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专题 6-3 方程思想解题技巧（考题猜想，10 种技巧）
技巧1：方程思想在证三角形形状中的应用
【例题1】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习） 的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判断
是直角三角形的为（ ）
A． B．
C． D．【变式1】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）在 中，给出以下4个条件：
① ；② ；③ ；④ ．
从中任取一个条件，可以判定出 是直角三角形的有 ．（填序号）
【变式2】（22-23八年级下·山东德州·阶段练习）如图，在 中， ， ， 是 的垂
直平分线，交 于点D，交 于点E， 于点F．
(1)若 ，求 的长；
(2)若 ，求证： 为直角三角形．
【变式3】（22-23八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴，
轴分别相交于 两点， ， ，直线 与直线 交于点 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)判断 的形状，并说明理由；
(3)动点 在直线 上，动点 在直线 上，当以 为顶点的四边形是平行四边形时，求
两点的坐标．
技巧2：方程思想在求阴影部分的面积中的应用
【例题2】（2024春•南宁期中）如图，长方形 中， ， ，将该矩形沿对角线
折叠．
（1）求 的长；
（2）求阴影部分的面积．【变式1】（20-21八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，将矩形 沿对角线 翻折，点 落在点
处， 交 于 ．若 ， ，求图中阴影部分的面积．
【变式2】（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，长方形纸片 的边长 ， ．将矩形纸
片沿 折，A与点C重合，折叠后在其一面着色．
(1)求 的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
【变式3】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，把一张长方形纸片 折叠起来，使其对角顶
点 与 重合， 与 重合，若长方形的长 为8，宽 为4，
(1)求 的长；
(2)求阴影部分的面积．技巧3：方程思想在探究线段相等的条件中的应用
【例题3】（22-23八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，已知在 中， ， ，
， 是 上的一点， ，点 从 点出发沿射线 方向以每秒2个单位的速度向右运动．
设点 的运动时间为 ．过点 作 于点 ．在点 的运动过程中，当 为 时，能使 ．
【变式1】（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知在 中， ， ， ，
是 上的一点， ，点 从 点出发沿射线 方向以每秒3个单位的速度向右运动.设点 的运
动时间为 .过点 作 于点 .在点 的运动过程中，当 为 时，能使 ？
【变式2】（20-21八年级下·湖北武汉·期中）如图，在 ABCD，AB＝2 cm，BC＝16cm，∠A＝45°、点
▱
E从点D出发沿DA边运动到点A，点F从点B出发沿BC边向点C运动，点E运动速度为2cm/s，点F运
动速度为1cm/s，它们同时出发，同时这运动，经过 s时，EF＝AB．
【变式3】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知在 中， ，D
是 上的一点， ，点P从B点出发沿射线 方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运
动时间为t．连接 ．(1)当 时，则 ______；
(2)当 为以 为腰的等腰三角形时，求t的值；
(3)过点D作 于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使 ？
技巧4：方程思想在求线段长中的应用
【例题4】（23-24八年级下·河南商丘·期中）如图，矩形 中， ，点E是 上一点，且
， 的垂直平分线交 的延长线于点F，交 于点H，连接 交 于点G．若G是 的中
点，则 的长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式1】（22-23八年级下·云南昆明·期中）已知等腰 的底边 ， 是腰 上一点，且
， ，则 的长为 ．
【变式2】（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）如图，在四边形 中， ，边 的垂直平分线分别交 ， 于点 ， ．若 ， ， ，求 的长．
【变式3】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知，矩形 中， ， ， 的垂直
平分线 分别交 、 于点 、 ，垂足为 ．
(1)如图，连接 ，求证四边形 的菱形；
(2)求 的长．
技巧5：方程思想在求几何中函数解析式的应用
【例题5】（22-23八年级下·山东滨州·期末）如图，利用一面墙（墙的长度不超过 ），用 长的篱
笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有 宽建造一扇门方便出入（用其他材料）．设 ，矩
形 的面积为 ．(1)请写出 与 之间的函数关系式，并写出 的取值范围：
