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专题 5.7 一元一次方程（4 大知识点 16 类题型）（全章知识梳理与
题型分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点1】一元一次方程的概念
1．方程：含有未知数的等式叫做方程．
2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1，这样的方程叫做一元一次方
程．
【要点提示】判断是否为一元一次方程，应看是否满足：
①只含有一个未知数，未知数的次数为1；
②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．
3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．
4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．
【知识点2】等式的性质
等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．
【知识点3】一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．
(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．
(4)合并同类项：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为 ax＝b(a≠0)的
形式．
b
x
a
(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解 (a≠0)．
(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值
不相等，则不是方程的解．【知识点4】用一元一次方程解决实际问题的常见类型
1.行程问题：路程＝速度×时间
2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价
4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
abcd a103b102 c10d
5.数字问题：多位数的表示方法：例如： .
知识点与题型目录
【考点一】一元一次方程的概念
【题型1】方程及方程的解.....................................................3
【题型2】利用等式基本性质进行判断...........................................3
【题型3】利用等式基本性质求天平中砝码的质量与个数...........................4
【考点二】解一元一次方程
【题型4】一元一次方程的同解原理.............................................4
【题型5】一元一次方程中的错解问题...........................................5
【题型6】一元一次方程中的遮挡问题...........................................5
【题型7】一元一次方程中分子与分母含小数问题.................................5
【题型8】一元一次方程中有解、无解、无数解问题...............................6
【题型9】一元一次方程中的整数解问题.........................................6
【题型10】解含绝对值的一元一次方程..........................................6
【题型11】用整体思想解一元一次方程..........................................7
【题型12】一元一次方程中大数据问题..........................................8
【题型13】一元一次方程中规律问题............................................8
【题型14】含参一元一次方程的解总是一个常数问题..............................8
【考点三】实际问题与一元一次方程
【题型15】列一元一次方程解决分数问题........................................9
【题型16】列一元一次方程解决利润问题.......................................10
第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】方程及方程的解
【例1】（23-24七年级上·湖南怀化·期末）已知关于x的方程 是一元一次方程．
(1)求m的值；
(2)已知： 是该一元一次方程的解，求n的值．
【变式1】（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）有一列方程：
第1个方程是 ，解为 ；
第2个方程是 ，解为 ；
第3个方程是 ，解为 ；
第4个方程是 ，解为 ；
……
根据以上规律，若第n个方程 的解为 ，则a的值为（ ）
A．41 B．42 C．43 D．44
【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）若a是方程的解 ，则代数式 的值
为 ．
【题型2】利用等式基本性质进行判断
【例2】（23-24七年级上·安徽池州·期末）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【变式1】（24-25七年级上·北京·期中）下列各等式中变形正确的是（ ）
