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专题5.24 相交线与平行线（分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023下·云南玉溪·七年级统考期末）下列图标中，由一个基本图形通过平移设计得到的是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2022下·广西河池·七年级统考期中）下列推理正确的是 （ ）
A．因为a∥d，b∥c，所以c∥d B．因为a∥c，b∥d，所以c∥d
C．因为a∥b，a∥c，所以b∥c D．因为a∥b，d∥c，所以a∥c
3．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，下面结论正确的是（ ）
A． 和 是同位角 B． 和 是内错角
C． 和 是同旁内角 D． 和 是内错角
4．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，直线 、 被第三条直线所藏，下列条件不能判断 的
是（ ）．
A． B．
C． D． ，
5．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，给出下列推理：
①∵∠B＝∠BEF，∴ ；②∵∠B＝∠CDE，∴ ；
③∵∠B＋∠BEC＝180°，∴ ；
④∵ ， ，∴ ，其中正确的推理是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
6．（2024上·湖南邵阳·九年级统考期末）如图，直线 ，分别与直线 交于点 ， ，把一块含
角的三角尺按如图所示的位置摆放．若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024上·广东广州·七年级统考期末）如图， 是北偏东 方向的一条射线，若 ，
的方向是（ ）
A．西偏北 B．北偏西 C．东偏北 D．北偏东
8．（2019下·江苏南京·七年级南京大学附属中学校考期末）一条公路两次转弯后又回到原来的方向
（即AB∥CD，如图），如果第一次转弯时∠B＝136°，那么∠C应是（ ）A．136° B．124°
C．144° D．154°
9．（2023上·上海金山·八年级校联考期末）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．如果 ，那么 ； B．如果 ，那么 ；
C．对顶角相等； D．同位角相等，两直线平行．
10．（2024上·福建泉州·七年级统考期末）如图， 于点O， ，射线 在
内部．给出下列结论：
① ；
②若 平分 ，则 平分 ；
③ 与 互补；
④若 ，则 ．
则其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023下·七年级单元测试）如图所示， 和 是内错角的是： ．（请把正确的序号都写
上）12．（2023下·浙江杭州·七年级校考阶段练习）如图，将木条a，b与c钉在一起， ，
要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是 ．
13．（2024上·甘肃白银·八年级统考期末）一副三角板如图叠放，已知∠OAB＝∠OCD＝90°，∠AOB
＝45°，∠COD＝60°，OB平分∠COD，则∠AOC＝ 度．
14．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）同一平面内两条直线 相交于点 ，
， ，垂足为 ，则 的度数是 ．
15．（2023下·山东威海·六年级统考期末）如图，已知 ，点 在 上， 的两边
与 相交于点 ，与 相交于点 ， 平分 ，请写出 ， ， 的数量关系
．
16．（2023下·吉林松原·七年级统考期中）如图1，为响应国家新能源建设，公交站亭装上了太阳能
电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线），如图2，电池板 与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，要
使 ，需将电池板 逆时针旋转 度， ．17．（2023下·浙江湖州·八年级统考期中）如图，直线 ，点C在 上．若 ，
的面积为27， 的面积为18，则 ．
18．（2020上·广东深圳·七年级深圳外国语学校校考期末）如图①，在长方形 中， 点在
上，并且 ，分别以 、 为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中 ，则
的度数为 度.
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2024上·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均
相等， 的三个顶点A，B，C都在格点上．
（1）在图中画出与 关于直线l成轴对称的 ；
（2）在直线l上找出一点Q，使得 的值最小；（描出该点并标注字母Q）
（3）在直线l上找出一点P，使得 的值最大．（保留作图痕迹并标注点P）20．（8分）（2024下·全国·七年级假期作业）如图， ， ， 分别是 ，
的平分线， ，试探究 与 的位置关系并说明理由．
请完善下列解题过程．
解： 与 的位置关系是___________．
， 分别是 ， 的平分线（已知），
___________，
___________（ ）．
（已知），
___________．
又 （已知），
（ ），
（ ）．21．（10分）（2023下·云南昆明·七年级校考阶段练习）如图，点 分别在 上，
于点 ．
（1）求证∶ ；
（2）若 ，求证∶ ．
22．（10分）（2024上·广东清远·八年级统考期末）如图，在 中， ，D是 边上
的一点，且 于点E，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，且 ，求 的度数（用含 的式子表示）．23．（10分）（2023上·福建漳州·八年级统考期中）（1）如图，“若 ，则 ”该命题
是______（填“真命题”或“假命题”）．
（2）若上述命题为真命题，请说明理由；若上述命题为假命题，请你再添加一条件，使该命题成为
真命题，并说明理由．
24．（12分）（2021下·广西贵港·七年级统考期末）已知： ，一块三角板
