45，
∵AB＝20，
∴20+CD+BD＝45，
∴CD+BD＝25，
∵BC＝18，
∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝18+25＝43，
故选：B．
3．（2023春•高新区校级期中）如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为24，AM是边BC上的中线，
△ABM的周长比△ACM的周长大3，则BC长的可能值有（ ）个．
A．7 B．5 C．6 D．4
【分析】依据△ABC的周长为24，△ABM的周长比△ACM的周长大3，可得3＜BC＜12，再根据
△ABC的三边长均为整数，即可得到BC整数值．
【解答】解：∵AM是边BC上的中线，
∴BM＝CM，
∵△ABC的周长为24，△ABM的周长比△ACM的周长大3，
∴AB﹣AC＞3，
∴3＜BC＜24﹣BC，解得3＜BC＜12，
又∵△ABC的三边长均为整数，△ABM的周长比△ACM的周长大3，
24−BC−3 21−BC
∴AC= = 为整数，
2 2
∴BC边长为奇数，
∴BC＝5，7，9，11，
即BC的长可能值有4个，
故选：D．
4．（2024春•蒸湘区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多
3，AB与AC的和为13，则AC＝ ．
【分析】由题意易得AC﹣AB＝3，AC+AB＝13，然后问题可求解．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵C△ADC ＝AD+CD+AC，C△ABD ＝AD+BD+AB，
∴C△ADC ﹣C△ABD ＝AD+CD+AC﹣AD﹣BD﹣AB＝AC﹣AB＝3，①
∴AC+AB＝13，②
∴①+②得：2AC＝16，
∴AC＝8．
故答案为：8．
5．（2024春•靖江市校级月考）在△ABC中，D是BC的中点，AB＝12，AC＝8．用剪刀从点D入手进行
裁剪，若沿DA剪成两个三角形，它们周长的差为 ；若点E在AB上，沿DE剪开得到两部分周长
差为2，则AE＝ ．
【分析】由图可得到△ABD的周长﹣△ACD的周长＝AB﹣AC＝4，即可求解；分两种情况：四边形
ACDE的周长﹣△BDE的周长＝2和△BDE的周长﹣四边形ACDE的周长＝2解答即可；
【解答】解：如图，∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴△ABD的周长﹣△ACD的周长＝AB+BD+AD﹣（AC+CD+AD）＝AB﹣AC＝4，
如图，设AE＝x，则BE＝12﹣x，
当四边形ACDE的周长﹣△BDE的周长＝2时，
即AE+ED+CD+AC﹣（BE+BD+DE）＝2，
整理得，AE+AC﹣BE＝2，
∴x+8﹣（12﹣x）＝2，
解得x＝3；
当△BDE的周长﹣四边形ACDE的周长＝2时，
即BE+BD+DE﹣（AE+ED+CD+AC）＝2，
整理得，BE﹣AE﹣AC＝2，
∴12﹣x﹣x﹣8＝2，
解得x＝1；
∴AE＝1或3，
故答案为：4；1或3．
6．如图，在△ABC中，AC＝7，BC＝5，AD，BE分别为BC，AC边上的中线，若△ABD与△ACD的周长
相差4，则△ABE与△BCE周长的差为 ．
【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝CD，AE＝CE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵AD，BE分别为BC，AC边上的中线，
∴BD＝CD，AE＝CE，
∵△ABD与△ACD的周长相差4，
∴（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝4，
∴AB﹣AC＝4，
∵AC＝7，
∴AB＝11，
∴△ABE与△BCE周长的差为：（AB+BE+AE）﹣（BC+BE+CE）＝AB﹣BC＝11﹣5＝6，
故答案为：6．
7．（2024春•无锡期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E是AC中点，EF⊥BC，DG⊥AC，
3
垂足为F、G，若△ABC周长为41，AB= AC，AC＝10，EF＝4，则DG的长为 ．
2
【分析】先求出AB、BC的长，即可求出CD、CE的长，再根据三角形面积公式计算即可求出DG的
长．
3
【解答】解：∵AB= AC，AC＝10，
2
∴AB＝15，
∵△ABC周长为41，
∴BC＝41﹣AB﹣AC＝41﹣15﹣10＝16，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD＝8，
∵E是AC中点，
∴CE＝AE＝5，
∵EF⊥BC，DG⊥AC，
1 1
∴S = CD⋅EF= CE⋅DG，
△CDE 2 2
∵EF＝4，∴8×4＝5DG，
解得DG＝6.4，
故答案为：6.4．
8．（2023秋•民权县期末）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周