(2)怎样围才能使矩形场地的面积为 ？
(3)能否使所围矩形场地的面积为 ，若能，请算出此时矩形的长与宽，若不能，请说明理由．
【变式1】（22-23八年级下·福建厦门·期中）如图1，在正方形 （正方形四边相等，四个角均为直
角）中， ，P为线段 上一点，连接 ，过B作 ，交 于点Q，将 沿 所在的
直线对折得到 ，延长 交 于点N．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长；
(3)如图2，延长 交 的延长线于点M，若 ， 的面积为s，求s与x之间的函数
关系式．【变式2】（2023八年级下·上海·专题练习）已知：如图1，梯形 中， ， ，
， ，E是直线 上一点，联结 ，过点E作 交直线 于点F，联结 ，
(1)若点E是线段 上一点（与点A、D不重合），（如图1所示）
①求证： ；
②设 ， 的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域；
(2)直线 上是否存在一点E，使 是 面积的3倍，若存在，直接写出 的长，若不存在，请
说明理由．
【变式3】（2023八年级下·上海·专题练习）已知：如图1，在线段 的同侧作正方形 和正方形
，连接 并延长交 于点M，作 ，垂足为N， 交 于P．设正方形
的边长为1．(1)证明： ；
(2)设 ，四边形 的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
(3)如果按照题设方法作出的四边形 是菱形，求 的长．
技巧6：方程思想在解工程问题中的应用
【例题6】（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工
程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天．设甲工程
小组整修马路 米，乙工程小组整修马路 米，依题意可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米
的河道整治任务，由 、 两个工程小组先后接力完成， 工程小组每天整治12米， 工程小组每天整治
8米，共用时20天，设 工程小组整治河道 米， 工程小组整治河道 米，依题意可列方程组
．
【变式2】（22-23八年级下·吉林·期末）为了推进乡村振兴发展，某地决定对A，B两村之间的公路进行
改造，并由甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工2天，
乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后，因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直
到公路修通．甲、乙两个工程队修筑公路的长度y（米）与甲工程队施工时间x（天）之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)乙工程队每天修路___米，甲工程队每天修路___米，a的值为___，b的值为___；
(2)直接写出：甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式；
(3)求乙工程队修公路的长度y（米）与甲工程队施工时间x（天）之间的函数关系式；
(4)若该项工程由甲、乙两工程队从开始就合作施工，直到任务完成，直接写出：完成任务所需的时间．
【变式3】（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）某地计划修建一条长48千米的乡村公路，已知甲工程队
修路的速度是乙工程队修路速度的 倍，乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天．
(1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米?
(2)已知甲工程队修路费用为20万元/千米，乙工程队修路费用为15万元/千米．甲工程队先单独修路若干
天后，接到其它任务需要离开，剩下的工程由乙工程队单独完成．若要使修路总时间不超过55天，总费用
低于820万元，且甲工程队所修路程需为整数，请问共有几种修路方案?哪种方案最省钱?技巧7：方程思想在解实际等距问题中的应用
【例题7】（21-22八年级下·河南安阳·阶段练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，
DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，
使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（ ）
A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定
【变式1】（22-23八年级下·河南郑州·期中）如图，在笔直的铁路上A，B两点相距 ，C、D为两村
庄， ， ， 于点A， 于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D
两村到E站的距离相等，求 km．
【变式2】（22-23八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，公路上A、B两站相距25km，在公路 附近有
C、D两所学校， 于点A， 于点B．已知 ，现要在公路上建设一
个青少年活动中心E，要使得C、D两所学校到E的距离相等，则E应建在距点A多远处？
【变式3】（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，直线 为一条公路， ， 处有两个村庄， 于
