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专题 6-3 方程思想解题技巧（考题猜想，10 种技巧）
技巧1：方程思想在证三角形形状中的应用
【例题1】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习） 的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判断
是直角三角形的为（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【分析】本题考查了勾股逆定理以及三角形内角和性质，据此逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、设 ，则
解得 ，则 ，故该选项是符合题意的；
B、因为 ，所以 ，解得 ，故该选项是不
符合题意的；
C、设 ，则 ，即 ，所以 是直角三角形，故
该选项是不符合题意的；
D、因为 ，所以 是直角三角形，该选项是不符合题意的；
故选：A
【变式1】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）在 中，给出以下4个条件：
① ；② ；③ ；④ ．
从中任取一个条件，可以判定出 是直角三角形的有 ．（填序号）
【答案】①②③
【分析】由 可直接得出 是直角三角形，可判断①；由 ，结合三角形内角和定
理可求出 ，得出 是直角三角形，可判断②；由 ，可设 ，则 ，
，根据勾股定理逆定理即可证明 是直角三角形，可判断③；由 ，可设
，则 ， ，结合三角形内角和定理可求出 ，从而即可证明，可判断④．
【详解】解：① 可直接得出 是直角三角形；
②∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故 是直角三角形；
③∵ ，故可设 ，则 ， ，
又∵ ，即 ，
∴ 是直角三角形；
④∵ ，故可设 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ， ， ，
∴ 不是直角三角形．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查直角三角形的定义，三角形内角和定理，勾股定理逆定理．熟练掌握以上知识点是解题
关键
【变式2】（22-23八年级下·山东德州·阶段练习）如图，在 中， ， ， 是 的垂直平分线，交 于点D，交 于点E， 于点F．
(1)若 ，求 的长；
(2)若 ，求证： 为直角三角形．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）连接 ，根据 是 的垂直平分线，求出 ，设 ，则 ，
根据勾股定理得出 ，即 ，求出x的值；
（2）设 ，则 ， ，根据勾股定理得出 ，
取出 ，得出 ，根据 ，得出 为直角三角形．
【详解】（1）解：连接 ，如图所示：
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中 ，
即 ，
解得： ，
∴ ．
（2）证明：∵ 是 的垂直平分线，
∴设 ，则 ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及直角三角形
的等面积法，熟知相关知识是解决本题的关键
【变式3】（22-23八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴，
轴分别相交于 两点， ， ，直线 与直线 交于点 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)判断 的形状，并说明理由；
(3)动点 在直线 上，动点 在直线 上，当以 为顶点的四边形是平行四边形时，求
两点的坐标．
【答案】(1)
(2) 是直角三角形
(3)
【分析】（1）根据题意得到 ，代入直线 ，进行计算即可得到答案；
（2）联立 可求得 ，根据两点间的坐标公式可得 ，再根据
勾股定理的逆定理进行判断即可得到答案；
（3）设 ，而 ，分三种情况：当以 为对角线时，则
的中点重合；当以 为对角线时，则 的中点重合；当以 为对角线时，则的中点重合，根据平行四边形的性质，分别进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解： ， ，
，
将 代入直线 ，
得， ，
解得： ，
直线 的解析式为： ；
（2）解：联立得， ，
解得： ，
，
，
，
为直角三角形；
（3）解：设 ，而 ，
当以 为对角线时，则 的中点重合，
，
解得： ，
，此时 与 重合，不符合题意，
当以 为对角线时，则 的中点重合，，
解得： ，
，此时 与 重合，不符合题意，
当以 为对角线时，则 的中点重合，
，
解得： ，
，
综上所述，当以 为顶点的四边形是平行四边形时， ．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、解二元一次方程组、勾股定
理的逆定理、两点间的距离公式等知识，熟练掌握平行四边形的性质、解二元一次方程组、勾股定理的逆
定理、两点间的距离公式等知识，是解题的关键
技巧2：方程思想在求阴影部分的面积中的应用
【例题2】（2024春•南宁期中）如图，长方形 中， ， ，将该矩形沿对角线
折叠．
（1）求 的长；
（2）求阴影部分的面积．
【分析】（1）首先证明 △ ，进而得到 为等腰三角形，设 ，则
．勾股定理得 ，进一步解答即可；
（2）直接利用三角形面积计算公式 代入数据解答即可．
【解答】解：（1） 四边形 为长方形，
， ．
又 ，△
．
为等腰三角形；
设 ，则 ．
在 中，由勾股定理得 ，
解得 ，
的长为15；
（2）由（1）得 ，
．
【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的
判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图
形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