A．如果 ，那么
B．如果 ，那么
C．如果 ，那么
D．如果 ，那么【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列各变形中：
①由 ，可得到后 ；
②由 ，可得到 ；
③由 ，可得到 ；
④由 ，可得到 ．其中一定正确的有 （填序号）．
【题型3】利用等式基本性质求天平中砝码的质量与个数
【例3】（2024七年级上·江苏·专题练习）已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，
如图所示．根据砝码显示的质量，求〇 g，□= g．
【变式1】（2023七年级上·全国·专题练习）“△〇□”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天
平保持了平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放〇的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】（22-23七年级下·河北沧州·期末）嘉淇利用砝码和自制天平做一个物理实验，估测物体质量，
有两种不同质量的物体 、 ，同种物体的质量都相等，下面两个天平中右边都比左边低，天平中砝码
的质量如图所示， 的质量可能为（ ）
A．25 B．21 C．20 D．19
【题型4】一元一次方程的同解原理
【例4】（2024七年级上·全国·专题练习）如果方程 的解与方程 的
解相同，求式子 的值．【变式1】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于 的方程 的解比关于 的
方程 的解大 ，求 的值．
【变式2】（23-24六年级下·上海·期中）当 时，关于 的方程 和方程
的解相同．
【题型5】一元一次方程中的错解问题
【例5】（23-24七年级下·四川眉山·期中）关于x的一元一次方程 ，王小明在去分母时，
方程右边的 的项没有乘以6，因而求得的解是 ．试求a的值，并求出原方程的正确解．
【变式1】（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）已知方程 ，小王正确解得 ．小李由于粗
心，把b看作6，解得 ．试求 的值．
【变式2】（23-24七年级下·四川遂宁·阶段练习）小马虎在解关于 的方程 去分母时，
方程右边的“ ”没有乘以6，最后他求得方程的解为3．则方程正确的解为（ ）
A． B． C． D．
【题型6】一元一次方程中的遮挡问题
【例6】（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）整式 ，其中整式 的系数■被污染．
（1）若■是 ，则化简 的结果是 ．
（2）若 时， 的值为19，则原式中■的值是 ．
【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）方程 中被阴影盖住的部分是一个常数，
且此方程的解是 ，求这个常数．
【变式2】（22-23七年级上·河北张家口·期末）嘉嘉在解关于 的一元一次方程 时，发现常
数“ ”被污染了．
（1）若嘉嘉猜“ ”是 ，则原方程的解为 ，
（2）老师说：“此方程的解是正整数且常数 为正整数”，则被污染的常数“ ”是 ．
【题型7】一元一次方程中分子与分母含小数问题【例7】（2024·浙江杭州·一模）某同学解方程 的过程如下框：
解：
两边同时乘以10，得 ……
①
合并同类项，得 ……②
系数化1，得 ……③
请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程．
【变式1】（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程：
【变式2】（22-23七年级上·辽宁铁岭·期末）解方程：
(1) (2)
【题型8】一元一次方程中有解、无解、无数解问题
【例8】（23-24六年级下·上海·期中）解关于 的方程： ．
【变式1】（19-20七年级上·四川绵阳·期中）若关于x的方程 有无数解，则3m+n的值为
；
【变式2】（20-21六年级下·黑龙江大庆·期末）关于x的方程2a （x+5）＝3x+1无解，则a＝ ．
【题型9】一元一次方程中的整数解问题
【例9】（23-24七年级下·河南新乡·期中）在关于x的一元一次方程 中，m是正整数．
(1)当 时，求方程的解；
(2)若方程有正整数解，求m的值．
【变式1】（22-23七年级上·广东惠州·阶段练习）已知关于 的方程 有整数解，则正整数 的
值为（ ）
A． B． 或
C． 或 或 D． 或 或 或
【变式2】（2024七年级·全国·竞赛）已知关于 的方程 有
整数解，且 是整数，求 的值．【题型10】解含绝对值的一元一次方程
【例10】（2022七年级上·全国·专题练习）我们已经知道“非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值
等于它的相反数”，利用这个知识可以解含有绝对值的方程，如：解方程 ．
解：当 时， ，方程化为 ，解得 （符合题意）；
当 时， ，方程化为 ，解得 （符合题意）．
方程 的解为 或 ．
（1）方程 的解为 ；
（2）方程 的解为 ．
【变式1】（20-21七年级·全国·假期作业）方程|2x﹣1|＝4x+5的解是（ ）
A．x＝﹣3或x＝﹣ B．x＝3或x＝
C．x＝﹣ D．x＝﹣3
【变式2】（22-23七年级上·全国·单元测试）当 时，关于x的方程 的解的情况是（
）
A．方程只有1个解 B．方程有2个解
C．方程有无数个解 D．方程无解
【题型11】用整体思想解一元一次方程
【例11】（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）方程 可以有多种不同的