点 ， 于点 ， 千米， 千米， 千米．现需要在 上建立一个物资调运站 ，使得 到 ， 两个村庄距离相等，请求出此时 到 的距离．
技巧8：方程思想在求平面直角坐标系中函数解析式的应用
【例题8】（2024春•越秀区校级期中）星期六小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一
段时间，小明所走的路程 （米 与所用时间 （分 之间的关系如图所示．
（1）小明休息前爬山的平均速度和休息后爬山的平均速度各是多少？
（2）求小明休息后爬山中 与 之间的函数关系式，并计算经过80分钟小明爬山所走的路程．
【变式1】（22-23八年级下·北京海淀·阶段练习）“白银 号”种子的价格是 元 ，如果一次性购买
以上的种子，则超过 部分的种子价格打折 购买种子所需的付款金额 单位：元 与购买量 单
位： 之间的函数关系如图所示：
(1)根据图象，写出当购买种子超过 时，付款金额 单位：元 关于购买量 单位： 的函数解析式；
(2)若购买 的种子，求付款金额；
(3)当顾客付款金额为 元时，求此顾客购买了多少种子．【变式2】（22-23八年级下·吉林长春·期中）某人需要经常去复印资料．甲复印社直接按每次印的张数计
费，乙复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费、两复印社每月的收费情况如图所示，根据图中提
供的信息解答下列问题；
(1)乙复印社要求客户每月支付的会员费是______元．
(2)求出乙复印社收费y（元）关于复印量x（页）的函数解析式．
(3)当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同？
(4)如果每月复印210页，应选择哪家复印社？
【变式3】（22-23八年级下·山东德州·阶段练习）某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民
用水价格，图中 ， 分别表示去年、今年水费 （元）与用水量 之间的关系．
(1)分别写出 ， 的函数解析式．
(2)小雨家去年用水量为140立方米，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多多少元？技巧9：方程思想在求实际问题中最值的应用
【例题9】（23-24八年级上·内蒙古包头·期中）某单位准备和甲乙两个出租公司中的一家签订租车合同，
设汽车每月行驶x千米，每月应付给甲公司的费用为 元，付给乙公司的费用为 元， 、 与x的关系
如图，若该单位每月行驶的路程为 ，为了使费用最少，则应选择（ ）
A．甲公司 B．乙公司 C．甲乙都一样 D．无法确定
【变式1】．（2024春•锦江区校级期中）随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为
人们喜爱的交通工具．某汽车销售中心决定采购 型和 型两款新能源汽车，已知每辆 型汽车进价是每
辆 型汽车进价的1.5倍，若用300万元购进 型汽车的数量比用240万元购进 型汽车的数量少2辆．
（1）每辆 型和 型汽车的进价分别为多少万元？
（2）该汽车销售中心购进 型和 型汽车共20辆，且 型汽车的数量不超过 型汽车的数量的2倍．已
知 型汽车的售价为35万元， 型汽车的售价为23万元．如何制定进货方案，可以使得销售中心利润最
大，请求出最大利润和此时的购进方案．
【变式2】（23-24八年级下·福建·期中）为全面贯彻党的教育方针，保障学生每天在校1小时体育活动时
间，某校讦划采购部分篮球和足球，已知1个篮球和2个足球共140元，2个篮球和1个足球共130元．
(1)求篮球，足球的单价分别是多少元；
(2)该校需购买篮球和足球一共100个，且足球的数量不少于篮球数量的 ，那么购买篮球和足球各多少个
时花费最少？
【变式3】（23-24八年级上·山东烟台·期中）2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲了，
精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某单位为满足学生的需求，充实物理小组的实验项目，需要
购买甲、乙两款物理实验套装． 经了解，每款甲款实验套装的零售价比乙款实验套装的零售价多7元，该
单位以零售价分别用750元和540元购买了相同数量的甲、乙两款物理实验套装．
(1)甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为多少元？
(2)由于物理兴趣小组人数增加，该单位需再次购买两款物理实验套装共200个，且甲款实验套装的个数不少于乙款实验套装的个数的一半，由于购买量大，甲乙两款物理实验套装分别获得了20元/每个、15元/每
个的批发价． 求甲、乙两款物理实验套装分别购买多少个时，所用资金最少．
技巧10：方程思想在求统计中“三数”的应用
【例题1】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）一组数据5，3， ，4，9的平均数为5，则这组数据的
众数和中位数分别是（ ）
A．3，4 B．3，3 C．4，3 D．4，4
【变式1】（23-24八年级上·山东济南·期中）数据2， ，4，2，8，5的平均数为6，这组数据的极差为
．
【变式2】（22-23八年级下·吉林白山·期末）某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：10，10，12，x，
8．已知这组数据的平均数是10，求这组数据的方差？
【变式3】（22-23八年级下·江西南昌·期末）如果一组数据2，3，3，5，x的平均数为4．
(1)求x的值；
(2)求这组数据的众数．