【变式1】（20-21八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，将矩形 沿对角线 翻折，点 落在点
处， 交 于 ．若 ， ，求图中阴影部分的面积．
【答案】10
【分析】利用折叠的性质可得出 ， 的值及 ，由 ，可得出 ，
进而可得出 ，设 ，则 ，在 中，利用勾股定理可求出 的值，再利用三角
形的面积公式即可求出答案．
【详解】解：由折叠的性质，可知： ， ， ， ．
，
，
，
．
设 ，则 ．
在 中， ， ， ， ，
，
，
图中阴影部分的面积 ．【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及三角形的面积，利用勾股定理求出 的长是
解题的关键．
【变式2】（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，长方形纸片 的边长 ， ．将矩形纸
片沿 折，A与点C重合，折叠后在其一面着色．
(1)求 的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是翻折变换（折叠问题），勾股定理，三角形的面积，熟记各性质并利用勾股定理列
出方程是解题的关键．
（1）根据图形折叠的性质及矩形的性质可知 ，设 ，故
， ，在 中，利用勾股定理即可求解；
（2）利用（1）中的结论用矩形 的面积减去 的面积即可得出结论．．
【详解】（1）解：由折叠的性质及矩形的性质可知 ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
∴ 的长为 ；
（2）解：由（1）知： ，
，
，由翻折变换的性质可得： ，
∴图中阴影部分的面积
．
∴图中阴影部分的面积为 ．
【变式3】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，把一张长方形纸片 折叠起来，使其对角顶
点 与 重合， 与 重合，若长方形的长 为8，宽 为4，
(1)求 的长；
(2)求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理
等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键．
（1）设 ，则 ，在 中，根据 构建方程即可解决问题；
（2）过 点作 于 ，根据三角形面积不变性， ，求出 的长，根据三角
形面积公式计算即可．
【详解】（1）设 ，则 ，
在 中， ，
所以 ，
解得： ，
即 ，
（2）过点 作 于 ，则 ，， ， ，
所以
所以 ，
所以 ．
技巧3：方程思想在探究线段相等的条件中的应用
【例题3】（22-23八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，已知在 中， ， ，
， 是 上的一点， ，点 从 点出发沿射线 方向以每秒2个单位的速度向右运动．
设点 的运动时间为 ．过点 作 于点 ．在点 的运动过程中，当 为 时，能使 ．
【答案】5或11/11或5
【分析】根据动点运动的不同位置根据角平分线的判定，以及全等三角形的判定和性质，勾股定理即可求
解．
【详解】解：①点 在线段 上时，过点 作 于 ，如图1所示：
则 ，
，
∵ ，
平分 ， ，
，又 ，
，
，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ；
②点 在线段 的延长线上时，过点 作 于 ，如图2所示：
同①得： ， ，
，
，
，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ．
综上所述，在点 的运动过程中，当 的值为5或11时，能使 ．
故答案为：5或11．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的判定，以及全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是
动点运动到不同位置形成不同的直角三角形
【变式1】（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知在 中， ， ， ，
是 上的一点， ，点 从 点出发沿射线 方向以每秒3个单位的速度向右运动.设点 的运
动时间为 .过点 作 于点 .在点 的运动过程中，当 为 时，能使 ？【答案】 或6/6或2
【分析】根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．
【详解】解：①点 在线段 上时，过点 作 于 ，如图1所示：
则 ，
，
平分 ，
，
又 ，
（AAS）,
， ，
，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ；
②点 在线段 的延长线上时，过点 作 于 ，如图2所示：
同①得： (AAS)，
， ，
，，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ．
综上所述，在点 的运动过程中，当 的值为5或11时，能使 ．
故答案为： 或6 ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的直角三角形
【变式2】（20-21八年级下·湖北武汉·期中）如图，在 ABCD，AB＝2 cm，BC＝16cm，∠A＝45°、点
▱
E从点D出发沿DA边运动到点A，点F从点B出发沿BC边向点C运动，点E运动速度为2cm/s，点F运
动速度为1cm/s，它们同时出发，同时这运动，经过 s时，EF＝AB．
【答案】4或
【分析】分两种情况：①四边形ABFE是平行四边形；②四边形ABFE是等腰梯形；根据长度之间的等量
关系列出方程求解即可．
【详解】解：如图，过点B作BG⊥AD于G，
∵AB＝2 cm，∠A＝45°，BG⊥AD，
∴BG＝AG＝2（cm），
设经过ts时，EF＝AB，
当四边形ABFE是平行四边形时，
∴BF＝AE，
∴t＝16﹣2t，
∴t＝ ，
当四边形ABFE是等腰梯形，∴t+2×2＝16﹣2t，
∴t＝4，
综上所述：经过4或 s时，EF＝AB，
