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§2.9 函数的零点与方程的解
考试要求 1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解．
知识梳理
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使 f ( x ) ＝ 0 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与 x 轴 有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f ( a ) f ( b )<0 ，那么，函数
y＝f(x)在区间 ( a ， b ) 内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 f ( c ) ＝ 0 ，这个c也就是方程
f(x)＝0的解．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且 f ( a ) f ( b )<0 的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在
区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分
法．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( × )
(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.( × )
(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．( × )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac<0，则f(x)无零点．( √ )
教材改编题
1．(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) －4 －2 1 4 2 －1 －3
在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为( )
A．(1,2) B．(2,3) C．(5,6) D．(5,7)
答案 BCD
解析 由所给的函数值表知，f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0，
f(5)f(7)<0，
∴f(x)在区间(2,3)，(5,6)，(5,7)内各至少有一个零点．
2．已知函数f(x)＝则f(x)的零点为________．
答案 －2，e
解析 或
解得x＝－2或x＝e.
3．方程2x＋x＝k在(1,2)内有解，则实数k的取值范围是________．
答案 (3,6)
解析 设f(x)＝2x＋x，
∴f(x)在(1,2)上单调递增，
又f(1)＝3，f(2)＝6，
∴30，f(－1)＝－1<0，
f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，
f(2)＝e2－4>0，
因为f(－2)·f(－1)<0，f(1)·f(2)<0，
所以f(x)在(－2，－1)和(1,2)内存在零点．
(2)若a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以
f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．
教师备选
(2022·湖南雅礼中学月考)设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)( )
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
答案 D
解析 f(x)的定义域为{x|x>0}，
f′(x)＝－＝，
令f′(x)>0⇒x>3，f′(x)<0⇒00，f(1)＝>0，
∴f(x)在内无零点．
又f(e)＝－1<0，∴f(x)在(1，e)内有零点．
思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有
f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
跟踪训练1 (1)(2022·太原模拟)利用二分法求方程log x＝3－x的近似解，可以取的一个区
3
间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案 C
解析 设f(x)＝log x－3＋x，
3
当x→0时，f(x)→－∞，f(1)＝－2，
又∵f(2)＝log 2－1<0，
3
f(3)＝log 3－3＋3＝1>0，
3
故f(2)·f(3)<0，
故方程log x＝3－x在区间(2,3)上有解，
3
即利用二分法求方程log x＝3－x的近似解，可以取的一个区间是(2,3)．
3
(2)已知 20，
a
∴x∈(2,3)，即n＝2.
0
题型二 函数零点个数的判定
例2 (1)(2022·绍兴模拟)若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝－f(x)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝1
－x2，已知函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－6,6]内的零点个数为( )
A．14 B．13 C．12 D．11
答案 C
解析 因为f(x＋1)＝－f(x)，
所以函数y＝f(x)(x∈R)是周期为2函数，
因为x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，
所以作出它的图象，则y＝f(x)的图象如图所示．(注意拓展它的区间)
再作出函数g(x)＝的图象，
容易得出交点为12个．
(2)函数f(x)＝·cos x的零点个数为______．
答案 6
解析 令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，
∴f(x)的定义域为[－6,6]．
令f(x)＝0得36－x2＝0或cos x＝0，
由36－x2＝0得x＝±6，
由cos x＝0得x＝＋kπ，k∈Z，
又x∈[－6,6]，
∴x为－，－，，.
故f(x)共有6个零点．
教师备选
函数f(x)＝2x|log x|－1的零点个数为( )
2
A．0 B．1 C．2 D．4
答案 C
解析 令f(x)＝0，得|log x|＝x，分别作出y＝|log x|与y＝x的图象(图略)，
2 2由图可知，y＝|log x|与y＝x的图象有两个交点，即原函数有2个零点．
2
思维升华 求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；
(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零
点个数．
跟踪训练2 (1)函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x<2时f(x)＝x2－x，则函
数y＝f(x)的图象在区间[－3,3]上与x轴的交点个数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
答案 B
解析 令f(x)＝x2－x＝0，
所以x＝0或x＝1，所以f(0)＝0，f(1)＝0，
因为函数的最小正周期为2，
所以f(2)＝0，f(3)＝0，f(－2)＝0，
f(－1)＝0，f(－3)＝0.