长分成55和45两部分，求AC和AB的长．
【分析】根据三角形的中线的定义得到CD＝BD，根据三角形的周长公式列方程，解方程得到答案．
【解答】解：设BC＝2x，则AC＝4x，
∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BD＝x，
由题意得：x+4x＝55，AB+x＝45，
解得：x＝11，AB＝34，
∴AC＝4x＝44，
∵AB+BC＞AC，
∴AC的长为44，AB的长为34，
答：AC的长为44，AB的长为34．
9．（2023秋•富县月考）如图，CD，CE分别是△ABC的高和中线，若 AC＝7cm，BC＝24cm，AB＝
25cm，∠ACB＝90°．
（1）求CD的长；
（2）求△BCE与△ACE的周长差．
【分析】（1）根据三角形的面积公式计算；
（2）根据三角形的中线的性质得到AE＝BE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CD是边AB上的高，
1 1
∴ AC•BC = AB•CD，
2 2AC⋅BC 7×24 168
∴CD= = = （cm），
AB 25 25
168
答：CD的长为 cm；
25
（2）∵CE为AB边上的中线，
∴AE＝BE，
∴△BCE的周长与△ACE的周长的差为：（BC+CE+BE）﹣（AC+CE+AE）＝BC﹣AC＝24﹣7＝17
（cm），
答：△BCE与△ACE的周长的差是17cm．
10．（2023秋•无为市月考）如图，在△ABC中，AD是中线，AB＝10cm，AC＝6cm．
（1）求△ABD与△ACD的周长差．
（2）点E在边AB上，连接ED，若△BDE与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长．
【分析】（1）△ABD的周长＝AB+BD+AD，△ACD的周长＝AC+CD+AD，由中线的定义可得BD＝
CD，即可解答；
（2）由图可知三角形BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE，BD＝DC，
所以BE＝AE+AC，则可解得AE＝2cm．
【解答】解：（1）△ABD的周长＝AB+BD+AD，△ACD的周长＝AC+CD+AD，
∵AD是中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD与△ACD的周长差：（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝AB﹣AC＝4（cm）；
（2）由图可知：
△BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE，
又∵△BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，D是BC的中点，
∴BD＝DC，BE+BD+DE＝AE+AC+DC+DE，
∴BE＝AE+AC，
又∵AB＝10cm，AC＝6cm，BE＝AB﹣AE，
∴AE+AC＝AB﹣AE，
∴10﹣AE＝AE+6，∴AE＝2cm．
【类型3 三角形的面积计算】
1．（2024春•未央区校级月考）如图，在△ABC中，点D为BC上一点，E，F分别为线段AD，BC的中
点，连接BE，CE，EF，已知S△ABC ＝32，S△DEF ＝1，则△BDE的面积为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
1 1
【分析】根据中点可得到S = S ，S = S ，然后用面积作差计算即可．
△BEC 2 △ABC △BEF 2 △BEC
【解答】解：∵E为线段AD的中点，
1 1
∴S = S ，S = S ，
△BDE 2 △ABD △DEC 2 △ADC
1 1 1 1
∴S +S =S = S + S = (S +S )= S =16，
△BDE △DEC △BEC 2 △ABD 2 △ADC 2 △ABD △ADC 2 △ABC
∵F为线段BC的中点，
1
∴S = S =8，
△BEF 2 △BEC
∴S△BDE ＝S△BEF ﹣S△DEF ＝8﹣1＝7．
故选：A．
2．（2024春•锡山区校级月考）如图，AD和BE是△ABC的中线，AD与BE交于点O，下列结论正确的
有（ ）个．
（1）S△ABE ＝S△ABD
（2）连接CO并延长交AB于点F，则AF＝BF
（3）S△ABO ＝S四边形DOEC
A．3个 B．2个 C．0个 D．1个【分析】根据三角形中线的性质，逐一进行分析即可．
【解答】解：∵AD和BE是△ABC的中线，
1
∴S =S = S ，故①正确；
△ABE △ABD 2 △ABC
连接CO并延长交AB于点F，如图：
∵三角形的三条中线交于一点，
∴CF为△ABC的中线，
∴AF＝BF，故②正确；
∵AD是△ABC的中线，
1
∴S =S = S ，
△ACD △ABD 2 △ABC
∴S△ACD ﹣S△BOD ＝S△ABD ﹣S△BOD ，
∴S△ABO ＝S四边形DOEC ；故③正确；
故选：A．