故答案为4或 ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰梯形两腰相等的性质，解决本题的关键是要熟练掌握
平行四边形的性质
【变式3】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知在 中， ，D
是 上的一点， ，点P从B点出发沿射线 方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运
动时间为t．连接 ．
(1)当 时，则 ______；
(2)当 为以 为腰的等腰三角形时，求t的值；
(3)过点D作 于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使 ？
【答案】(1)20
(2)t的值16或5
(3) 或11
【分析】（1）利用勾股定理进行求解即可．
（2）分 ， 两种情况进行讨论求解即可；
（3）分点P在C点的左侧和点 在 点的右侧，两种情况，进行求解即可．
【详解】（1）当 时，如图：
由题意，得： ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，∴ ，即： ，
解得： ，
∴ ；
故答案为：20．
（2）①当 时，如图
∵
∴ ，
∴ ；
②若 ，则 ，
在直角三角形 中， ，
∴
解得： ；
综上所述：t的值16或5；
（3）∵ ，
∴ ，
①若P在C点的左侧，则 ，
∴ ．
又 ， ，且 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
则 ，
解得： ；
②若P在C点的右侧，则 ，
∴ ，
同法可得： ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
综上所述： 或11．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关知识点，利用
数形结合和分类讨论的思想，进行求解
技巧4：方程思想在求线段长中的应用
【例题4】（23-24八年级下·河南商丘·期中）如图，矩形 中， ，点E是 上一点，且
， 的垂直平分线交 的延长线于点F，交 于点H，连接 交 于点G．若G是 的中
点，则 的长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】过点E作 于点P，证明四边形 和四边形 为矩形，得出 ，
，根据证明 ，得出 ，又 垂直平分 ，得出 ，令 ，
则 ，进而 ， ， ，在 中，
，进行求解即可．
【详解】解：过点E作 于点P，在矩形 中
， ，
∴四边形 和四边形 为矩形，
又 ， ，
∴ ， ，
∵G是 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
令 ，则 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴
解得 ．
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理以及全等三角形的判定和性质，解决
本题的关键是作辅助线构造直角三角形求边长
【变式1】（22-23八年级下·云南昆明·期中）已知等腰 的底边 ， 是腰 上一点，且
， ，则 的长为 ．【答案】 /
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关
键．根据勾股定理的逆定理得出 ，设 ，在 中，由勾股定理建立方程，解
方程即可求解．
【详解】设 ，
， ， ，
∴ ，
，即 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即 ．
故答案为：
【变式2】（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）如图，在四边形 中， ，边 的垂
直平分线分别交 ， 于点 ， ．若 ， ， ，求 的长．
【答案】 ．
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理．由 是 的垂直平分线得到 ．设
，分别在 和 中，利用勾股定理表示出 和 ，从而列出方程，求出 的值．
【详解】解：连接 ， ，
垂直平分 ，
．
设 ，
在 和 中， ，
，
解得 ，【变式3】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知，矩形 中， ， ， 的垂直
平分线 分别交 、 于点 、 ，垂足为 ．
(1)如图，连接 ，求证四边形 的菱形；
(2)求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据全等推出 ，得出平行四边形 ，根据菱形判定推出即可；
（2）根据菱形性质得出 ，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质的
应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，用了方程思想．
【详解】（1）证明： 四边形 是矩形，
，
，
的垂直平分线 ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形．
（2）解： 四边形 是菱形，
，
设 ，则 ， ，
四边形 是矩形，，
在 中，由勾股定理得： ，
解得 ，
即 ．
技巧5：方程思想在求几何中函数解析式的应用
【例题5】（22-23八年级下·山东滨州·期末）如图，利用一面墙（墙的长度不超过 ），用 长的篱
笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有 宽建造一扇门方便出入（用其他材料）．设 ，矩
形 的面积为 ．
(1)请写出 与 之间的函数关系式，并写出 的取值范围：
(2)怎样围才能使矩形场地的面积为 ？
(3)能否使所围矩形场地的面积为 ，若能，请算出此时矩形的长与宽，若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)长为 ，宽为
