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第 32 讲 复数
【基础知识全通关】
一、复数的有关概念
1.虚数单位 :
（1）它的平方等于 ，即 ；
（2） 与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程 的一个根，方程
的另一个根是 ；
（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；
（4） 的周期性： ， ， ， （ ）.
2. 概念
形如 （ ）的数叫复数， 叫复数的实部， 叫复数的虚部。
说明：这里 容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。
3.复数集
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 表示；复数集与其它数集之间的关系：
4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：
对于复数 （ ），
当且仅当 时，复数 是实数；
当且仅当 时，复数 叫做虚数；
当且仅当 且 时，复数 叫做纯虚数；
当且仅当 时，复数 就是实数0.
所以复数的分类如下:
（ ）5.复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相
等。即：
如果 ，那么 .
特别地: .
应当理解:
（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.
（2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可
以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。
6.共轭复数：
两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即：
复数 和 （ ）互为共轭复数。
二：复数的代数表示法及其四则运算
1.复数的代数形式:
复数通常用字母 表示，即 （ ），把复数表示成 的形式，叫做复数的
代数形式。
2.四则运算
；
；
复 数 除 法 通 常 上 下 同 乘 分 母 的 共 轭 复 数 ：
。
三：复数的几何意义
1. 复平面、实轴、虚轴：
点 的横坐标是 ，纵坐标是 ，复数 （ ）可用点 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面， 轴叫做实轴， 轴叫
做虚轴。
实轴上的点都表示实数。
对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为 ，它所确定的复数是
表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚
数。
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数 复平面内的点
这是因为，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个
点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示
方法，即几何表示方法。
2.复数的几何表示
（1）坐标表示:在复平面内以点 表示复数 （ ）；
O⃗Z
（2）向量表示:以原点 为起点，点 为终点的向量 表示复数 .
O⃗Z
向量 的长度叫做复数 的模，记作 .即 .
【微点拨】
O⃗Z
（1）向量 与点 以及复数 有一一对应；
（2）两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小。
3.复数加法的几何意义：
如果复数 、 分别对应于向量 、 ，那么以 、 为两边作平行四边形
，对角线 表示的向量 就是 的和所对应的向量。
4.复数减法的几何意义：
两个复数的差 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。
【微点拨】
1.复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行；2.求解计算时，要充分利用i的性质计算问题；
3.在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用；
4.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关
概念和两个复数相等的充要条件。
【考点研习一点通】
考点一：复数的有关概念
【例1】设复数 ，试求实数 取何值时，复数 分别
满足：
(1) 是纯虚数； (2) 对应的点位于复平面的第二象限。
【点拨】利用复数的有关概念易求得。
【答案】
(1)当 即 时，复数 是纯虚数；
(2)当 即 或 时，复数 对应的点位于
复平面的第二象限.
【总结】复习中，概念一定要结合意义落实到位，对复数的分类条件要注意其充要性，对
复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样；对一些概念的等价表达式要熟知。比如：
( ) ； 是 纯 虚 数 （ ）
；
【变式1-1】实数m取什么数值时，复数 分别是：
(1)实数？ (2)虚数? (3)纯虚数？ (4)表示复数 的点在复平面的第四象限?【点拨】利用复数的有关概念易求得。
【解析】
(1)当 即 或 时，复数为实数.
当 时即 或 时，复数为虚数.
当 即 时，复数为纯虚数.
当 时即 时，表示复数 的点在复平面的第四象限.
【总结】复习中，概念一定要结合意义落实到位，对复数的分类条件要注意其充要性，对
复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样；对一些概念的等价表达式要熟知。比如：
( ) ； 是 纯 虚 数 （ ）
；
【变式1-2】求当实数 取何值时，复数 分别是：
（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数。
【解析】
（1）当 即 或 时，复数 为实数；
（2）当 即 且 时，复数 为虚数；
{ 2
m −m−2=0¿¿¿¿
（3）当 即 时，复数 为纯虚数.
z
【变式1-3】已知复数 满足 且 ,则复数z2 +1（ ）
A.必为纯虚数 B.是虚数但不一定是纯虚数C.必为实数 D.可能是实数也可能是虚数
【答案】
[法1] 设 （ ），有 , .
则 ，故应选C。
[法2] ∵ ,∴ .