3．（2024春•卢龙县期末）如图，D，E，F分别是边BC，AD，AC上的中点，若S阴影的面积为3，则
△ABC的面积是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
1 1
【分析】利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，S△ABD ＝S△ACD =
2
S△ABC ，S△BDE =
2
1 1 1 8
S△ABD ，S△ADF =
2
S△ADC ，再得到S△BDE =
4
S△ABC ，S△DEF =
8
S△ABC ，所以S△ABC =
3
S阴影部分 ．
【解答】解：∵D为BC的中点，1
∴S△ABD ＝S△ACD =
2
S△ABC ，
∵E，F分别是边AD，AC上的中点，
1 1 1
∴S△BDE =
2
S△ABD ，S△ADF =
2
S△ADC ，S△DEF =
2
S△ADF ，
1 1 1
∴S△BDE =
4
S△ABC ，S△DEF =
4
S△ADC =
8
S△ABC ，
1 1 3
S△BDE +S△DEF =
4
S△ADC +
8
S△ABC =
8
S△ABC ，
8 8
∴S△ABC =
3
S阴影部分 =
3
×3＝8．
故选：D．
4．（2024春•淮阳区期末）如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点．设
△ABC，△ADF，△BEF 的面积分别为 S△ABC ，S△ADF ，S△BEF ，且 S△ABC ＝24，则 S△ADF ﹣S△BEF ＝
（ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
2
【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，则S = S =16，
△AEC 3 △ABC
1
S
△BCD
=
2
S
△ABC
=12，然后利用S
Δ AEC
﹣S
Δ BCD
＝4即可得到答案．
【解答】解：∵EC＝2BE，
2 2
∴S = S = ×24=16，
△AEC 3 △ABC 3
∵点D是AC的中点，
1 1
∴S = S = ×24=12，
△BCD 2 △ABC 2
∴S
Δ AEC
﹣S
Δ BCD
＝4，即S△ADF +S四边形CEFD ﹣（S△BEF ﹣S四边形CEFD ）＝4，
∴S△ADF ﹣S△BEF ＝4．
故选：B．
5．（2024春•项城市期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，点E，F分别是AD，CE的中点，且
△BEF的面积为3，则△ABC的面积是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【解答】解：∵点E是AD的中点，
1 1
∴S△ABE =
2
S△ABD ，S△ACE =
2
S△ADC ，
1
∴S△ABE +S△ACE =
2
S△ABC ，
1
∴S△BCE =
2
S△ABC ，
∵点F是CE的中点，
1 1
∴S△BEF =
2
S△BCE =
4
S△ABC ，
∵△BEF的面积为3，
∴S△ABC ＝4×3＝12．
故选：D．
6．（2024春•正定县期末）如图，BD是△ABC的中线，点E，F分别为CF，BD的中点．若△AEF的面
积为4，则△ABC的面积是（ ）A．8 B．16 C．20 D．24
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形计算即可．
【解答】解：∵点E为CF的中点，
∴S△ACF ＝2S△AEF ＝2×4＝8，
∵BD是△ABC的中线，
1 1
∴S△ABC ＝2S△ABD ，S
△ADF
=
2
S
△ACF
=
2
×8=4，
∵点F分别为BD的中点，
∴S△ABD ＝2S△ADF ＝2×4＝8，
∴S△ABC ＝2×8＝16，
故选：B．
7．（2024春•奉节县期末）如图，在△ABC中，点G是边BC上任意一点，点D，E，F分别是AG，BD，
CE的中点．若△DEF的面积为4，则△ABC的面积为（ ）
A．32 B．16 C．8 D．4
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【解答】解：连接CD，∵点F是CE的中点，
∴S△CDE ＝2S△DEF ＝8，
∵点E是BD的中点，
∴S△BCD ＝2S△CDE ＝16，
∵点D是AG的中点，
∴S△ABD ＝S△ABG ，S△ACD ＝S△AGC ，
∴S△ABD +S△ACD ＝S△ABC ，
∴S△ABC ＝2S△BCD ＝32．
故选：A．
8．（2024春•江都区期末）如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝BD，BE＝2CE，AE、CD
相交于点F．若四边形BEFD的面积为10，则△ABC的面积为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【分析】连接BF，设S△BEF ＝S，则S△BDF ＝10﹣S，根据“AD＝BD，BE＝2CE”分别将△ADF、△ACF