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）利用矩形的面积等于长乘宽，列出解析式即可；
（2）令 ，解一元二次方程求解即可；
（3）令 ，计算一元二次方程的判别式判断求解即可．
【详解】（1）根据题意可得，
；
（2）∵
令 ，即 ，
解得： ， ．
墙的长度不超过 ，
不合题意，应舍去．
当 时， ．
所以，当所围矩形的长为 宽为 时，能使矩形的面积为 ．（3）不能．理由如下：
∵
令 ，即 ．
，
．
上述方程没有实数根．
因此，不能使所围矩形场地的面积为 ．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解一元二次方程以及判别式的应用，根据题意，正确的求出二次
函数的解析式，是解题的关键
【变式1】（22-23八年级下·福建厦门·期中）如图1，在正方形 （正方形四边相等，四个角均为直
角）中， ，P为线段 上一点，连接 ，过B作 ，交 于点Q，将 沿 所在的
直线对折得到 ，延长 交 于点N．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长；
(3)如图2，延长 交 的延长线于点M，若 ， 的面积为s，求s与x之间的函数
关系式．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据 证明 ，可得出结论；
（2）连接 ，证明 ，可得 ，设 ，则 ，可得
，则 ，答案求出；
（3）过Q点作 于G，得 ， ．设 ，则 ，得出 ．根据 可求出答案．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 于△BCQ中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由翻折可知， ，
连接 ，在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
根据勾股定理得， ，
∴ ，
即 ．
（3）解：过Q点作 于G，由（1）知 ， ．设 ，则 ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称
的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题
【变式2】（2023八年级下·上海·专题练习）已知：如图1，梯形 中， ， ，
， ，E是直线 上一点，联结 ，过点E作 交直线 于点F，联结 ，
(1)若点E是线段 上一点（与点A、D不重合），（如图1所示）
①求证： ；
②设 ， 的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域；
(2)直线 上是否存在一点E，使 是 面积的3倍，若存在，直接写出 的长，若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)①证明见解析；② （ ）；
(2)D 或 、或 ．
【分析】（1）①在 上截取 ，联结 ，易得 ， ， ，从而
得到 ，即可得到证明；②根据 ，得到 ，根据勾股定理得到 ，即可得到答案；
（2）分点E在线段 上，点E在线段 延长线上，点E在线段 延长线上三类讨论根据面积等量关
系式列方程求解即可得到答案；
【详解】（1）①在 上截取 ，联结 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）①当点E在线段 上时，
∵ ， 是 面积的3倍，
∴ ，解得： （负值舍去），
∴ ；②当点E在线段 延长线上时，延长 到G，使得 ，联结 ，
则 是等腰直角三角形．
由（1）可得 ，
∴ ，
，
∵ ，又 ，
∴ ，解得： ，
∴ ；
③当点E在线段 延长线上时，延长 到G，使得 ，联结 ，
则 是等腰直角三角形．
由（1）可得 ，
∴ ，
，
∵ ，又 ，
∴ ，解得： （负值舍去），
∴ ；
综上所述，当 是 面积的3倍时， 的长为 或
或 ；
【点睛】本题综合性较强，主要考察全等三角形的构造方法和梯形的性质运用，注意对点在直线上的准确
理解，要分多种情况进行讨论
【变式3】（2023八年级下·上海·专题练习）已知：如图1，在线段 的同侧作正方形 和正方形
，连接 并延长交 于点M，作 ，垂足为N， 交 于P．设正方形
的边长为1．(1)证明： ；
(2)设 ，四边形 的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
(3)如果按照题设方法作出的四边形 是菱形，求 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ；
(3)
【分析】（1）根据四边形 是正方形，可得 ，同理 再求证四边形 是
矩形，然后即可判定 ；
（2）根据正方形 ，从而可得 ，然后根据 即可求解；
（3）由已知易得四边形 是平行四边形，要使四边形 是菱形则 ，可得 ．
【详解】（1）证明：∵正方形 ，
∴ ， ，
同理 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，垂足为N，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ；
（2）解：∵正方形 ，
∴ ，
∴ ，
从而 ，
∴ ；（3）解：由已知易得 ， ，
∴四边形 是平行四边形，
要使四边形 是菱形，则 ，
∴ ，
解得 ，
∴ 时四边形 是菱形．
【点睛】此题主要考查正方形的性质，根据实际问题列二次函数关系式，全等三角形的判定与性质，矩形
的判定与性质、菱形的性质等知识点的理解和掌握，综合性较强
技巧6：方程思想在解工程问题中的应用
【例题6】（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工
程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天．设甲工程
小组整修马路 米，乙工程小组整修马路 米，依题意可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的
关键．
根据题意，找到两个等量关系：甲工程小组整修马路的长度 乙工程小组整修马路的长度 米，甲工
