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专题 7 数式规律及图形规律的探究（原卷版）
类型一 数的变化规律探究
1 2 3 4 5
1．观察下列数据： ，− ， ，− ， ，…．它们是按一定规律排列的，则这一组数的第n个数是
2 5 10 17 26
．
2．（2022秋•沭阳县校级月考）将正整数按如图所示的位置顺序排列：
根据排列规律，则2022应在 处．
3．（2023•东平县一模）将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照以上规律排列，第25行第20个数是
．
4．（2023春•齐河县期末）如图中的数字都是按一定规律排列的，其中x的值是 ．
5．（2023秋•济源期中）观察下面三行数：
①2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…；
②0，﹣6，6，﹣18，30，﹣66，…；
③1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…；
（1）第一行数按什么规律排列？
（2）第二行，第三行数与第一行数分别有什么关系？
（3）取每行数的第八个数，计算这三个数的和．类型二 等式的变化规律探究
6．（2022秋•鼓楼区校级期末）观察下列等式：1+3＝4＝22，1+3+5＝9＝32，1+3+5+7＝16＝42，…，按
此规律，若m＝1+3+5+7+…+（2n﹣1）+（2n+1）（其中n为正整数），则m的值可能为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
7．已知整数a ，a ，a ，a ，…，满足下列条件：a ＝0，a ＝﹣|a +1|，a ＝﹣|a +2|，a ＝﹣|a +3|，…，
1 2 3 4 1 2 1 3 2 4 3
依次类推，则a 的值为（ ）
2024
A．﹣2024 B．2024 C．﹣1012 D．1012
8．（2020秋•南京期中）如下，每个格子中都是整数，若任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则从
左边第一个格子开始向右数，第2020个格子中的数为 ．
﹣3 1 1 4 …
9．（2023秋•青神县期末）观察下列算式：
①32﹣12
②52﹣32＝16
③72﹣52＝24
④……
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母n的式子表示出来；
（3）用第100个式子验证（2）所写的算式．
10．观察下列各等式：
1＝12
1+3＝22
1+3+5＝32
1+3+5+7＝42
（1）通过观察你能猜想出反映规律的一般结论吗？
（2）你能运用上述规律求1+3+5+7+…+2021的值吗？11．（2023秋•建昌县期末）观察下列等式：①12﹣0×2＝1﹣0＝1；②22﹣1×3＝4﹣3＝1；
③32﹣2×4＝9﹣8＝1；④42﹣3×5＝16﹣15＝1；
（1）请你按着这个规律写出第五个和第六个等式： ；
（2）把这个规律用含字母n（n是不小于1的正整数）的式子表示出来．
12．（2020秋•福田区期末）如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值，我们可以用如下的方法：
解：设S＝1+2+22+23+…+299+2100①
在等式两边同乘以2，则有2S＝2+22+23+…+299+2100+2101②
②减去①，得2S﹣S＝2101﹣1
即S＝2101﹣1
即1+2+22+23+…+299+2100＝2101﹣1
【理解运用】计算
（1）1+3+32+33+…+399+3100
（2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100．类型三 图形变化规律的探究
13．（2021•北碚区校级模拟）如图图形是由大小、形状相同的“●”和线段按照一定规律组成的，其中
第1幅图形有3个“●”，第2幅图形中有8个“●”，第3幅图形中有15个“●”，…，则第7幅图
形中的“●”个数为（ ）
A．99 B．63 C．80 D．48
14．（2023•美兰区校级开学）将字母“C”“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中
字母“C”的个数为 4 ；第n个图形中“H”的个数为 ．
15．（2018秋•确山县期中）如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加 1的规律拼成下
列图案，若第n个图案中有2020张白色纸片，则n的值为 ．
16．（2022•陇西县校级模拟）如图是按规律排列的一组图形，它们是山边长相同的正方形和正三角形拼
接而成，第1个图形中有4个三角形，第2个图形中有7个三角形，第3个图形中有10个三角形，第4
个图形中有13个三角形，…，则第2022个图形中有 个三角形．17．（2022秋•霞浦县期中）用火柴棒按如图的方式搭图形．
（1）按图示规律完成下表：
图形 1 2 3 4 5 …
火柴棒根数 5 9 13 …
（2）按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要 根火柴棒．（用含n的代数式表示）
（3）小静同学说她按这种方式搭出来的一个图形用了200根火柴棒，你认为可能吗？如果可能，那么
是第几个图形？如果不可能，请说明理由．
18．（2023•阜阳模拟）观察下面图形我们可以发现：第1个图中有1个正方形，第2个图中有5个正方形，
按照这种规律变化下去…
（1）第3个图中有 个正方形；
（2）第4个图形比第3个图形多 个正方形；
（3）第n个图形比前一个图形多 个正方形（用含有n的式子表示）；
（4）按照规律，是否存在某个图形，它比前一个图形增加2015个正方形？为什么？