1
和△CEF的面积用含S的代数式表示出来，再根据S△ACE =
2
S△ABE ＝S△ACF +S△CEF 列方程求出S，从而求
出△ABC的面积．
【解答】解：连接BF．设S△BEF ＝S，则S△BDF ＝10﹣S，
∵AD＝BD，
∴S△ADF ＝S△BDF ＝10﹣S，
∵BE＝2CE，
1 1
∴S△CEF =
2
S△BEF =
2
S，
∵S△ACD ＝S△BCD ，
3
∴S△ACF ＝S△ACD ﹣S△ADF ＝S△BCD ﹣S△ADF =
2
S，
1 1 1 1
∴S△ACE =
2
S△ABE =
2
（S四边形BEFD +S△ADF ）=
2
（10+10﹣S）＝10−
2
S，
3 1
∵S△ACE ＝S△ACF +S△CEF =
2
S +
2
S＝2S，
1
∴10− S＝2S，
2
∴S＝4，
∴S△ABC＝S四边形BEFD +S△ADF +S△ACE ＝10+10﹣S+2S＝20+S＝24．
故选：D．
9．（2023秋•怀宁县期末）如图，BD是△ABC的边AC上的中线，AE是△ABD的边BD上的中线，BF是
△ABE的边AE上的中线，若△ABC的面积是32，则阴影部分的面积是（ ）
A．9 B．12 C．18 D．20
【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．
【解答】解：∵BD是△ABC的边AC上的中线，1 1
∴S△ABD ＝S△BCD =
2
S△ABC =
2
×32＝16，
∵AE是△ABD的边BD上的中线，
1 1
∴S =S = S = ×16=8，
△ABE △ADE 2 △ABD 2
又∵BF是△ABE的边AE上的中线，则CF是△ACE的边AE上的中线，
1 1 1
∴S =S = S = ×8=4，S =S =S =S = S =8，
△BEF △ABF 2 △ABE 2 △CEF △ACF △ADE △CED 2 △ACE
则S阴影 ＝S△BEF +S△CEF ＝4+8＝12，
故选：B．
10．（2024春•重庆期末）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，BD：CD＝1：2，连接AD，点E是
线段AD的中点，连接CE，点F是线段CE的中点，连接BF交线段AD于点G，过点E作EH∥BF交
1
AB 于点 H，连接 HG．则下列结论：① S△ACE ＝S△DCE ；② S△BCF =
4
S
△ABC
；③ S△EFG ＝S△GBH ；
④S△EFG +S△DBG ＝S四边形CFGD ；其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形中线的性质设S△ABD ＝2S，则S△ACD ＝4S，S△ABC ＝6S，连接BE，DF，根据三角形
3
中线的性质可得，S△ACE ＝S△DCE ＝2S，S△ABE ＝S△DBE ＝S，S△BCE ＝3S，S△BCF ＝S△BEF =
2
S，S△DCF ＝
3 1 1
S△DEF ＝S，则S△BCF ：S△ABC =
2
S：（6S）=
4
，即S△BCF =
4
S△ABC ；设点F到DE的距离为m，点B到
1 3
DE的距离为n，可得m＝n，进而可得S△DFG ＝S△DBG ，所以S△EFG ＝S△EBG =
2
S△BEF =
4
S，再由平行可
知，S△GBE ＝S△GBH ＝S△EFG ；分别表达S△EFG +S△DBG 及S四边形CFGD 的值，得出S△EFG +S△DBG ≠S四边形
．
CFGD
【解答】解：∵BD：CD＝1：2，∴S△ABD ：S△ACD ＝BD：CD＝1：2，
设S△ABD ＝2S，则S△ACD ＝4S，S△ABC ＝6S，
如图，连接BE，DF，
∵点E是线段AD的中点，
1
∴S△ACE ＝S△DCE =
2
S△ACD ＝2S，
1
S△ABE ＝S△DBE =
2
S△ABD ＝S，故①正确，符合题意；
∴S△BCE ＝S△DCE +S△DBE ＝3S，
∵点F是线段CE的中点，
1 3
∴S△BCF ＝S△BEF =
2
S△BCE =
2
S，
1
S△DCF ＝S△DEF =
2
S△DCE ＝S，
3 1 1
∴S△BCF ：S△ABC =
2
S：（6S）=
4
，即S△BCF =
4
S△ABC ，②正确，符合题意；
∴S△DEF ＝S△DBE ，
设点F到DE的距离为m，点B到DE的距离为n，
1 1
∴ DE•m = DE•n，则m＝n，
2 2
1 1
∵S△DFG =
2
DG•m，S△DBG =
2
DG•n，∴S△DFG ＝S△DBG ，
1 3
∴S△DEF ﹣S△DFG ＝S△DBE ﹣S△DBG ，即S△EFG ＝S△EBG =
2
S△BEF =
4
S，
∵EH∥BF，
∴S△GBE ＝S△GBH ＝S△EFG ；故③正确，符合题意；
∵S△EFG +S△DBG ＝S△GBE +S△DBG ＝S，5
S四边形CFGD ＝S△DCE ﹣S△EFG =
4
S，
∴S△EFG +S△DBG ≠S四边形CFGD ；故④错误，不符合题意；
故选：C．
