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八年级（下）期末数学试卷
一．选择题（共8小题）
1．下列标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列式子从左至右变形不正确的是（ ）
A． ＝﹣ B． ＝ C． ＝ D． ＝
3．以下问题，不适合采用全面调查方式的是（ ）
A．调查全班同学对商丘“京雄商”高铁的了解程度
B．“冠状病毒”疫情期间，对所有疑似病例病人进行病毒检测
C．为准备开学，对全班同学进行每日温度测量统计
D．了解梁园区全体中小学生对“冠状病毒”的知晓程度
4．若 为二次根式，则m的取值范围是（ ）
A．m＜3 B．m≤3 C．m≥3 D．m＞3
5．如果 与 的和等于3 ，那么a的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．下列语句描述的事件中，是随机事件的为（ ）
A．水能载舟，亦能覆舟 B．只手遮天，偷天换日
C．瓜熟蒂落，水到渠成 D．心想事成，万事如意
7．已知反比例函数y＝ ，在下列结论中，不正确的是（ ）
A．图象必经过点（4， ）
B．图象过第一、三象限
C．若x＜﹣1，则y＜﹣6
D．点A（x ，y ）、B（x ，y ）是图象上的两点，x ＜0＜x ，则y ＜y
1 1 2 2 1 2 1 28．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，要判定四边形DBFE
是菱形，下列所添加条件不正确的是（ ）
A．AB＝AC B．AB＝BC C．BE平分∠ABC D．EF＝CF
二．填空题（共8小题）
9．若分式 的值为0，则x＝ ．
10．盒子里有3支红色笔芯，2支黑色笔芯，每支笔芯除颜色外均相同．从中任意拿出一
支笔芯，则拿出红色笔芯的概率是 ．
11．化简：（ +2）（ ﹣2）＝ ．
12．已知 ABCD中，∠C＝2∠B，则∠A＝ 度．
▱
13． 的最简公分母是 ．
14．当m＝ 时，关于x的分式方程 有增根．
15．点A（a，b）是一次函数y＝x+2与反比例函数y＝ 图象的交点，则a2b﹣ab2＝
．
16．如图，反比例函数y＝ 的图象经过 ABCD对角线的交点P，已知点A、C、D在坐标
▱
轴上，BD⊥DC， ABCD的面积为8，则k＝ ．
▱
三.解答题
17.计算：（1）（2 ﹣ ）2；
（2）3 ×（ + ）．
18.解分式方程：
（1） ＝ ；
（2） ﹣1＝ ．
19.先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中x＝2．
20.如图，一次函数y ＝﹣x﹣1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y
1 2
＝ 图象的一个交点为M（﹣2，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当y ＞y 时，求x的取值范围；
2 1
（3）求点B到直线OM的距离．
21.某校积极开展每天锻炼1小时活动，老师对本校八年级学生进行一分钟跳绳测试，并对
跳绳次数进行统计，绘制了八（1）班一分钟跳绳次数的频数分布直方图和八年级其余
班级一分钟跳绳次数的扇形统计图．已知在图 1中，组中值为190次一组的频率为
0.12．（说明：组中值为190次的组别为180≤次数＜200）
请结合统计图完成下列问题：
（1）八（1）班的人数是 ，组中值为110次一组的频率为 ；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）如果一分钟跳绳次数不低于120次的同学视为达标，八年级同学一分钟跳绳的达
标率不低于90%，那么八年级同学至少有多少人？
22.如图在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度．（1）请在所给的网格内画出以线段AB、BC为边的菱形，并完成填空：
点D的坐标是 ，
线段BC的长是 ；
（2）请计算菱形ABCD的面积．
23.如图，在 ABCD中，AC与BD交于点O，且BE＝DF．
（1）求证▱：四边形AECF是平行四边形．
（2）AB⊥AC，AB＝4，AC＝6，当 AECF是矩形时，求BE的值．
▱
24.某校开学初在超市购进A、B两种品牌的消毒液，购买A品牌消毒液花费了2500元，购
买B品牌消毒液花费了2000元，且购买A品牌消毒液数量是购买B品牌消毒液数量的2
倍．已知购买一瓶B品牌消毒液比购买一瓶A品牌消毒液多花30元．
（1）购买一瓶A品牌、一瓶B品牌消毒液各需多少元？
（2）该校为了防疫，决定再次购进A、B两种品牌的消毒液共50瓶，恰逢超市对这两
种品牌消毒液的售价进行调整，A品牌消毒液售价比第一次购买时提高了8%，B品牌消
毒液按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买的总费用不超过 3200元，那
么，最多可以购买多少瓶B品牌消毒液？