[法3] ∵ ，∴ .
考点二：复数相等
【例2】复数z＝ ＋(10-a2)i，z＝
1 2
若 是实数，求实数a的值.
【点拨】 是实数，将 化简成a+bi形式可得。
【解析】
∵ 是实数，
∴a2＋2a-15＝0，解得a＝-5或a＝3.
又(a＋5)(a-1)≠0，∴a≠-5且a≠1，故a＝3.
【总结】两个复数相等，a+bi=c+di .
【变式2-1】已知集合M=｛（a+3）+（b2-1）i,8｝,集合N=｛3，（a2-1）+(b+2)｝同时满足M∩N M，M∩N≠Φ，求整数a,b
【点拨】先判断两集合元素的关系，再列方程组，进而解方程组，最后检验结果是否符合
条件。
【解答】
…………………………①
或 …………………………………………②
或 …………………………③
由①得a=-3,b=±2,经检验，a=-3,b=-2不合题意，舍去。∴a=-3，b=2
由②得a=±3, b=-2.又a=-3,b=-2不合题意，∴a=3,b=-2;
由③得 ,此方程组无整数解。
综合①②③得a=-3，b=2或a=3,b=-2。
【总结】
1、a+bi=c+di .
2、利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。解题时要把等号两边的复数化为标准的
代数形式。
注：对于复数z，如果没有给出代数形式，可设z= a+bi(a,b∈R)。
【变式2-2】已知复数z 满足(z -2)(1+i)=1-i(i为虚数单位)，复数z 的虚部为2，且
1 1 2
z·z 是实数，求z.
1 2 2
【解析】设 z=a+2i(a∈R)，由已知复数 z 满足(z-2)(1+i)=1-i,得 z=2-i，又已知
2 1 1 1
z·z=(2-i)·(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i是实数，则虚部4-a=0，即a=4，则复数z=4+2i.
1 2 2
【变式2-3】实数m分别取什么数值时？复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
(1)与复数2－12i相等；
(2)与复数12＋16i互为共轭复数；
(3)对应的点在x轴上方．
【点拨】利用复数相等定义。
【解析】(1)根据复数相等的充要条件得解之得m＝－1.
(2)根据共轭复数的定义得
解之得m＝1.
(3)根据复数z对应点在x轴上方可得m2－2m－15＞0，
解之得m＜－3或m＞5.
【总结】利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。解题时要把等号两边的复数化为
标准的代数形式。对于复数z，如果没有给出代数形式，可设z= a+bi(a,b∈R)。
考点三：复数的代数形式的四则运算
【例3】计算：
【点拨】复数除法通常上下同乘分母的共轭复数。
【解析】
【总结】复数除法关键是把分母实数化，通常上下同乘分母的共轭复数，利用 进行
运算。
2+2i
8
( )
1−√3i
【变式3-1】
1+i
8
( )
1 √3
− + i
2 2
【答案】：原式=[(1+i) 2 ] 4 (2i) 4
= =
1 √3 1 √3 1 √3
[(− + i) 3 ] 2 ⋅(− + i) 2 − − i
2 2 2 2 2 2
1 √3
16⋅(− + i)
2 2 −8+8√3i
¿ =
1 √3 1 √3 1 3
(− − i)(− + i) +
2 2 2 2 4 4
¿−8+8√3i
(1−4i)(1+i)+2+4i
【变式3-2】计算：计算
3+4i
【点拨】复数除法通常上下同乘分母的共轭复数。
(1−4i)(1+i)+2+4i
3+4i
【解析】
【总结】复数除法关键是把分母实数化，通常上下同乘分母的共轭复数，利用
进行运算。
【变式3-3】
【解析】原式=
1i2 i10 12i
【总结】复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求z时要注意是把z看作一个整体
还是设为代数形式应用方程思想；当z是实数或纯虚数时注意常见结论的应用.
【变式3-4】已知z ，z 为复数，(3＋i)z 为实数， 且|z |＝ 求z .
1 2 1 2 2
【点拨】可不设代数形式利用整体代换的思想求解.
z ＝z (2＋i)，(3＋i)z ＝z (2＋i)(3＋i)＝z (5＋5i)∈R，
1 2 1 2 2∵|z |＝
2
∴|z (5＋5i)|＝50，
2
∴z (5＋5i)＝±50，
2
【总结】
1、(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分
母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.