程小组整修马路的天数 乙工程小组整修马路的天数 天，由此列出方程组，得到答案．
【详解】解：根据题意，
设甲工程小组整修马路 米，乙工程小组整修马路 米，
依题意可列方程组：
，
故选：
【变式1】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米
的河道整治任务，由 、 两个工程小组先后接力完成， 工程小组每天整治12米， 工程小组每天整治
8米，共用时20天，设 工程小组整治河道 米， 工程小组整治河道 米，依题意可列方程组
．
【答案】
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据河道总长为180米和 、 两个工程队共用时20天这两个等量关系列出方程，组成方程组即可求解．
【详解】解：设 工程小组整治河道 米， 工程小组整治河道 米，
依题意可得： ．
故答案为：
【变式2】（22-23八年级下·吉林·期末）为了推进乡村振兴发展，某地决定对A，B两村之间的公路进行
改造，并由甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工2天，
乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后，因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直
到公路修通．甲、乙两个工程队修筑公路的长度y（米）与甲工程队施工时间x（天）之间的函数关系如图
所示，请根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)乙工程队每天修路___米，甲工程队每天修路___米，a的值为___，b的值为___；
(2)直接写出：甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式；
(3)求乙工程队修公路的长度y（米）与甲工程队施工时间x（天）之间的函数关系式；
(4)若该项工程由甲、乙两工程队从开始就合作施工，直到任务完成，直接写出：完成任务所需的时间．
【答案】(1)180，90，360，900
(2)
(3)
(4)6（天）
【分析】（1）根据函数图象即可求解；
（2）根据函数图象中的数据运用待定系数法即可求解；
（3）根据函数图象中的数据运用待定系数法即可求解；
（4）根据前三问求出公路总长即可解答．
【详解】（1）解：根据函数图象可得乙工程队每天修路 （米），
∵当修了a（米）时，乙工程队用了2天，甲工程队用了4天，
∴甲工程队每天修路 （米），
∴ ， ，
故答案为：180，90，360，900；（2）解：设甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为 ，将
点 代入得 ，
∴甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为 ；
（3）解：设乙工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为 ，
将点 ， 代入得：
，
解得： ，
∴乙工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为 ；
（4）解：公路总长为 （米），
甲、乙两工程队从开始就合作施工，每天修路 （米），
∴需要 （天）．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用等知识点，解题的关键是熟练掌握以
上知识点并灵活运用
【变式3】（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）某地计划修建一条长48千米的乡村公路，已知甲工程队
修路的速度是乙工程队修路速度的 倍，乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天．
(1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米?
(2)已知甲工程队修路费用为20万元/千米，乙工程队修路费用为15万元/千米．甲工程队先单独修路若干
天后，接到其它任务需要离开，剩下的工程由乙工程队单独完成．若要使修路总时间不超过55天，总费用
低于820万元，且甲工程队所修路程需为整数，请问共有几种修路方案?哪种方案最省钱?
【答案】(1)甲工程队每天修路 千米，乙工程队每天修路 千米
(2)共有8种修路方案，甲工程队修路12千米，乙工程队修路36千米最省钱
【分析】（1）设乙工程队每天修路 千米，则甲工程队每天修路 千米，利用工作时间 工作总量 工
作效率，结合乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天，可得出关于 的分式方程，解
之经检验后可得出乙工程队每天修路的长度，再将其代入 中，即可求出甲工程队每天修路的长度；
（2）设甲工程队修路 千米，则乙工程队修路 千米，根据“要使修路总时间不超过55天，且总费
用低于820万元”，可得出关于 的一元一次不等式组，解之即可得出 的取值范围，结合 为整数，可
得出共有8种修路方案，设修路的总费用为 万元，利用修路的总费用 甲工程队修每千米路的费用 甲
工程队修路的长度 乙工程队修每千米路的费用 乙工程队修路的长度，可得出 关于 的函数关系式，
再利用一次函数的性质，即可找出最省钱的修路方案．
【详解】（1）解：设乙工程队每天修路 千米，则甲工程队每天修路 千米，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，．
答：甲工程队每天修路 千米，乙工程队每天修路 千米；
（2）设甲工程队修路 千米，则乙工程队修路 千米，
根据题意得： ，
解得： ，
为整数，
共有 （种）修路方案．
设修路的总费用为 万元，则 ，
即 ，
，
随 的增大而增大，
又 ，且 为整数，
当 时， 取得最小值，此时 ．
答：共有8种修路方案，最省钱的修路方案为：甲工程队修路12千米，乙工程队修路36千米．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出 关于 的函数关系式