25.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A（0，﹣6）、D（﹣3，
﹣7），点B、C在第三象限内．
（1）点B的坐标是 ；
（2）将正方形ABCD以每秒2个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使在第二象限内点B、D两点的对应点B'、D'正好落在某反比例函数的图象上，请求出
此时t的值以及这个反比例函数的解析式；
（3）在（2）的情况下，问：是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得
以P、Q、B'、D'四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的
点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
26.等边△ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边在AD右
侧作等边△ADE，连接CE．
（1）观察猜想：
如图1，当点D在线段BC上时，
AB与CE的位置关系为 ；
①BC、CD、CE之间的数量关系为 ．
②（2）数学思考：
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论 ， 是否仍然成立？若成立，请给予
证明：若不成立，请你写出正确结论再给予证明①． ②
（3）拓展延伸：
当点D在线段BC上时，已知AB＝2，以A、C、D．E为顶点的四边形的面积为
①．
已知AB＝2，当点D在直线CB上运动的过程中，BE的值最小时，DE的长为 ．
②参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．下列式子从左至右变形不正确的是（ ）
A． ＝﹣ B． ＝ C． ＝ D． ＝
【分析】根据分式的基本性质对各个选项进行判断．
【解答】解：A、分子、分母、分式改变其中任何两项的符号，结果不变，故 A正确，
不符合题意；
B、分子、分母、分式改变其中任何两项的符号，结果不变，故B正确，不符合题意；
C、a＝1，b＝2时，此时原式不成立，故C不正确，符合题意；
D、分子、分母都乘以4，值不变，故D正确，不符合题意．
故选：C．
3．以下问题，不适合采用全面调查方式的是（ ）
A．调查全班同学对商丘“京雄商”高铁的了解程度
B．“冠状病毒”疫情期间，对所有疑似病例病人进行病毒检测
C．为准备开学，对全班同学进行每日温度测量统计
D．了解梁园区全体中小学生对“冠状病毒”的知晓程度【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调
查得到的调查结果比较近似解答即可．
【解答】解：A、了解全班同学对商丘“京雄商”高铁的了解程度适合采用全面调查方
式，故不符合题意；
B、冠状病毒”疫情期间，对所有疑似病例病人进行病毒检测适合采用全面调查方式，
故不符合题意；
C、为准备开学，对全班同学进行每日温度测量统计适合采用全面调查方式，故不符合
题意；
D、了解梁园区全体中小学生对“冠状病毒”的知晓程度不适合采用全面调查方式，故
符合题意，
故选：D．
4．若 为二次根式，则m的取值范围是（ ）
A．m＜3 B．m≤3 C．m≥3 D．m＞3
【分析】根据二次根式的定义得出3﹣m≥0，求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵ 为二次根式，
∴3﹣m≥0，
解得：m≤3，
故选：B．
5．如果 与 的和等于3 ，那么a的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵ 与 ＝2 的和等于3 ，
∴ ＝3 ﹣2 ＝ ，
故a+1＝3，
则a＝2．
故选：C．
6．下列语句描述的事件中，是随机事件的为（ ）
A．水能载舟，亦能覆舟 B．只手遮天，偷天换日
C．瓜熟蒂落，水到渠成 D．心想事成，万事如意
【分析】直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、水能载舟，亦能覆舟，是必然事件，故此选项错误；B、只手遮天，偷天换日，是不可能事件，故此选项错误；
C、瓜熟蒂落，水到渠成，是必然事件，故此选项错误；
D、心想事成，万事如意，是随机事件，故此选项正确．
故选：D．
7．已知反比例函数y＝ ，在下列结论中，不正确的是（ ）
A．图象必经过点（4， ）
B．图象过第一、三象限
C．若x＜﹣1，则y＜﹣6
D．点A（x ，y ）、B（x ，y ）是图象上的两点，x ＜0＜x ，则y ＜y
1 1 2 2 1 2 1 2
【分析】直接利用反比例函数的性质进而分析得出答案．
【解答】解：A、反比例函数y＝ ，图象经过点（4， ），故此选项正确；
B、反比例函数y＝ ，图象在第一、三象限，故此选项正确；
C、反比例函数y＝ ，当x＜﹣1时，y＞﹣6，故此选项错误；
D、反比例函数y＝ ，点A（x ，y ）、B（x ，y ）是图象上的两点，x ＜0＜x ，则y
