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专题 6.1 平方根、算术平方根、立方根之八大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 平方根、算术平方根、立方根概念的理解】................................................................................1
【考点二 求一个数的算术平方根、平方根、立方根】................................................................................2
【考点三 利用算术平方根的非负性解题】....................................................................................................3
【考点四 求代数式的平方根】........................................................................................................................4
【考点五 求算术平方根的整数部分与小数部分】........................................................................................6
【考点六 与算术平方根有关的规律探索题】................................................................................................7
【考点七 利用平方根、立方根的定义解方程】..........................................................................................11
【考点八 算术平方根和立方根的综合应用】..............................................................................................12
【过关检测】............................................................................................................................................................15
【典型例题】
【考点一 平方根、算术平方根、立方根概念的理解】
例题：（2023上·陕西西安·八年级校联考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．9的平方根是3 B．负数没有立方根
C． 的平方根是 D． 的算术平方根是2
【变式训练】
1．（2023下·七年级课时练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．8的立方根是±2 B．4的算术平方根是2
C． 的平方根是±3 D．立方根等于它本身的数是±1，0
2．（2023上·浙江杭州·七年级翠苑中学校考期中）下列说法正确的是（ ）
A． 的算术平方根是5 B．3是9的一个平方根
C．负数没有立方根 D．立方根等于它本身的数是0，1【考点二 求一个数的算术平方根、平方根、立方根】
例题：（2023上·甘肃张掖·八年级校考阶段练习） 的立方根是 ，2的算术平方根是
， 的平方根是 ， ．
【变式训练】
1．（2023上·四川成都·八年级校考期中） 的平方根是 ； 的立方根是
．
2．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习） 的算术平方根是 ， ，
的平方根是 .
【考点三 利用算术平方根的非负性解题】
例题：（2023上·四川达州·八年级校考期末）若 为实数，且满足 ，则 的值
是 ；
【变式训练】
1．（2023下·七年级课时练习）已知 ，则 的算术平方根是 .
2．（2023上·河南周口·八年级统考期中）若实数x，y满足 ，则 的立方根是 ．
【考点四 求代数式的平方根】
例题：（2023下·福建莆田·七年级校考期中）已知 的算术平方根是3， 的平方根是 ，c是
的整数部分，求 的平方根．
【变式训练】
1．（2023上·四川宜宾·八年级统考期中）（1）已知正数x的两个平方根分别是 和 ，求 和x的值；
（2）若 ，求 的平方根．
2．（2023下·全国·七年级专题练习）已知 的平方根是 ， 的算术平方根是4．
(1)求a、b的值；
(2)求 的平方根．
【考点五 求算术平方根的整数部分与小数部分】
例题：（2023下·全国·七年级专题练习） 的整数部分是 ．小数部分是 ．
【变式训练】
1．（2023上·浙江湖州·七年级统考期中）如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为
1．
（1）求图甲中阴影正方形的面积和边长；
（2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，
及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）．
解：（1）甲：面积 ______；边长 ______．
（2）乙：边长 ______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______．
【考点六 与算术平方根有关的规律探索题】
例题：（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）先填写表，通过观察后再回答问题：
a … 1 10 10000 …0
… x 1 y 100 …
(1)表格中 _______， ________；
(2)从表格中探究a与 数位的规律，并利用这个规律解决下面问题：已知 ，则