技巧7：方程思想在解实际等距问题中的应用
【例题7】（21-22八年级下·河南安阳·阶段练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，
DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，
使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（ ）
A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定
【答案】B
【分析】设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，利用勾股定理得到 ，则
，解方程即可．
【详解】解：设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，
∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等，∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得：x＝16，
则煤栈E应距A点16km．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到 是解题的关键
【变式1】（22-23八年级下·河南郑州·期中）如图，在笔直的铁路上A，B两点相距 ，C、D为两村
庄， ， ， 于点A， 于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D
两村到E站的距离相等，求 km．
【答案】 / /
【分析】设 ，即可得到 ，结合 于点A， 于B根据勾股定理列式
求解即可得到答案；
【详解】解：设 ，则 ，
∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∵C、D两村到E站的距离相等，
∴ ，解得： ，
故答案为： ；
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据相等列等式求解
【变式2】（22-23八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，公路上A、B两站相距25km，在公路 附近有
C、D两所学校， 于点A， 于点B．已知 ，现要在公路上建设一
个青少年活动中心E，要使得C、D两所学校到E的距离相等，则E应建在距点A多远处？
【答案】【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键．
先根据垂直的定义可得 ，再根据勾股定理可得 ， ，从而
可得 ，设 ，则 ，据此建立方程，解方程即可得．
【详解】
解：∵使得 两村到 站的距离相等，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
答： 站应建在离 站 处
【变式3】（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，直线 为一条公路， ， 处有两个村庄， 于
点 ， 于点 ， 千米， 千米， 千米．现需要在 上建立一个物资调运站 ，
使得 到 ， 两个村庄距离相等，请求出此时 到 的距离．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设 ，则 ，由 根据勾股定理可得关于
的方程，解方程即得结果．
【详解】设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ 到 的距离为 千米
技巧8：方程思想在求平面直角坐标系中函数解析式的应用
【例题8】（2024春•越秀区校级期中）星期六小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一
段时间，小明所走的路程 （米 与所用时间 （分 之间的关系如图所示．
（1）小明休息前爬山的平均速度和休息后爬山的平均速度各是多少？
（2）求小明休息后爬山中 与 之间的函数关系式，并计算经过80分钟小明爬山所走的路程．
【分析】（1）根据函数图象可知，小明 40分钟爬山 2800米， 分钟休息， 分钟爬山
米，爬山的总路程为3800米，
（2）设小明休息后爬山中 与 之间的函数关系式为 ，把 ， 代入，求出
和 的值，得出 与 的函数解析式，将 代入进行计算即可．
【解答】解：（1）小明休息前爬山的平均速度是 （米 分），
小明休息后爬山的平均速度是 （米 分），
（2）设小明休息后爬山中 与 之间的函数关系式为 ，
把 ， 代入得：
，
解得： ，
，
当 时， ，
即经过80分钟小明爬山所走的路程是3300米．【点评】本题考查了函数图象，求一次函数解析式，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题
的关键．
【变式1】（22-23八年级下·北京海淀·阶段练习）“白银 号”种子的价格是 元 ，如果一次性购买
以上的种子，则超过 部分的种子价格打折 购买种子所需的付款金额 单位：元 与购买量 单
位： 之间的函数关系如图所示：
(1)根据图象，写出当购买种子超过 时，付款金额 单位：元 关于购买量 单位： 的函数解析式；
(2)若购买 的种子，求付款金额；
(3)当顾客付款金额为 元时，求此顾客购买了多少种子．
【答案】(1)
(2)购买 的种子，付款金额为 元
(3)当顾客付款金额为 元时，此顾客购买了 种子
【分析】（1）根据图像可知： 和 坐标，设解析式为 ，运用待定系数法求解即
可；
（2）根据（1）中解析式当 时代入求解即可；
（3）根据图像可知当顾客付款金额为 元时，购买数量大于 ，根据（1）中解析式，令 ，
代入求解即可．
【详解】（1）解：当 时，
由图象可知 是 的一次函数，且过点 和 ，
设 ，
则 ，
解得： ，
；
（2）根据 ，
当 时， ，
，
购买 的种子，付款金额为 元；（3）根据图像可知当顾客付款金额为 元时，购买数量大于 ，
由 ，
令 时，则 ，
解得： ，