1 1 2 2 1 2 1
＜y ，故此选项正确；
2
故选：C．
8．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，要判定四边形DBFE
是菱形，下列所添加条件不正确的是（ ）
A．AB＝AC B．AB＝BC C．BE平分∠ABC D．EF＝CF
【分析】当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形．根据三角形中位线定理证明即可；当
BE平分∠ABC时，可证BD＝DE，可得四边形DBFE是菱形，当EF＝FC，可证EF＝
BF，可得四边形DBFE是菱形，由此即可判断；【解答】解：当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形；
理由：∵点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∵DE＝ BC，EF＝ AB，
∴DE＝EF，
∴四边形DBFE是菱形．
故B正确，不符合题意，
当BE平分∠ABC时，可证BD＝DE，可得四边形DBFE是菱形，
当EF＝FC，可证EF＝BF，可得四边形DBFE是菱形，
故C、D不符合题意，
故选：A．
二．填空题（共8小题）
9．若分式 的值为0，则x＝ ﹣ 1 ．
【分析】根据分式值为零的条件可得x+1＝0，且x2+1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x+1＝0，且x2+1≠0，
解得：x＝﹣1，
故答案为：﹣1．
10．盒子里有3支红色笔芯，2支黑色笔芯，每支笔芯除颜色外均相同．从中任意拿出一
支笔芯，则拿出红色笔芯的概率是 ．
【分析】先确定盒子里全部笔芯的总数及黑色笔芯的支数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：因为全部是3+2＝5支笔，3支红色笔芯，所以从中任意拿出一支笔芯，拿
出红色笔芯的概率是 ．
故答案为
11．化简：（ +2）（ ﹣2）＝ 1 ．
【分析】根据平方差公式计算．
【解答】解：原式＝（ ）2﹣22＝5﹣4
＝1．
故答案为1．
12．已知 ABCD中，∠C＝2∠B，则∠A＝ 12 0 度．
【分析▱】首先根据平行四边形的性质可得AB∥CD，∠A＝∠C，根据平行线的性质可得
∠C+∠B＝180°，再由条件∠C＝2∠B可计算出∠B的度数，然后再计算出∠C的度数，
进而可得∠A的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠A＝∠C，
∴∠C+∠B＝180°，
∵∠C＝2∠B，
∴2∠B+∠B＝180°，
解得：∠B＝60°，
∴∠C＝120°，
∴∠A＝120°，
故答案为：120．
13． 的最简公分母是 1 2 x 3 y z ．
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解： 的分母分别是 xy、4x3、6xyz，故最简公分母是
12x3yz．
故答案为12x3yz．
14．当m＝ 2 时，关于x的分式方程 有增根．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代
入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【解答】解：两边乘（x﹣1），得2x﹣m＝x﹣1，
解得x＝m﹣1，
由x﹣1＝0，得
x＝1．
1＝m﹣1
解得m＝2，
故答案为：2．
15．点A（a，b）是一次函数y＝x+2与反比例函数y＝ 图象的交点，则a2b﹣ab2＝ ﹣ 8
．
【分析】把点A（a，b）分别代入一次函数y＝x+2与反比例函数y＝ ，求出a﹣b与
ab的值，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵点A（a，b）是一次函数y＝x+2与反比例函数y＝ 的交点，
∴b＝a+2，b＝ ，
即a﹣b＝﹣2，ab＝4，
∴原式＝ab（a﹣b）＝4×（﹣2）＝﹣8．
故答案为：﹣8．
16．如图，反比例函数y＝ 的图象经过 ABCD对角线的交点P，已知点A、C、D在坐标
▱
轴上，BD⊥DC， ABCD的面积为8，则k＝ 4 ．
▱
【分析】由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比
例函数比例系数k的意义即可．
【解答】解：过点P作PE⊥y轴于点E，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，
又∵BD⊥x轴，
∴ABDO为矩形，
∴AB＝DO，
∴S矩形ABDO ＝S
ABCD
＝8，
∵P为对角线交▱点，PE⊥y轴，
∴四边形PDOE为矩形面积为4，
∵反比例函数y＝ 的图象经过 ABCD对角线的交点P，
▱
∴k＝S矩形PDOE ＝4，
故答案为4．
三.解答题
17.计算：
（1）（2 ﹣ ）2；
（2）3 ×（ + ）．