________；
(3)试比较 与a的大小．（提示：在 的前提下分三种况讨论）
【变式训练】
1．（2023上·安徽宿州·八年级校考阶段练习）归纳与探究：
(1)计算： ___________， ， _________，
_____________________，…；
(2)猜想：对于任意实数 一定等于 吗？利用（1）中的计算，你发现 的值等于多少呢？
(3)应用：有理数 在数轴上所对应的点如图所示， 是4平方根．计算：
2．（2023上·河南郑州·八年级郑州中学校考阶段练习）（1）观察被开方数a的小数点与算术平方根 的
小数点的移动规律：
a 0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 x 1 y 100
填空： ， ．
（2）根据你发现的规律填空：①己知 ，则 ， ；
② ，记 的整数部分为x，则 ．
【考点七 利用平方根、立方根的定义解方程】
例题：（2023上·宁夏银川·八年级银川一中校联考期中）解方程
(1) (2)
【变式训练】
1．（2023上·江苏淮安·八年级校考阶段练习）求下列各式中的 的值：
(1) ； (2) ．
2．（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）解方程：
(1) ． (2) ．
【考点八 算术平方根和立方根的综合应用】
例题：（2023上·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）已知 的立方根是 的算术平方根为 ．
(1)分别求 的值；
(2)求 的平方根．【变式训练】
1．（2023下·广东珠海·七年级珠海市文园中学校考期中）已知 的算术平方根是2， 的立方根是
， 的平方根是 ．
(1)求 ， ， 的值；
(2)求 的平方根和立方根．
2．（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）已知 ， 表示 的算术平方根，
， 表示 的立方根．
(1)求m、n的值；
(2)求M和N的值；
(3)求 的平方根．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023上·山东淄博·七年级淄博市淄川实验中学校考阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A． 的平方根是 B． 是81的一个平方根
C． 的算术平方根是 D． 的立方根是
2．（2023下·宁夏银川·八年级校考期末）下列各式中计算正确的是（ ）
A． B． C． D．3．（2023上·陕西西安·七年级统考期末）已知 ， 满足 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·广东揭阳·八年级校考期中）下列计算或命题：① 都是27的立方根；② ；③
的算术平方根是2；④ ；⑤ ，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023上·河北保定·八年级定兴二中校考期中）若 ， ，则 的值为（ ）
A．2或 B． 或1 C．6或0 D．2或
二、填空题
6．（2023上·山东青岛·八年级青岛三十九中校考期中） 的立方根是 ，25的算术平方根是
， 的平方根是 ．
7．（2023下·黑龙江佳木斯·七年级校考期中）已知 ，则 的立方根为 ．
8．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）已知 与 互为相反数， 是 的立方根，
的平方根为 ．
9．（2023下·全国·八年级专题练习）已知 、 、 …则第四个式子
为 ．
10．（2023上·湖北武汉·七年级校联考阶段练习）若 、 都是有理数，定义“ ”如下：
，例如 ．现己知 ，则 的值为 ．
三、解答题
11．（2023上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）求下列各式中x的值：
(1)(2)
12．（2023上·江苏宿迁·八年级南师附中宿迁分校校考期中）（1）已知正数 的平方根分别是 和
2， 的立方根是2，求a、b的值．
（2）已知一个正数x的两个平方根分别是 和 ，求x的值．
13．（2023下·全国·七年级专题练习）已知 ＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是 的整数部分，求
a+b+2c的平方根．
14．（2023上·广东深圳·八年级统考期中）已知 的一个平方根是 ， 的立方根是3；
(1)求 的值；
(2)求 的算术平方根．
15．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）已知一个正数 的两个平方根分别是 和 ．
(1)求 的值；
(2)若 为 的算术平方根， 为 的立方根，求代数式 的值．
16．（2023下·广东广州·七年级广州市南武中学校考期中）对于实数 ，我们规定：用符号 表示不大
于 的最大整数，称 为 的根整数．例如：
， ， ．(1)仿照以上方法计算： _________； _________．
如果我们对 连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次， ，
这时候结果为1．
(2)对290连续求根整数，多少次之后结果为1？
17．（2023上·江苏·八年级专题练习）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
(1) ， ， ，……
， ， ，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．
(2)已知 ， ，则 _____； ______．
18．（2023下·江西南昌·七年级南昌二中校考期末）观察表格，回答问题：
a … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y z …
(1)表格中 ， ； ；
(2)从表格中探究a与 数位的规律，利用这个规律解决下面两个问题：
①已知 ，则 ；
②已知 ，若 ，用含m的代数式表示b，则b＝ ；
(3)试比较 与a的大小．当 时， ；当 时， ；当 时， ．