(2)记住以下结论，可提高运算速度：
2
①(1±i) =±2i；
4n 4n+1 4n+2 4n+3
⑤i =1，i =i，i =-1，i =-i(n∈N).
2、复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位 i的看作一类同类项，不
含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算
过程中，要熟透i的特点及熟练应用运算技巧。
考点四：复数的几何意义
z
【例4】已知复数 ( )，若 所对应的点在第四象限，
求 的取值范围.
z
【点拨】 在复平面内以点 表示复数 （ ）， 所对应的点在第四
z
象限等价于 的实部大于零而虚部小于零。
【解析】∵
{ 2
3m −5m+2>0¿¿¿¿
∴ ，解得 .∴ 的取值范围为 .
【总结】每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，
有唯一的一个复数和它对应。
【变式4-1】已知复数 ，
，在复平面内对应的点分别为 .
(1)若 是纯虚数，求m值；
(2)若 在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围.
z
【点拨】在复平面内以点 表示复数 （ ）， 所对应的点在第四
z
象限等价于 的实部大于零而虚部小于零。
【解析】(1) 复数 是纯虚数，
解得m=0.
(2) 复数 在复平面内对应的点位于第四象限
解之得
【总结】每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，
有唯一的一个复数和它对应。
【变式4-2】已知 是复数， 和 均为实数，且复数 对应的点在第一象
限，求实数 的取值范围。
【答案】：设 ( )
∴ ，由题意得 ，，由题意得 ，
∴
∵ ，
根据已知条件有 ，解得 ，
∴实数 的取值范围是 .
考点五：化复数问题为实数问题
【例5】已知 互为共轭复数，且 ,求 .
【点拨】设 （ ）代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得 、 的
两个方程。
【 解 析 】 设 （ ） ， 则 , 代 入 原 等 式 得 ：
{ 2
4a =4 ¿¿¿¿ {a=1¿¿¿¿ {a=1¿¿¿¿ {a=−1¿¿¿¿ {a=−1¿¿¿¿
∴ ，解得： 或 或 或 ，
{x=1+i¿¿¿¿ {x=1−i¿¿¿¿ {x=−1+i¿¿¿¿ {x=−1−i¿¿¿¿
∴ 或 或 或 。
【总结】
复数定义：“形如 （ ）的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这样，求
一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实；设出复数的代数形式，把复
数问题转化为实数问题来研究是解决复数问题的常用方法。
【变式5-1】求使关于 的方程 至少有一个实根的实数 .
【点拨】 根的判别式只适用实系数的一元二次方程，虚系数有实根用两复数相等，化虚为实。
【解析】设 为方程的一个实根，则有
即
{x 2 + mx +2=0¿¿¿¿
0 0
∴ ，解得 .
【总结】设出实根，化虚为实，再利用两复数相等。
【变式5-2】已知 ，方程 的两根为 、 ，求 .
【答案】：∵ ，∴ 方程的实系数一元二次方程可以用 来判定方程有无实根。
(1)当 ，即 时，方程的根 、 为实数根，
{α+β=−2，¿¿¿¿
由韦达定理
又∵
|α|+|β|= √ (|α|+|β|) 2 = √α2 +β2 +2|α|⋅|β|
∴
①当 时， ,
②当 时， .
