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第 32 讲 复数
【基础知识全通关】
一、复数的有关概念
1.虚数单位 :
（1）它的平方等于 ，即 ；
（2） 与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程 的一个根，方程
的另一个根是 ；
（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；
（4） 的周期性： ， ， ， （ ）.
2. 概念
形如 （ ）的数叫复数， 叫复数的实部， 叫复数的虚部。
说明：这里 容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。
3.复数集
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 表示；复数集与其它数集之间的关系：
4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：
对于复数 （ ），
当且仅当 时，复数 是实数；
当且仅当 时，复数 叫做虚数；
当且仅当 且 时，复数 叫做纯虚数；
当且仅当 时，复数 就是实数0.
所以复数的分类如下:
（ ）5.复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相
等。即：
如果 ，那么 .
特别地: .
应当理解:
（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.
（2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可
以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。
6.共轭复数：
两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即：
复数 和 （ ）互为共轭复数。
二：复数的代数表示法及其四则运算
1.复数的代数形式:
复数通常用字母 表示，即 （ ），把复数表示成 的形式，叫做复数的
代数形式。
2.四则运算
；
；
复 数 除 法 通 常 上 下 同 乘 分 母 的 共 轭 复 数 ：
。
三：复数的几何意义
1. 复平面、实轴、虚轴：
点 的横坐标是 ，纵坐标是 ，复数 （ ）可用点 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面， 轴叫做实轴， 轴叫
做虚轴。
实轴上的点都表示实数。
对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为 ，它所确定的复数是
表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚
数。
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数 复平面内的点
这是因为，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个
点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示
方法，即几何表示方法。
2.复数的几何表示
（1）坐标表示:在复平面内以点 表示复数 （ ）；
O⃗Z
（2）向量表示:以原点 为起点，点 为终点的向量 表示复数 .
O⃗Z
向量 的长度叫做复数 的模，记作 .即 .
【微点拨】
O⃗Z
（1）向量 与点 以及复数 有一一对应；
（2）两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小。
3.复数加法的几何意义：
如果复数 、 分别对应于向量 、 ，那么以 、 为两边作平行四边形
，对角线 表示的向量 就是 的和所对应的向量。
4.复数减法的几何意义：
两个复数的差 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。
【微点拨】
1.复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行；2.求解计算时，要充分利用i的性质计算问题；
3.在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用；
4.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关
概念和两个复数相等的充要条件。
【考点研习一点通】
考点一：复数的有关概念
【例1】设复数 ，试求实数 取何值时，复数 分别
满足：
(1) 是纯虚数； (2) 对应的点位于复平面的第二象限。
【变式1-1】实数m取什么数值时，复数 分别是：
(1)实数？ (2)虚数? (3)纯虚数？ (4)表示复数 的点在复平面的第四象限?
【变式1-2】求当实数 取何值时，复数 分别是：
（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数。z
【变式1-3】已知复数 满足 且 ,则复数z2 +1（ ）
A.必为纯虚数 B.是虚数但不一定是纯虚数
C.必为实数 D.可能是实数也可能是虚数
考点二：复数相等
【例2】复数z＝ ＋(10-a2)i，z＝
1 2
若 是实数，求实数a的值.
【变式2-1】已知集合M=｛（a+3）+（b2-1）i,8｝,集合N=｛3，（a2-1）+(b+2)｝同时满
足M∩N M，M∩N≠Φ，求整数a,b
【变式2-2】已知复数z 满足(z -2)(1+i)=1-i(i为虚数单位)，复数z 的虚部为2，且
1 1 2
z·z 是实数，求z.
1 2 2【变式2-3】实数m分别取什么数值时？复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
(1)与复数2－12i相等；
(2)与复数12＋16i互为共轭复数；
(3)对应的点在x轴上方．
考点三：复数的代数形式的四则运算
【例3】计算：
2+2i
8
( )
1−√3i
【变式3-1】
(1−4i)(1+i)+2+4i
【变式3-2】计算：计算
3+4i【变式3-3】
【变式3-4】已知z ，z 为复数，(3＋i)z 为实数， 且|z |＝ 求z .
