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专题 4.7 等腰三角形难点突破必考七大类型
【人教版】
【类型1 等腰三角形中的分类讨论思想（求角）】.............................................................................................1
【类型2 等腰三角形中的分类讨论思想（计数）】.............................................................................................2
【类型3 等腰三角形中的分类讨论思想（分割）】.............................................................................................4
【类型4 等腰三角形中的方程思想】......................................................................................................................5
【类型5 角平分线遇平行线构等腰】......................................................................................................................6
【类型6 连底边中线或作底边高线构三线合一】.................................................................................................8
【类型7 作腰或底的平行线构等腰】....................................................................................................................10
【类型1 等腰三角形中的分类讨论思想（求角）】
1．（2024秋•杨浦区校级月考）若等腰三角形的一个内角为50°，则它一腰上的高与底边所夹的角的度数
是 ．
2．（2024春•永丰县期末）在等边△ABC中，E是∠B的平分线上一点，∠AEB＝105°，点P在△ABC的
边上，若AE＝EP，则∠AEP的度数为 ．
3．（2023秋•荆门期末）已知，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点
E，∠AED＝55°，则∠BAC＝ ．
4．（2023秋•明水县期末）如图，已知点 P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠O＝
30°，当∠A＝ 时，△AOP为等腰三角形．
5．（2023秋•睢阳区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，点D在线段BC上运动（点D不与
点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝36°，DE交线段AC于点E，点D在运动过程中，若△ADE是等
腰三角形，则∠BDA的度数为 ．6．（2023秋•石城县期末）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝150°，将一块足够大的直角三角尺 PMN
（∠M＝90°，∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经
过点C，并且与CB的夹角∠PCB＝ ，斜边PN交AC于点D．在点P的滑动过程中，若△PCD是等腰
三角形，则夹角 的大小是 α ．
α
7．（2023秋•沂水县期末）已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．
（1）如图1，试说明CD＝CB的理由；
（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．
①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．
【类型2 等腰三角形中的分类讨论思想（计数）】
1．（2024•天祝县三模）如图，坐标平面内一点A（3，﹣2），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以
点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（ ）A．2 B．3 C．4 D．1
2．（2024秋•新吴区校级月考）已知：如图，△ABC中∠B＝70°，∠C＝80°，在直线BA上找一点D，使
△ACD或△BCD为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（ ）
A．9个 B．8个 C．7个 D．6个
3．（2024春•酒泉期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点
上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点
C的个数有 个．
4．（2024秋•浦东新区校级月考）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知 A、B是两格
点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是 ．
5．（2023秋•平舆县期末）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中
小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数有 个．6．（2023秋•昌平区期末）如图，点O在直线l上，点A在直线l外．若直线l上有一点P使得△APO为
等腰三角形，则满足条件的点P位置有 个．
【类型3 等腰三角形中的分类讨论思想（分割）】
1．（2023秋•德清县校级期中）如图，已知△ABC中，AB＝3，∠B＝40°，∠C＝20°，在△ABC所在平面
内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可
画（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
2．（2023秋•巨野县期中）问题背景：已知，在△ABC中，AB＝AC，如果过某一顶点的直线可以将
△ABC分割成两个等腰三角形，求∠A的大小．某数学学习小组的成员在自主探究后得出如下结果：
180°
①∠A＝36°，②∠A＝90°，③∠A＝108°，④∠A= ，你认为其中正确的结果有（ ）
7
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（2023秋•武隆区期末）一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰
三角形，那么它的最大内角可能是 ．
4．（2024•雁塔区校级开学）等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成6cm和15cm两部分，这个
等腰三角形各边长为 ．
5．（2023秋•昌黎县期末）乐乐在学习中遇到了这样的问题：
如图所示的三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，将△ABC沿某一条直线剪开，使其变成两
个三角形，且要求其中的一个三角形是等腰三角形，你有几种方法呢？
经过思考，乐乐发现要想沿一条直线把三角形分割成两个三角形，这条直线需要经过三角形的某个定
点，请你帮助乐乐写出当这条直线经过点A时，剪出的等腰三角形的面积是 ．【类型4 等腰三角形中的方程思想】