当顾客付款金额为 元时，此顾客购买了 种子．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，理解题意，找到数量关系是解决问题的关键
【变式2】（22-23八年级下·吉林长春·期中）某人需要经常去复印资料．甲复印社直接按每次印的张数计
费，乙复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费、两复印社每月的收费情况如图所示，根据图中提
供的信息解答下列问题；
(1)乙复印社要求客户每月支付的会员费是______元．
(2)求出乙复印社收费y（元）关于复印量x（页）的函数解析式．
(3)当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同？
(4)如果每月复印210页，应选择哪家复印社？
【答案】(1)18；
(2)乙复印社收费情况 关于复印页数 的函数解析式为 ；
(3)当每月复印150页时，两复印社实际收费相同；
(4)当 时，选择乙复印社．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以直接写出乙复印社要求客户每月支付的承包费是多少元；
（2）先设出乙复印社一次函数解析式，用待定系数法可以求得，再说明一次项系数的实际意义；
（3）先求得甲复印社对应的函数关系式，然后令两个解析式的函数值相等，即可求得当复印多少页时，
两复印社实际收费相同；
（4）将 代入（2）（3）中的函数解析式，然后比较它们的大小，即可解答本题．
【详解】（1）由图可知，
乙复印社要求客户每月支付的承包费是18元；
故答案为：18；
（2）设乙复印社收费情况 关于复印页数 的函数解析式为 ，
把 和 代入解析式，
得： ，解得： ，
乙复印社收费情况 关于复印页数 的函数解析式为 ；
（3）由（1）知，甲复印社收费情况 关于复印页数 的函数解析式为 ，
令 ，
解得， ，
答：当每月复印150页时，两复印社实际收费相同；
（4）当 时，
甲复印社的费用为： （元 ，
乙复印社的费用为： （元 ，
，
当 时，选择乙复印社．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想
解答
【变式3】（22-23八年级下·山东德州·阶段练习）某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民
用水价格，图中 ， 分别表示去年、今年水费 （元）与用水量 之间的关系．
(1)分别写出 ， 的函数解析式．
(2)小雨家去年用水量为140立方米，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多多少元？
【答案】(1) ，
(2)水费比去年多180元
【分析】（1）根据函数图象，分别利用待定系数法求解即可；
（2）将 分别代入 和 ，求出对应的y的值，然后计算即可．
【详解】（1）解：设直线 的解析式为 ，
代入 得： ，
解得： ，
∴ ；
当 时，设直线 对应的解析式为 ，代入 得： ，
解得： ，
∴此时解析式为 ，
当 时，设直线 对应的解析式为 ，
代入 ， 得： ，
解得： ，
∴此时解析式为 ，
∴ ；
（2）将 代入 得： ，
将 代入 得： ，
（元），
答：水费比去年多180元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键
技巧9：方程思想在求实际问题中最值的应用
【例题9】（23-24八年级上·内蒙古包头·期中）某单位准备和甲乙两个出租公司中的一家签订租车合同，
设汽车每月行驶x千米，每月应付给甲公司的费用为 元，付给乙公司的费用为 元， 、 与x的关系
如图，若该单位每月行驶的路程为 ，为了使费用最少，则应选择（ ）
A．甲公司 B．乙公司 C．甲乙都一样 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查的是一次函数的应用，根据图中信息用待定系数法求出函数解析式，再把
代入解析式求值即可．用待定系数法正确求出函数解析式是解题的关键．
【详解】解：设 与x的函数解析式为 ，
把 代入解析式得： ，
解得： ，与x的函数解析式为 ；
设 与x的函数解析式为 ，
把 和 代入解析式得：
，解得： ，
与x的函数解析式为 ，
当 时， ， ，
，
，
应选乙公司，
故选：B．
【变式1】．（2024春•锦江区校级期中）随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为
人们喜爱的交通工具．某汽车销售中心决定采购 型和 型两款新能源汽车，已知每辆 型汽车进价是每
辆 型汽车进价的1.5倍，若用300万元购进 型汽车的数量比用240万元购进 型汽车的数量少2辆．
（1）每辆 型和 型汽车的进价分别为多少万元？
（2）该汽车销售中心购进 型和 型汽车共20辆，且 型汽车的数量不超过 型汽车的数量的2倍．已
知 型汽车的售价为35万元， 型汽车的售价为23万元．如何制定进货方案，可以使得销售中心利润最
大，请求出最大利润和此时的购进方案．
【分析】（1）设每辆 型汽车的进价为 万元，则每辆 型汽车的进价为 万元，根据“用300万元
购进 型汽车的数量比用240万元购进 型汽车的数量少2辆”列分式方程，解分式方程即可求解；
（2）设购进 型汽车 辆，则 型汽车 辆，由 型汽车的数量不超过 型汽车数量的2倍可得
的取值范围；求得总利润的表达式再结合一次函数的增减性计算求值即可．
【解答】解：（1）设每辆 型汽车的进价为 万元，则每辆 型汽车的进价为 万元，
依题意得 ，
解得 ，
经检验， 是方程的解，且符合题意，
，
答：每辆 型汽车的进价为20万元，则每辆 型汽车的进价为30万元；
（2）设购进 型汽车 辆，售完这20辆汽车的总利润为 万元，
根据题意得购进 型汽车 辆，型汽车的数量不超过 型汽车数量的2倍，
，
解得 ，
总利润 ，
比例系数 ，
随 的增大而增大，
又 为正整数，
当 时， 有最大值，最大值为 ，
此时 型汽车的数量为 辆，
答：该销售中心购进 型汽车13辆， 型汽车7辆，才能使售完这20辆汽车的总利润最大，最大利润是
86万元．