所以函数y＝f(x)的图象在区间[－3,3]上与x轴的交点个数为7.
(2)(2022·泉州模拟)设定义域为R的函数f(x)＝则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的
个数为( )
A．3 B．7 C．5 D．6
答案 B
解析 根据题意，令2f2(x)－3f(x)＋1＝0，
得f(x)＝1或f(x)＝.
作出f(x)的简图：
由图象可得当f(x)＝1和f(x)＝时，分别有3个和4个交点，
故关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为 7.
题型三 函数零点的应用
命题点1 根据函数零点个数求参数
例3 (2022·武汉模拟)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)－a(x＋3)＝0有四个不同的实根，
则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，4－2) B．(4＋2，＋∞)C．[0,4－2] D．(0,4－2)
答案 D
解析 画出f(x)的函数图象，
设y＝a(x＋3)，该直线恒过点(－3,0)，
结合函数图象，
若y＝a(x＋3)与y＝－x2－2x相切，
联立得x2＋(a＋2)x＋3a＝0，
Δ＝(a＋2)2－12a＝0，
得a＝4－2(a＝4＋2舍)，
若f(x)＝a(x＋3)有四个不同的实数根，
则00，
所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为.
因此实数a的取值范围是.
教师备选
1．函数f(x)＝－kx2有两个零点，则实数k的值为________．答案 －1
解析 由f(x)＝－kx2＝x，
函数f(x)＝－kx2有两个零点，即函数y＝－kx只有一个零点x，且x≠0.
0 0
即方程－kx＝0有且只有一个非零实根．
显然k≠0，即＝x2＋2x有且只有一个非零实根．
即二次函数y＝x2＋2x的图象与直线y＝有且只有一个交点(横坐标不为零)．
作出二次函数y＝x2＋2x的图象，如图．
因为≠0，由图可知，当>－1时，
函数y＝x2＋2x的图象与直线y＝有两个交点，不满足条件．
当＝－1，即k＝－1时满足条件．
当<－1时，函数y＝x2＋2x的图象与直线y＝无交点，不满足条件．
2．若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的
取值范围是________．
答案
解析 依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，m需满足
即
解得0，则方程的近似解落在区间( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 取x＝2，
1
因为f(2)＝4×8＋2－8＝26>0，
所以方程近似解x∈(1,2)，
0
取x＝，
2
因为f ＝4×＋－8＝7>0，
所以方程近似解x∈.
0
3．(2022·武汉质检)若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C. D.
答案 D
解析 由题意知方程ax＝x2＋1在上有实数解，即a＝x＋在上有解，
设t＝x＋，x∈，
则t的取值范围是.
所以实数a的取值范围是.
4．若函数f(x)＝存在2个零点，则实数m的取值范围为( )
A．[－3,0) B．[－1,0)C．[0,1) D．[－3，＋∞)
答案 A
解析 因为函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0，即f(x)在(1，＋∞)上有一个零点，
函数f(x)＝存在2个零点，
当且仅当f(x)在(－∞，1]上有一个零点，x≤1时，f(x)＝0 m＝－3x，
即函数y＝－3x在(－∞，1]上的图象与直线y＝m有一个公⇔共点，
而y＝－3x在(－∞，1]上单调递减，且有－3≤－3x<0，则当－3≤m<0时，直线y＝m和函数
y＝－3x(x≤1)的图象有一个公共点．
5．(2022·重庆质检)已知函数f(x)＝x－log x，设0c
0 0
C．xb
0 0
答案 B
解析 f(x)＝x－log x在(0，＋∞)上单调递减，由f(a)·f(b)·f(c)<0，
2
得f(a)<0，f(b)<0，f(c)<0或f(a)>0，
f(b)>0，f(c)<0.