−1±√a−1i
(2)当 ,即 时，方程的根 、 为虚根 。
【易错易错】
易错一.复数的有关概念
1．若z＝（3﹣i）（a+2i）（a R）为纯虚数，则z＝（ ）
∈A． B．6i C． D．20
【解析】解：z＝（3﹣i）（a+2i）＝3a+2+（6﹣a）i，
∵z＝（3﹣i）（a+2i）（a R）为纯虚数，
∴3a+2＝0，且6﹣a≠0，∈
得a ，此时z i，
故选：C．
2．已知i是虚数单位，若z（1+3i）＝i，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：由z（1+3i）＝i，得 ，
∴z的虚部为 ．
故选：A．
3．已知复数 （i虚数单位），则z （ ）
A． B．2 C．1 D．
【解析】解：由题意知 ，
利用性质 ，得z 2，
故选：B．
4．若 b+2i，其中a，b R，i是虚数单位，则a+b的值（ ）
∈
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【解析】解：∵ ai﹣1＝b+2i，其中a、b R，i是虚数单位，
∈
∴a＝﹣2，b＝﹣1
∴a+b＝﹣3．
故选：A．
5．设复数z满足z ，则|z|＝（ ）
A．1 B． C． D．2
【解析】解：z ，
故|z|＝1，
故选：A．
易错二.复数的几何意义
1．已知i是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】解：由 ，
则复数 在复平面内对应的点的坐标为：（﹣1，﹣1），位于第三象限．
故选：C．
2．设i是虚数单位， 的复数z的共轭复数，z＝1+2i，则复数z+i• 在复平面内对应的点位
于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】解：∵z＝1+2i，
∴z+i• 1+2i+i（1﹣2i）＝1+2i+i+2＝3+3i．∴复数z+i• 在复平面内对应的点的坐标为（3，3），位于第一象限．
故选：A．
3．设a R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝（ ）
∈
A．0 B．﹣1 C．1 D．
【解析】解：∵复数（1+i）（a+i）＝（a﹣1）+（a+1）i在复平面内对应的点位于实轴
上，
∴a+1＝0，即a＝﹣1．
故选：B．
4．已知复数z＝3+4i3，则z的共轭复数 在复平面内对应的点位于第 象限．
【解析】解：∵z＝3+4i3＝3﹣4i，
∴ ，
则复数 在复平面内对应的点的坐标为（3，4），位于第一象限．
故答案为：一．
5．在复平面内，O是坐标原点，向量 对应的复数是﹣2+i，若点A关于实轴的对称点为
点B，则向量 对应的复数的模为 ．
【解析】解：∵向量 对应的复数是﹣2+i，∴A（﹣2，1），
又点A关于实轴的对称点为点B，∴B（﹣2，﹣1）．
∴向量 对应的复数为﹣2﹣i，该复数的模为|﹣2﹣i| ．
故答案为： ．
易错三.复数的指数幂运算1．若复数z （i为虚数单位），则复数 在复平面上对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】解：∵z 1+i，
∴ 1﹣i，
∴复数 在复平面对应的点的坐标是（﹣1，﹣1）；
∴它对应的点在第三象限，
故选：C．
2．已知a为实数，若复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则 的值为（ ）
A．1 B．0 C．1+i D．1﹣i
【解析】解：复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，可得a＝1，
1﹣i．
故选：D．
3．已知复数z （其中i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
【解析】解：z 1﹣i，
则z的虚部为﹣1，
故选：A．
4．已知复数z满足z•i2020＝1+i2019（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
【解析】解：∵i4＝1，
∴i2020＝i4×505＝1，i2019＝i4×504+3＝﹣i，则z•i2020＝1+i2019化为z＝1﹣i，
∴z的虚部为﹣1．
故选：A．
5．设i是虚数单位，则复数z＝（ ）2013＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
【解析】解：∵ ，
∴z＝（ ）2013＝i2013＝（i2）1006•i＝i．
故选：D．
易错四.待定系数在复数中的应用——最值问题
1．若复数z满足3z 4+2i，则z＝（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
【解析】解：设z＝a+bi（a，b R），