【点评】本题考查了分式方程、一元一次不等式和一次函数的实际应用，解答本题的关键是找准等量关系，
列出方程．
【变式2】（23-24八年级下·福建·期中）为全面贯彻党的教育方针，保障学生每天在校1小时体育活动时
间，某校讦划采购部分篮球和足球，已知1个篮球和2个足球共140元，2个篮球和1个足球共130元．
(1)求篮球，足球的单价分别是多少元；
(2)该校需购买篮球和足球一共100个，且足球的数量不少于篮球数量的 ，那么购买篮球和足球各多少个
时花费最少？
【答案】(1)每个篮球的价格为40元，每个足球的价格为50元
(2)足球购买20个，篮球购买80个时，总费用最少
【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
（1）设篮球的单价为 元，足球的单价为 元，可得 ，即可解得答案；
（2）设购买 个足球，根据足球的数量不少于篮球数量的 得： ，求出 ，而总费用
，根据一次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：设篮球的单价为 元，足球的单价为 元，
根据题意得： ，
解得 ，
每个篮球的价格为40元，每个足球的价格为50元；
（2）解：设购买 个足球，则购买 个篮球，购买足球和篮球总花费为 元，根据题意得： ，
解得 ，
，
，
随 的增大而增大，
当 时， 取最小值，
∴ ，
足球购买20个，篮球购买80个时，总费用最少
【变式3】（23-24八年级上·山东烟台·期中）2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲了，
精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某单位为满足学生的需求，充实物理小组的实验项目，需要
购买甲、乙两款物理实验套装． 经了解，每款甲款实验套装的零售价比乙款实验套装的零售价多7元，该
单位以零售价分别用750元和540元购买了相同数量的甲、乙两款物理实验套装．
(1)甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为多少元？
(2)由于物理兴趣小组人数增加，该单位需再次购买两款物理实验套装共200个，且甲款实验套装的个数不
少于乙款实验套装的个数的一半，由于购买量大，甲乙两款物理实验套装分别获得了20元/每个、15元/每
个的批发价． 求甲、乙两款物理实验套装分别购买多少个时，所用资金最少．
【答案】(1)甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为25元，18元
(2)甲、乙两款物理实验套装分别购买67个，133个时，所用资金最少
【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一次函数的实际应用．
（1）设乙款物理实验套装的零售价每个为x元，根据题意列出分式方程，解分式方程即可求解．
（2）设购买甲款物理实验套装m个，则购买乙款物理实验套装 个，所用金额为y元，先求出m
的取值范围，然后列出y关于m的一次函数，根据一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设乙款物理实验套装的零售价每个为x元，由题意得：
解得
经检验， 是所列方程的根，
∴
答：甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为25元，18元．
（2）设购买甲款物理实验套装m个，则购买乙款物理实验套装 个，所用金额为y元，由题意得：
解得：
，∵ ，
∴y随m的增大而增大，
∴ 时，y取最小值，此时 （个），
答：甲、乙两款物理实验套装分别购买67个，133个时，所用资金最少
技巧10：方程思想在求统计中“三数”的应用
【例题1】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）一组数据5，3， ，4，9的平均数为5，则这组数据的
众数和中位数分别是（ ）
A．3，4 B．3，3 C．4，3 D．4，4
【答案】D
【分析】本题考查平均数与众数、中位数的意义，求一组数据的平均数，由一组数据5，3， ，4，9的平
均数为5，求得x的值，再求出这组数据的众数和中位数即可．
【详解】解：数据5，3， ，4，9的平均数为5，即 ，
得 ，
所以此组数据为：3，4，4，5，9，
可得众数和中位数分别为：4、4，
故选：D
【变式1】（23-24八年级上·山东济南·期中）数据2， ，4，2，8，5的平均数为6，这组数据的极差为
．
【答案】13
【分析】考查了平均数和极差公式，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中
的最大值减去最小值，由平均数公式求出 ，再根据极差的公式：极差 最大值 最小值求解即可．
【详解】解:根据题意得：
解得：
极差： ，
故答案为13
【变式2】（22-23八年级下·吉林白山·期末）某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：10，10，12，x，
8．已知这组数据的平均数是10，求这组数据的方差？
【答案】1.6
【分析】根据平均数的计算公式先求出 的值，再代入方差 ，进行计
算即可．
【详解】解：∵这组数据的平均数是10，
∴ ，
解得： ，
则这组数据的方差是： ．【点睛】本题考查了方差，一般地设 个数据， ， ，… 的平均数为 ，则方差
，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成
立
【变式3】（22-23八年级下·江西南昌·期末）如果一组数据2，3，3，5，x的平均数为4．
(1)求x的值；
(2)求这组数据的众数．
【答案】(1)
(2)众数是3
【分析】（1）根据平均数计算公式进行计算即可；
（2）根据众数的定义进行判断即可．
【详解】（1）解：∵2，3，3，5，x的平均数为4，
∴ ；
（2）解：当 时，这组数据是2，3，3，5，7，
其中3出现了2次，是出现次数最多的，
∴这组数据的众数是3．
【点睛】本题主要考查了平均数和众数，解题的关键是熟练掌握平均数的计算公式和众数的定义