中， ，将三角板 如图所示放置，使顶点 落在 边上，
经过点 作直线 交 边于点 ，且点 在点 的左侧．
（1）如图，若 ，则 ______ ；
（2）若 的平分线 交 边于点 ，①如图，当 ，且 时，试说明： ；
②如图，当 保持不变时，试求出 与 之间的数量关系．
图1 图2 图3
参考答案：
1．D
【分析】利用平移的定义分析即可．
解：A.可以通过旋转得到，故A选项不符合题意；
B. 可以通过旋转得到，故B选项不符合题意；
C. 可以通过轴对称变换得到，故C选项不符合题意；
D. 可以通过平移得到，故D选项符合题意．
故选：D
【点拨】本题考查了利用平移设计图案，准确理解平移的定义是解决本题的关键．
2．C
【分析】根据平行公理的推论逐项判断即得答案．
解：A、由a∥d，b∥c，不能推出c∥d，所以本选项推理错误，不符合题意；
B、由a∥c，b∥d，不能推出c∥d，所以本选项推理错误，不符合题意；
C、由a∥b，a∥c，能推出b∥c，所以本选项推理正确，符合题意；
D、由a∥b，d∥c，不能推出a∥c，所以本选项推理错误，不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查了平行公理的推论，属于基础题型，熟练掌握基本知识是关键．
3．D
【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在
第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，
则这样一对角叫做同旁内角作答
解：A、由同位角的概念可知，∠1与∠2不是同位角，故A选项错误；
B、由内错角的概念可知，∠2与∠3不是内错角，故B选项错误；
C、 和 是对顶角，故C错误；
D、由内错角的概念可知，∠1与∠4是内错角，故D选项正确．
故选：D．
【点拨】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的概念；解题的关键是理解三线八角中的某两个角是
不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定在复杂的图形中判别三类角时，
应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上
的两边，它们所在的直线即为被截的线.同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构
成“U”形．
4．A
【分析】根据平行线的判定定理逐项分析即可
解：A. ，对顶角相等，不能判断两直线平行，符合题意；
B. ， ，
,
，不符合题意；
C. ,
，不符合题意
D. ，
，
，不符合题意；
故选A．
【点拨】本题考查了平行线的判定定理，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
5．B
【分析】根据平行线的判定进行判断即可．
解：①∵∠B=∠BEF，∴ ，故①是正确的；
②∵∠B=∠CDE，∴ ，故②是正确的；③中由∠B+∠BEC=180°，可推出 ，不能推出 ，故③不正确；
④∵ ， ，∴ ，故④是正确的．
综上可知，①②④正确，故B正确．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了平行线的判定，1、平行线的判定定理: ①同位角相等，两直线平行,②内错
角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，④若 ， ，那么 ；以此为依据进行判
断选择；2、结合图形，确定已知角之间的关系，即是否是同位角、同旁内角、内错角关系；3、注意检查
已知角是否是由要判断的两线截得的同位角、同旁内角或内错角，否则易错选，如③．
6．B
【分析】此题主要考查了平行线的性质，解本题的关键是熟记平行线的性质：“两直线平行，同位角
相等”．依据 ，即可得到 ，再根据 ，即可得出答案．
解： ，
，
，
，
故选：B．
7．B
【分析】根据方位角的概念，写出射线 表示的方向即可．
解：如图：∵ 是北偏东 方向的一条射线， ，
∴ ，
∴射线OB的方向角是北偏西 ．
故选：B
【点拨】本题考查了方向角，解本题的关键是熟练掌握方向角的定义，方向角的表示方法是北偏东或
北偏西，南偏东或南偏西．
8．A
【分析】根据平行线的性质得出∠B=∠C，代入求出即可．
解：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
∵∠B=136°，
∴∠C=136°，
故选A．
【点拨】本题考查了平行线的性质的应用，解此题的关键是能根据平行线的性质得出∠B=∠C，注意：
平行线的性质是：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互
补．
9．C
【分析】本题主要考查逆命题和真假命题，能够写出命题的逆命题是解题的关键．
解：A. 逆命题为：如果 ，那么 ，是真命题，不符合题意；
B. 逆命题为：如果 ，那么 ，真命题，不符合题意；
C. 逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，符合题意；
D. 两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意；
故选C．
10．B
【分析】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，角的和差等知识，根据角平分线的定义，补角的定义分析解答即可．
解：①由 ， 无法确定 ，故①不正确；
②∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，故②正确；
③∵
，
∴ 与 互补，故③正确；
④∵无法确定 ，
∴若 ，则 不一定等于 ，
∴ 不一定正确，故④不正确．
故选B．
11．①②④
【分析】根据两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具
有这样位置关系的一对角叫做内错角，逐一判断即可得到答案．
解：根据内错角的概念可知：①②④是内错角，③图不是．
故答案为：①②④．
【点拨】此题考查的是内错角的概念，掌握其概念是解决此题关键．
12． /35度
【分析】根据同位角相等，两直线平行，求解即可．
解：当 时，
∵
∴
即木条a旋转的度数至少是 时，