【分析】（1）利用完全平方公式计算；
（2）利用二次根式的乘法法则运算．
【解答】解：（1）原式＝20﹣4 +2
＝22﹣4 ；
（2）原式＝3 +3
＝18+3
＝21．
18.解分式方程：（1） ＝ ；
（2） ﹣1＝ ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可
得到分式方程的解．
【解答】解：（1） ＝ ，
去分母得：x﹣3＝2x，
解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是分式方程的解；
（2）方程整理得： ﹣1＝﹣ ，
去分母得：x﹣2x+1＝﹣3，
解得：x＝4，
经检验x＝4是分式方程的解．
19.先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中x＝2．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变
形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝ •
＝ •
＝ ，
当x＝2时，原式＝ ＝1．
20.如图，一次函数y ＝﹣x﹣1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y
1 2
＝ 图象的一个交点为M（﹣2，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当y ＞y 时，求x的取值范围；
2 1
（3）求点B到直线OM的距离．【分析】（1）先把M（﹣2，m）代入y＝﹣x﹣1求出m得到M（﹣2，1），然后把M
点坐标代入y＝ 中可求出k的值，从而得到反比例函数解析式；
（2）通过解方程组 得反比例函数与一次函数的另一个交点坐标为（1，﹣
2），然后写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可；
（3）设点B到直线OM的距离为h，然后利用面积法得到 • •h＝1，于是解方程即
可，
【解答】解：（1）把M（﹣2，m）代入y＝﹣x﹣1得m＝2﹣1＝1，则M（﹣2，1），
把M（﹣2，1）代入y＝ 得k＝﹣2×1＝﹣2，
所以反比例函数解析式为y＝﹣ ；
（2）解方程组 得 或 ，
则反比例函数与一次函数的另一个交点坐标为（1，﹣2），
当﹣2＜x＜0或x＞1时，y ＞y ；
2 1
（3）OM＝ ＝ ，S△OMB ＝ ×1×2＝1，
设点B到直线OM的距离为h，
• •h＝1，解得h＝ ，
即点B到直线OM的距离为 ．21.某校积极开展每天锻炼1小时活动，老师对本校八年级学生进行一分钟跳绳测试，并对
跳绳次数进行统计，绘制了八（1）班一分钟跳绳次数的频数分布直方图和八年级其余
班级一分钟跳绳次数的扇形统计图．已知在图 1中，组中值为190次一组的频率为
0.12．（说明：组中值为190次的组别为180≤次数＜200）
请结合统计图完成下列问题：
（1）八（1）班的人数是 5 0 ，组中值为110次一组的频率为 0.1 6 ；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）如果一分钟跳绳次数不低于120次的同学视为达标，八年级同学一分钟跳绳的达
标率不低于90%，那么八年级同学至少有多少人？
【分析】（1）用频数除以所占的频率可得八（1）班的人数，由频数分布直方图知，组
中值为110次一组的频数是8，再由频率＝频数÷数据总和计算；
（2）先计算组中值为130次一组的频数为50﹣8﹣10﹣14﹣6＝12人，再补充完整频数
分布直方图即可；
（3）根据八年级同学一分钟跳绳的达标率不低于90%，列不等式求解．
【解答】解：（1）八（1）班的人数是6÷0.12＝50人，
由频数分布直方图知，组中值为 110次一组的频数是8，所以它对应的频率是8÷50＝
0.16；
（2）组中值为130次一组的频数为12人，
（3）设八年级同学人数有x人，达标的人数为12+10+14+6＝42，
根据一分钟跳绳次数不低于120次的同学视为达标，达标所占比例为：1﹣9%＝91%＝
0.91，
则可得不等式：
42+0.91（x﹣50）≥0.9x，
解得：x≥350，
答：八年级同学人数至少有350人．22.如图在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）请在所给的网格内画出以线段AB、BC为边的菱形，并完成填空：
点D的坐标是 （﹣ 2 ， 1 ） ，
线段BC的长是 ；
（2）请计算菱形ABCD的面积．
【分析】（1）根据网格结构和菱形的对边平行且相等找出点D的位置即可，再根据平
面直角坐标系写出点D的坐标；利用勾股定理列式计算即可求出BC；
（2）根据S菱形ABCD ＝2S△ABC 列式计算即可得解．
【解答】解：（1）菱形ABCD如图所示，D（﹣2，1）；
由勾股定理得，BC＝ ＝ ；
（2）S菱形ABCD ＝2S△ABC ，
＝2（4×4﹣ ×3×3﹣ ×1×4﹣ ×1×4）
＝2（16﹣4.5﹣2﹣2）
＝2×7.5
＝15．