1．（2023秋•延边州期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，BD是角平分线，BC的垂直平分线EF交BD于
点F，交BC于点E．若∠FCA＝25°，则∠A的度数为 ．
2．（2023秋•宁国市期末）小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB＝AC）中恰好剪出五个如图所示的小等
腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠B＝ °．
3．（2023秋•包河区期末）如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，
EF⊥BC于点F．若CD＝3AE，CF＝6，则AC的长为 ．
4．（2023秋•松北区期末）如图，等边△ABC，E为△ABC外一点，AE＝AC，连接BE，若∠EBC＝15°，
△ACE的面积等于9，则BC的长为 ．5．（2024秋•路南区校级月考）在等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长
分成12和6两部分，求这个等腰三角形的腰长．
6．（2023秋•乾安县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC上一点，且满足AD＝BD＝BC．点
F在BC延长线上，连接FD并延长，交AB于点E，连接AF，求∠BAC和∠ACB的度数．
7．（2024 春•历下区期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，过点 A 作
AE⊥BD交延长线于点E．若∠BAC＝2∠DAE，求∠DAE的度数．
【类型5 角平分线遇平行线构等腰】
1．（2024•苏州模拟）如图，已知△ABC．∠ABC与∠ACB的平分线 OB，OC 交于点 O，过点 O作
MN∥BC，交AB，AC于点M，N．若AB＝8，AC＝7，则△AMN的周长＝ ．2．（2023秋•龙山区期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，
F．若FG＝2，ED＝4，则EB+DC的值为 ．
3．（2024•冠县校级开学）在△ABC中，BC＝10cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且
PD∥AB交BC于D，PE∥AC交BC于E，则△PDE的周长是 cm．
4．（2023秋•北京期末）如图，在△ABC中，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，过点D作EF∥AB，分
别交AC，BC于点E，F．当AE＝2，BF＝4时，EF的长为 ．
5．（2023秋•如皋市期中）如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AC于点
E，BF平分∠ABC交DE于点F，若EC＝3EF＝6，则BD＝ ．
6．（2023秋•纳溪区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是
∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为 ．7．（2023秋•武威期末）如图所示，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角的平分线CF相交
于点F，过F作DF∥BC，交AB于D交AC于E，延长BC至M，试说明BD，CE，DE之间的数量关
系．
【类型6 连底边中线或作底边高线构三线合一】
1．（2023秋•斗门区期末）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，D为BC延长线上一点，EC⊥AC且
AC＝CE，垂足为C，连接BE，若BC＝6，则△BCE的面积为 ．
2．（2023秋•长葛市期末）如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝8cm，点M、N在边OB上，
PM＝PN，若MN＝2cm，则OM＝ cm．
3．（2024秋•通州区校级月考）如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，EB＝EF．若BD＝4，BF＝8，则
线段DE的长为 ．4．（2024秋•通州区校级月考）如图，等边△ABC中，点P是CA延长线上一点，点D是BC上一点，且
PB＝PD．若CP+CD＝10，BD＝3，则AB的长为 ．
5．（2023秋•安康期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D是AB上一点，DE⊥BC于点E，EF⊥AC于
点F．
1
（1）若点D是AB的中点，求证：∠BDE= ∠C；
2
（2）若∠ADE＝160°，求∠DEF的度数．
6．（2024秋•奇台县校级月考）已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．
（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．
（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等
腰直角三角形？画出图形，写出结论不证明．7．（2023秋•南沙区校级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，E是BD上一点，EA⊥AB，且EB＝
EC，∠EBC＝∠ECB．
（1）如果∠ABC＝40°，求∠DEC的度数；
（2）求证：BC＝2AB．
【类型7 作腰或底的平行线构等腰】
1．（2023秋•宣化区期末）如图，等边三角形ABC的边长为12，D为AC边上一动点，E为AB延长线上
一动点，DE交CB于点P，点P为DE中点．若DE⊥AC，则AE＝ ．
2．（2023秋•铁岭县期末）如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC
延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为 ．
3．（2022秋•柳州期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，以DE为边作等边
△DEF，连接CF．若BD＝1，AE＝3．则CF的长是 ．
4．（2023春•本溪期末）在△ABC中，AB＝AC，点D在射线BA上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE．连接DE，DE与BC边所在的直线交于点F．
（1）当点D在线段BA上时，如图所示，求证：DF＝EF．
（2）过点D作DH⊥BC交直线BC于点H．若BC＝4，CF＝1，求BH的长是多少？
5．（2023秋•武昌区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BA延长线上一点，E为BC上一点，DC＝
DE．（1）求证：∠BDE＝∠ACD；
（2）若DE是△DBC的中线，交AC于点F，求证：DF＝EF．
6．（2023秋•信阳期中）在等边△ABC中，点D为AC的中点，点F在BC延长线上，点E在射线AB上，
∠EDF＝120°．
（1）如图1，当点E与点B重合时，则DE与DF的数量关系是 ；
（2）当点E在线段AB上时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；
（3）如图3，当点E在AB的延长线上时，BF＝8，BE＝2，请直接写出BC的长．
7．如图，等边三角形△ABC中，D在AC上，延长BC至E，使CE＝AD，DF⊥BC于F．
（1）如图1，若D是AC的中点，求证：①DB＝DE；②BF＝EF；
（2）如图2，若点D是边AC上的任意一点，BF＝EF是否仍然成立？请证明你的结论；（3）如图3，若点D是边AC的延长线上任意一点，其它条件不变，（2）中结论是否仍然成立？画图
并证明你的结论．