故答案为：【点拨】此题考查了平行线判定的应用，解题的关键是掌握平行线判定的方法．
13．15
【分析】先根据OB平分∠COD求出∠BOC，即可根据∠AOC＝∠AOB-∠BOC求解
解：∵OB平分∠COD，∠COD＝60°，
∴∠BOC＝30°，
∵∠AOB＝45°，
∴∠AOC＝∠AOB-∠BOC＝45°-30°=15°，
故答案为：15．
【点拨】本题考查三角板中的角度计算，准确的找到角度之间的关系是解题的关键．
14． 或
【分析】本题主要考查了垂线的定义、几何图中角度的计算，分两种情况，分别计算即可得出答案，
熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解：如图，
，
，
，
；
如图，
，
，
，
；
综上所述， 的度数是 或 ，
故答案为： 或 ．15．
【分析】根据角平分线的定义有 ，根据平行线的性质可得 ，据此即可
求解．
解：∵ 平分
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：
【点拨】本题考查角平分线的定义及平行线的性质．熟记相关结论是解题关键．
16．
【分析】先根据 与太阳光线互相垂直，得出 ，再根据平行线的性质可得当 时，
，即可得出结论．
解：∵ 与太阳光线互相垂直，
∴ ，
当 时， ，
∴需将电池板 逆时针旋转 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等．
17．6
【分析】过点A作 于点M，过点C作 于点N，先根据三角形的面积公式求出
，则 ，最后根据三角形面积公式求出 即可．
解：过点A作 于点M，过点C作 于点N，
∵ ， 的面积为27，∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的面积为18，
∴ ，
解得： ，
故答案为：6．
【点拨】本题主要考查了平行线的间的距离处处相等，解题的关键是熟练掌握平行线间距离处处相等．
18．
【分析】从长方形中抓出隐含条件A'D'∥BC，得出∠BCE=∠CED'，求∠CED'的大小只需根据折叠规律、
平角知识和角的和差求出∠CED'大小即求出∠BCE．
解：折叠后的图形如下：
∵∠ABE=30°，
∴∠BEA'=∠BAE=60°，
又∵A'D'∥BC，
∴∠BCE=∠CED'，又∵∠CED'=∠CED，
∴∠BCE=∠CED'=∠CED，
又∵∠DEC= ∠DED'，
∴∠DEC= （180°-∠A'EA+∠AED）= （180°-120°+n°）=（30+ ）°，
∴∠BCE=（30+ ）°
故答案为：（30+ ）．
【点拨】本题综合考查了以长方形、平行线、两角互余的性质，图形的折叠特性、平角及角的和等知
识为背景的角的计算，同时也可以用平角建立等量关系，方程的思想求解更简单．
19．（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析
【分析】（1）根据轴对称的选择作图即可；
（2） 与直线l上找出一点Q，利用两点之间线段最短可判断Q点满足条件；
（3）连接 并延长，交直线l于点P，连接 ，此时 最大．
解：（1）如图， 即为所求．
（2）如图，点Q即为所求．
（3）如图，点P即为所求．
【点拨】本题考查了作图—轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解决本题的关键．
20． ； ； ；角平分线的定义； ；等量代换； ；内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根
据角平分线的定义以及已知条件得出 ，即可得出 ．
解： 与 的位置关系是 ．
， 分别是 ， 的平分线（已知），， （角平分线的定义）．
（已知），
．
又 （已知），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）．
21．（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）先证 得 ，由 得 ；
（2）利用平角定义得出 ，结合 可以得出 ，从而得证．
解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，并灵活运用．
22．（1）见详解；（2）
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义；
（1）先由 ， ，得 ，则两直线平行，内错角相等，即可作答．
（2）因为 ，所以 ，结合垂直定义，列式计算，即可作答．
（1）解：∵ ， ，
∴
∴
∴（2）解：∵ ，且 ，
∴
∵
∴
∵由（1）知
∴
23．（1）假命题；（2）添加 （答案不唯一）；证明见分析．
【分析】（1）本问考查真假命题的判定以及平行线的判定，利用平行线的判定方法进而判断即可；
（2）本问考查了平行线的性质和判定，正确利用平行线的判定方法求出即可．
解：（1）假命题；
由图形可知， 既不是同位角也不是内错角，即使 也不能得到 ，故该命题为假
命题；
故答案为：假命题
（2）添加 （答案不唯一）；
∵
∴ .
又∵
∴ ，
即
∴ ．
24．（1）45；（2）①见分析；② ．
【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义，解题关键是熟练运用平行线的性质与判
定，确定角之间的关系．
（1）过点E作 ，求出 ，利用平行线的性质得出 即可；
（2）①根据 ， 可得 ，再根据角平分线性质得出 ，利用
内错角相等证明平行即可；②根据平行线的性质得出 ，再根据角平分线的性质和
平行线的性质得出 ，即可求出 与α之间的数量关系．（1）解：如图，过点E作 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
故答案为：45；
（2）解：①∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在直角三角形 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②∵当 保持不变时，总有 ，
在直角三角形 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，且 ，∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