解法，观察此方程，设 ．
(1)原方程可变形为 ，解方程得： ，从而可得 ．
(2)上述解法所用到的数学思想是 ．
(3)利用上述方法解方程：
【变式1】（23-24七年级上·山东潍坊·期末）数学李老师让同学们解方程 ．小
亮认为“方程两边有分母，应该先去分母”，小颖认为“方程中有 及 ，且互为相反数，应
该用整体思想求解”．请你分别用小亮、小颖的方法求解该方程．
【变式2】（21-22七年级上·云南昆明·期中）在解一元一次方程时，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果．例如，在解方程 时，把 看作一个整体．
令 ，得： ，
去括号，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ，
故 ，解得 ．
阅读以上材料，请用同样的方法解方程：
【题型12】一元一次方程中大数据问题
【例12】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）已知关于 的一元一次方程 的解为
，求关于 的一元一次方程 的解．
【变式1】（2024七年级·全国·竞赛）关于 的一元一次方程 的
解（ ）．
A．是一个大于 小于 的数 B．是一个大于 的数
C．是一个大于 小于 的数 D．不存在
【变式2】（21-22七年级上·江苏南通·阶段练习）已知关于 的一元一次方程 的解为
，那么关于 的一元一次方程 的解为（ ）
A．2013 B． C．2023 D．
【题型13】一元一次方程中规律问题
【例13】（21-22七年级上·北京·期中）我们知道， ， ， ，……因此
关于 的方程 的解是 ；关于 的方程 的解是 （用含 的式子表示）．
【变式1】（21-22八年级上·山东潍坊·期中）方程 的解是x=（ ）．
A． B． C． D．
【变式2】（20-21七年级上·山东德州·阶段练习）方程 + +……+ =2018的解是
．
【题型14】含参一元一次方程的解总是一个常数问题
【例14】（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）若不论k取什么数，关于x的方程
（a、b是常数）的解总是 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如果m，n为常数，关于x的方程
，无论k为何值，方程的解总是 ，则 ．
【变式2】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于 的一元一次方程 的解为
，则关于 的一元一次方程 的解为 ．
【题型15】列一元一次方程解决分数问题
【例15】（24-25七年级上·吉林白城·阶段练习）人数2024版初中数学七年级上册7页，可以写成分数形
式的数称为有理数．例如： ， ，我们知道分数 可以写成小数 ，
反过来，无限循环小数 可以写成分数 ，一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．无限
循环小数 为例进行探究：
设 …﹐
两边同乘以10得： ，即 ，解得
∴ ，因此， 是有理数．(1)无限循环小数 写成分数为__________．
(2)试说明无限循环小数 是一个有理数
(3)大小比较： ____ ．（选填“ ”“ ”或“ ”）
(4)无限循环小数 写成分数．（直接写出答案）
【变式1】（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）阅读下面“将无限循环小数化为分数”材料，并解决
相应问题：
我们知道分数 写为小数形式即为0.3，反之，无限循环小数0.3写成分数形式即 ，一般地，任何一个
无限循环小数都可以写成分数形式吗?如果可以，应怎样写呢?
【发现】以无限循环小数 为例进行讨论．
设 ，由 …可知， …，即 ．解得 ．于是
【解决问题】请你把无限小数 写成分数形式，即 （ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级上·福建福州·期中）仔细阅读下列材料．
“分数均可化为有限小数成无限循环小数”，反之，“有限小数或无限循环小数均可化为分数，”那么
怎么化为 ？
解、不妨设 ……，则 ……
，
解得 即
根据以上材料，回答下列问题
(1)将“分数化为小数”， ______， ______；
(2)将“小数 和小数 化为分数”，需要写出推理过程．
【题型16】列一元一次方程解决利润问题
【例16】（2024七年级上·全国·专题练习）小明今年4月份两次同时购进了A、B两种不同单价的坚果，第一次购买A种坚果的数量比B坚果的数量多50%，第二次购买A坚果的数量比第一次购买A坚果的数
量少60%，结果第二次购买坚果的总数比第一次购买坚果的总数量多20%，若第二次购买坚果的总费用比
第一次购买坚果的总费用少 （两次购买A，B两种坚果的单价不变），求B种坚果与A种坚果单价的
比值．
【变式1】（22-23七年级上·重庆巴南·开学考试）某公园淡季的门票价是60元，比旺季门票便宜20%．
这个公园旺季时门票票价多少元？下面四位同学想法，其中错误的是（ ）．
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24七年级下·山西临汾·期末）“五一”期间，利民商场开展特价优惠活动，某品牌护眼
灯的原价为320元/台，现价为240元/台，按现价出售后仍可获利 ，则该品牌护眼灯的进价为多少？
设该品牌护眼灯的进价为 元/台，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（21-22七年级上·广东广州·开学考试）足球友谊比赛的票价是50元，赛前一小时还有余票，
于是决定降价，结果售出的票比之前增加了三分之一，而票房收入比之前增加了四分之一，那么每张票
售价降了 元．