1 2 1 2 2
考点四：复数的几何意义
z
【例4】已知复数 ( )，若 所对应的点在第四象限，
求 的取值范围.
【变式4-1】已知复数 ，，在复平面内对应的点分别为 .
(1)若 是纯虚数，求m值；
(2)若 在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围.
【变式4-2】已知 是复数， 和 均为实数，且复数 对应的点在第一象
限，求实数 的取值范围。
考点五：化复数问题为实数问题
【例5】已知 互为共轭复数，且 ,求 .【变式5-1】求使关于 的方程 至少有一个实根的实数 .
【变式5-2】已知 ，方程 的两根为 、 ，求 .
【易错易错】
易错一.复数的有关概念
1．若z＝（3﹣i）（a+2i）（a R）为纯虚数，则z＝（ ）
∈
A． B．6i C． D．20
2．已知i是虚数单位，若z（1+3i）＝i，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．已知复数 （i虚数单位），则z （ ）
A． B．2 C．1 D．
4．若 b+2i，其中a，b R，i是虚数单位，则a+b的值（ ）
∈
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．35．设复数z满足z ，则|z|＝（ ）
A．1 B． C． D．2
易错二.复数的几何意义
1．已知i是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设i是虚数单位， 的复数z的共轭复数，z＝1+2i，则复数z+i• 在复平面内对应的点位
于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设a R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝（ ）
∈
A．0 B．﹣1 C．1 D．
4．已知复数z＝3+4i3，则z的共轭复数 在复平面内对应的点位于第 象限．
5．在复平面内，O是坐标原点，向量 对应的复数是﹣2+i，若点A关于实轴的对称点为
点B，则向量 对应的复数的模为 ．
易错三.复数的指数幂运算
1．若复数z （i为虚数单位），则复数 在复平面上对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知a为实数，若复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则 的值为（ ）
A．1 B．0 C．1+i D．1﹣i3．已知复数z （其中i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
4．已知复数z满足z•i2020＝1+i2019（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
5．设i是虚数单位，则复数z＝（ ）2013＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
易错四.待定系数在复数中的应用——最值问题
1．若复数z满足3z 4+2i，则z＝（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
2．设复数z满足z2＝3+4i（i是虚数单位），则z的模为（ ）
A．25 B．5 C． D．2+i
3．设复数z满足|z |＝1，|z |＝2，z +z ＝﹣1 i，则|z ﹣z |＝ ．
1 2 1 2 1 2
4．已知z C，且|z|＝1，则|z﹣2﹣2i|（i为虚数单位）的最小值是（ ）
∈
A．2 1 B．2 1 C． D．2
5．设复数z ，z 满足|z ﹣1|＝1，|z +3i|＝2，则|z ﹣z |的最大值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．3+2 B．2 C．3 D．6
【巩固提升】
1.互为共轭复数的两复数之差是( )
A、实数 B、纯虚数
C、0 D、零或纯虚数
2.若 ( ， 为虚数单位)，则 的值分别等于( )
A.3,-2 B.3,2 C.3,-3 D.-1,43. a为正实数，i为虚数单位， =2,则a=( )
A、2 B、 C、 D、1
4.在复平面内，复数 所对应的点位于（ ）
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
5.i为虚数单位， =________.
6.已知复数z满足（1+i）z=2,则z=_____.
7.已知A(1，2)，B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是复平面上的四点，且向量 对
应的复数分别为z,z.
1 2
(1)若z+z=1+i,求
1 2
(2)若z+z 为纯虚数，z-z 为实数，求a、b.
1 2 1 2
8.设z∈C，解方程z-2|z|=-7+4i.
9.要使复数 为纯虚数，其中实数a是否存在？若存在，求出
a的值，若不存在，说明理由。