故答案为：（﹣2，1）， ；23.如图，在 ABCD中，AC与BD交于点O，且BE＝DF．
（1）求证▱：四边形AECF是平行四边形．
（2）AB⊥AC，AB＝4，AC＝6，当 AECF是矩形时，求BE的值．
▱
【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证四边形AECF是平行
四边形；
（2）由勾股定理可求BO＝5，根据矩形的性质可得EO＝AO＝3，即可求BE的长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴BO﹣BE＝DO﹣DF，
∴EO＝FO，且AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形
（2）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO＝CO＝ AC＝3，
∵AB⊥AC，
∴在Rt△ABO中，BO＝ ＝5，
∵四边形AECF是矩形，
∴AO＝CO＝EO＝FO＝3，
∴BE＝BO﹣EO＝5﹣3＝2
24.某校开学初在超市购进A、B两种品牌的消毒液，购买A品牌消毒液花费了2500元，购
买B品牌消毒液花费了2000元，且购买A品牌消毒液数量是购买B品牌消毒液数量的2
倍．已知购买一瓶B品牌消毒液比购买一瓶A品牌消毒液多花30元．
（1）购买一瓶A品牌、一瓶B品牌消毒液各需多少元？
（2）该校为了防疫，决定再次购进A、B两种品牌的消毒液共50瓶，恰逢超市对这两
种品牌消毒液的售价进行调整，A品牌消毒液售价比第一次购买时提高了8%，B品牌消
毒液按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买的总费用不超过 3200元，那么，最多可以购买多少瓶B品牌消毒液？
【分析】（1）设购买一瓶A品牌消毒液需x元，则购买一瓶B品牌消毒液需（x+30）
元，根据用2500元购买A品牌消毒液数量是用2000元购买B品牌消毒液数量的2倍，
即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买m瓶B品牌消毒液，则购买（50﹣m）瓶A品牌消毒液，根据总价＝单价×
数量结合该校此次购买的总费用不超过3200元，即可得出关于m的一元一次不等式，
解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买一瓶 A品牌消毒液需 x元，则购买一瓶 B品牌消毒液需
（x+30）元，
依题意，得： ＝2× ，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴x+30＝80．
答：购买一瓶A品牌消毒液需50元，一瓶B品牌消毒液需80元．
（2）设购买m瓶B品牌消毒液，则购买（50﹣m）瓶A品牌消毒液，
依题意，得：50×（1+8%）（50﹣m）+80×0.9m≤3200，
解得：m≤27 ．
又∵m为正整数，
∴m的最大值为27．
答：最多可以购买27瓶B品牌消毒液．
25.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A（0，﹣6）、D（﹣3，
﹣7），点B、C在第三象限内．
（1）点B的坐标是 （﹣ 1 ，﹣ 3 ） ；
（2）将正方形ABCD以每秒2个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，
使在第二象限内点B、D两点的对应点B'、D'正好落在某反比例函数的图象上，请求出
此时t的值以及这个反比例函数的解析式；
（3）在（2）的情况下，问：是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得
以P、Q、B'、D'四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的
点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）过点 B 作 BE⊥y 轴于点 E，过点 D 作 DF⊥y 轴于点 F，证明
△ADF≌△BAE得出BE与OE的长度便可求得B点坐标；
（2）先用t表示B′和D′点的坐标，再根据“B'、D'正好落在某反比例函数的图象
上”得B′和D′点的的横、纵坐标的积相等，列出t的方程求得t，进而求得反比例函
数的解析式；
（3）分各种情况：BD为平行四边形的边，BD为平行四边形的对角线．分别解答问题．
【解答】解：（1）过点B作BE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F，如图1，则
∠AFD＝∠AEB＝90°
∵点A（0，﹣6）、D（﹣3，﹣7），
∴DF＝3，AF＝1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠DAF+∠BAE＝∠ADF+∠ADF＝90°，
∴∠ADF＝∠BAE，
∴△ADF≌△BAE（AAS），
∴DF＝AE＝3，AF＝BE＝1，