∈
则3z 3（a+bi）+a﹣bi＝4a+2bi＝﹣4+2i，
∴ ，即a＝﹣1，b＝1．
∴z＝﹣1+i．
故选：D．
2．设复数z满足z2＝3+4i（i是虚数单位），则z的模为（ ）
A．25 B．5 C． D．2+i
【解析】解：法一、设z＝a+bi（a，b R），
由z2＝3+4i，得（a+bi）2＝a2﹣b2+2ab∈i＝3+4i，
∴ ，解得 或 ．
∴ ．故选：C．
法二、由z2＝3+4i，得 ，
则|z| ．
故选：C．
3．设复数z满足|z |＝1，|z |＝2，z +z ＝﹣1 i，则|z ﹣z |＝ ．
1 2 1 2 1 2
【解析】解：设z ＝a+bi，z ＝c+di，（a，b，c，d为实数），
1 2
因为复数z满足 ，
所以 且a2+b2＝1，c2+d2＝4，
所以a2+c2+2ac+b2+d2+2bd＝4，
即2ac+2bd＝﹣1，
则|z ﹣z | ．
1 2
故答案为： ．
4．已知z C，且|z|＝1，则|z﹣2﹣2i|（i为虚数单位）的最小值是（ ）
∈
A．2 1 B．2 1 C． D．2
【解析】解：∵|z|＝1且z C，作图如图：
∵|z﹣2﹣2i|的几何意义为单∈ 位圆上的点M到复平面上的点P（2，2）的距离，
∴|z﹣2﹣2i|的最小值为：|OP|﹣1＝2 1．
故选：A．5．设复数z ，z 满足|z ﹣1|＝1，|z +3i|＝2，则|z ﹣z |的最大值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．3+2 B．2 C．3 D．6
【解析】解：因为|z ﹣1|＝1，|z +3i|＝2，
1 2
所以z ，对应的点在以A（1，0）为圆心，以1为半径的圆上，z 对应的点在以B（0，﹣
1 2
3）为圆心，以2为半径的圆上，
则|z ﹣z |的几何意义是两圆上点的距离，
1 2
则则|z ﹣z |的最大值为AB+1+2＝3 3 ．
1 2
故选：C．
【巩固提升】
1.互为共轭复数的两复数之差是( )
A、实数 B、纯虚数
C、0 D、零或纯虚数
【答案】D
【解析】选D.设互为共轭复数的两个复数分别为z=a+bi, =a-bi(a、b∈R)，则z- =2bi
或 -z=-2bi.
∵b∈R,当b≠0时，z- , -z为纯虚数；当b=0时，z- = -z=0.故选D.2.若 ( ， 为虚数单位)，则 的值分别等于( )
A.3,-2 B.3,2 C.3,-3 D.-1,4
【答案】A
【解析】由 可得 故选Ａ.
3. a为正实数，i为虚数单位， =2,则a=( )
A、2 B、 C、 D、1
【答案】选B.
【解析】因为 故可化为|1-ai|=2,又由于a为正实数，所以1+a2=4,得a= ,故
选B.
4.在复平面内，复数 所对应的点位于（ ）
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
【答案】选B
【解析】 所对应点为 位
于第二象限
5.i为虚数单位， =________.
【答案】0
【解析】 =-i+i-i+i=0.
6.已知复数z满足（1+i）z=2,则z=_____.
【答案】1-i【解析】由已知得
7.已知A(1，2)，B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是复平面上的四点，且向量 对
应的复数分别为z,z.
1 2
(1)若z+z=1+i,求
1 2
(2)若z+z 为纯虚数，z-z 为实数，求a、b.
1 2 1 2
【解析】(1)∵ =(a,1)-(1,2)=(a-1,-1),
=(-1,b)-(2,3)=(-3,b-3),
∴z=(a-1)-i,z=-3+(b-3)i,
1 2
∴z+z=(a-4)+(b-4)i,
1 2
又z+z=1+i,∴
1 2
∴z=4-i,z=-3+2i,
1 2
(2)由(1)得z+z=(a-4)+(b-4)i,
1 2
z-z=(a+2)+(2-b)i,
1 2
∵z+z 为纯虚数，z-z 为实数，
1 2 1 2
∴
8.设z∈C，解方程z-2|z|=-7+4i.
【解析】设z=x+yi, x∈R, y∈R,(x+yi)−2√x2 +y2 =−7+4i
则原方程为 ，
(x−2√x2 +y2 )+yi=−7+4i
即 ，
{ √ 2 2
x−2 x + y =−7 ¿ ¿¿¿
∴ ，
5
z= +4i或z =3+4i
3
即(3x-5)(x-3)=0, ∴ 。
9.要使复数 为纯虚数，其中实数a是否存在？若存在，求出
a的值，若不存在，说明理由。
a2 +2a−15
【解析】要使复数z为纯虚数，必须
a2 −a−6=0
且
a2 −4
¿０，
(a−3)(a+2)=0 a=3或a =2
即 ，解得
a2 +2a−15
但是，当
a=3
时
a2 −4
＝０此时z不是纯虚数
a2 +2a−15
当
a=−2
时,
a2 −4
无意义
所以不存在实数a使z为纯虚数。