∴xc不成立．
0 0 0
6．(2022·北京西城区模拟)若偶函数f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)且x∈[0,1]时，f(x)＝x，则方
程f(x)＝log |x|的根的个数是( )
3
A．2 B．3 C．4 D．多于4
答案 C
解析 f(x)＝log |x|的解的个数，等价于y＝f(x)的图象与函数y＝log |x|的图象的交点个数，因
3 3
为函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，
所以周期T＝2，
当x∈[0,1]时，f(x)＝x，且f(x)为偶函数，
在同一平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log |x|的图象，如图所示．
3
显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log |x|的图象有4个交点．
3
7．(多选)函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k的交点个数可能是( )
A．1 B．2 C．4 D．6
答案 ABC解析 由题意知，
f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]，
f(x)＝
在坐标系中画出函数f(x)的图象如图所示．
由其图象知，直线y＝k与y＝f(x)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.
8．(多选)(2022·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成
一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就
是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x ，使得f(x)＝x ，那么我们称该函数为
0 0 0
“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )
A．f(x)＝2x＋x B．g(x)＝x2－x－3
C．f(x)＝ ＋1 D．f(x)＝|log x|－1
2
答案 BCD
解析 选项A，若f(x)＝x，则 ＝0，该方程无解，故A中函数不是“不动点”函数；
0 0
选项B，若g(x)＝x ，则x－2x －3＝0，解得x ＝3或x ＝－1，故B中函数是“不动点”函
0 0 0 0 0
数；
选项C，若f(x)＝x，则 ＋1＝x，
0 0 0
可得x－3x＋1＝0，且x≥1，
0 0
解得x＝，故C中函数是“不动点”函数；
0
选项D，若f(x)＝x，则|log x|－1＝x，
0 0 2 0 0
即|log x|＝x＋1，
2 0 0
作出y＝|log x|与y＝x＋1的函数图象，如图，
2
由图可知，方程|log x|＝x＋1有实数根x，
2 0
即|log x|＝x＋1，
2 0 0故D中函数是“不动点”函数．
9．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：
f(x)＝________.
答案 x3－x(答案不唯一)
解析 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c为奇函数，
故a＝c＝0，f(x)＝x3＋bx＝x(x2＋b)有三个不同零点，
∴b<0，
∴f(x)＝x3－x满足题意．
10．函数f(x)＝若函数y＝f(x)－m有三个不同的零点，则实数m的取值范围是________．
答案 (1,2)
解析 画出函数y＝f(x)与y＝m的图象，如图所示，
注意当x＝－1时，
f(－1)＝－1＋2＋1＝2，f(0)＝1，
∵函数y＝f(x)－m有三个不同的零点，
∴函数y＝f(x)与y＝m的图象有3个交点，由图象可得m的取值范围为1b>a B．b>c>a
C．c>a>b D．a>c>b
答案 B
解析 令f(x)＝0，则2x＋x－1＝0，
得x＝0，即a＝0，
令g(x)＝0，则log x＋x－1＝0，
2
得x＝1，即b＝1，
因为函数h(x)＝x3＋x－1在R上为增函数，且h(0)＝－1<0，h(1)＝1>0，
所以h(x)在区间(0,1)上存在唯一零点c，
且c∈(0,1)，综上，b>c>a.
14．(2022·厦门模拟)已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))的所有零点之和为________．
答案
解析 当x≤0时，x＋1＝0，x＝－1，
由f(x)＝－1，
可得x＋1＝－1或log x＝－1，
2
∴x＝－2或x＝；
当x>0时，log x＝0，x＝1，由f(x)＝1，
2
可得x＋1＝1或log x＝1，∴x＝0或x＝2；
2
∴函数y＝f(f(x))的所有零点为－2，，0,2，
∴所有零点的和为－2＋＋0＋2＝.
15．若关于x的方程＝kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为( )
A．(0,1) B.
C. D．(1，＋∞)
答案 C
解析 因为＝kx2有四个实数解，
显然，x＝0是方程的一个解，
下面只考虑x≠0时有三个实数解即可．
若x>0，原方程等价于1＝kx(x＋4)，显然k≠0，则＝x(x＋4)．
要使该方程有解，必须k>0，
则＋4＝(x＋2)2，此时x>0，方程有且必有一解；
所以当x<0时必须有两解，当x<0时，
原方程等价于－1＝kx(x＋4)，
即－＝x(x＋4)(x<0且x≠－4)，要使该方程有两解，
必须－4<－<0，
所以k>.
所以实数k的取值范围为.
16．已知M＝{α|f(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|，要使函数g(x)在区间(1,3)上存在零点，只需a∈.