∴OE＝OA﹣AE＝6﹣3＝3，
∴B（﹣1，﹣3），
故答案为（﹣1，﹣3）；（2）根据题意得，B′（﹣1，﹣3+2t），D′（﹣3，﹣7+2t），
设经过B'、D'的反比例函数解析式为：y＝ ，
∴k＝﹣1×（﹣3+2t）＝﹣3（﹣7+2t），
解得，t＝ ，
∴k＝﹣1×（﹣3+2t）＝3﹣9＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为： ；
（3）设P（n，0），
由（2）知B′（﹣1，6），D′（﹣3，2），
当BD为平行四边形的边时，则B′D′∥QP，B′D′＝QP，
①∴Q（n+2，4），或Q（n﹣2，﹣4）
把Q点坐标（n+2，4）代入 中，得，4（n+2）＝﹣6，
解得，n＝﹣ ，
∴Q（ ，4）；
把Q点坐标（n﹣2，﹣4）代入 中，得，﹣4（n﹣2）＝﹣6，
解得，n＝ ，
∴Q（ ，﹣4）；当BD为对角线时，则BD的中点坐标为（﹣2，4），
②∴PQ的中点坐标为（﹣2，4），
∴Q（﹣4﹣n，8），
把Q点坐标代入 中，得，8（﹣n﹣4）＝﹣6，
解得，n＝﹣ ，
∴Q（﹣ ，8），
综上，存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B'、D'四个点为顶
点的四边形是平行四边形．Q点坐标为（ ，4）或（ ，﹣4）或（﹣ ，8）．
26.等边△ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边在AD右
侧作等边△ADE，连接CE．
（1）观察猜想：
如图1，当点D在线段BC上时，
AB与CE的位置关系为 AB ∥ CE ；
①BC、CD、CE之间的数量关系为 BC ＝ CE + CD ．
②（2）数学思考：
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论 ， 是否仍然成立？若成立，请给予
证明：若不成立，请你写出正确结论再给予证明①． ②
（3）拓展延伸：
当点D在线段BC上时，已知AB＝2，以A、C、D．E为顶点的四边形的面积为
① ．
已知AB＝2，当点D在直线CB上运动的过程中，BE的值最小时，DE的长为
②．【分析】（1）观察猜想：
由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABC＝∠ACE＝60°＝∠BAC，可证
①AB∥CE；
由全等三角形的性质可得BD＝CE，由线段的和差关系可得BC＝CE+CD；
②（2）数学思考：
由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，可证BC＝CD﹣CE，
AB∥CE；
（3）拓展延伸：
由全等三角形的性质可得S△ABD ＝S△CAE ，即可求解；
①由（1）可得点E在∠ACB的外角的角平分线所在的直线上，由垂线段最短可得，当
②BE⊥CE时，BE有最小值，由直角三角形的性质可得BE的长，由勾股定理可求AD的
长．
【解答】解：（1）观察猜想：
∵△ABC是等边三角形，
①∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，
又∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE，即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABC＝∠ACE＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴AB∥CE，
故答案为：AB∥CE；
∵△BAD≌△CAE，
②∴BD＝CE，
∴BC＝BD+CD，
∴BC＝CE+CD，
故答案为BC＝CE+CD；
（2）AB∥CE仍然成立，BC＝CE+CD不成立，数量关系为：BC＝CD﹣CE
证明如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，
又∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE，即∠BAD+∠BAE＝∠BAE+∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
∴BC＝CD﹣BD，
即BC＝CD﹣CE，
∵∠ABD+∠ABC＝180°，
∴∠ABD＝120°＝∠ACE，
∴∠ACE+∠BAC＝180°，
∴AB∥CE；
（3） ∵△BAD≌△CAE，
∴S△A①BD ＝S△CAE ，∴S四边形ADCE ＝S△ABC ＝ ×22＝ ，
由图1可得∠ACE＝60°，由图2可得∠ACE＝120°，
②∴点E在∠ACB的外角的角平分线所在的直线上，
由垂线段最短可得，当BE⊥CE时，BE有最小值，如图3，
∴∠EBC＝30°，∠ABC＝60°，BE⊥CE，
∴CE＝ BC＝1，BE＝ CE＝ ，∠ABE＝90°
∴DE＝AE＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
