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1.3.1有理数的加法
有理数的加法
定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对
值．互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数．
注意：利用法则进行加法运算的步骤：
(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．
(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．
(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．
题型1：有理数的加法的辨析
1.下列说法正确的是（ ）
A.两个有理数的和一定大于任何一个加数
B.若两个有理数的和为正数，则这两个有理数都是正数
C.若两个有理数的和为零，则这两个有理数一定互为相反数
D.异号两个有理数相加，和有可能是正数也有可能是负数
【解答】A.不正确，例如，（-3）+1=-2，（-3）＋（-1）=-4，（-3）＋0=-3，它们的和都不是大于两
个加数.
B.不正确，例如，（-2）+3=1，0+2=2，它们的和是正数，但两个加数不都是正数.
C.正确.
D.不正确，异号两个数相加的和还有可能为0.
答案C
【变式1-1】如果a、b异号，且a+b＜0，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞0，b＞0
B．a＜0，b＜0
C．a，b异号，且正数的绝对值较大D．a，b异号，且负数的绝对值较大
【分析】两数异号，两数之和小于0，说明两数都是负数或一正一负，且负数的绝对值大．综合两个条
件可选出答案．
【解答】解：∵a+b＜0，
∴a，b同为负数，或一正一负，且负数的绝对值大，
∵a，b异号，
∴a、b异号，且负数的绝对值较大．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数的乘法和加法，解题的关键是熟练掌握计算法则，正确判断符号．
【变式1-2】对于有理数a、b，有以下几种说法，其中正确的说法个数是（ ）
①若a+b＝0，则a与b互为相反数；②若a+b＜0，则a与b异号；③a+b＞0，则a与b同号时，则a
＞0，b＞0；④|a|＞|b|且a、b异号，则a+b＞0；⑤|a|＜b，则a+b＞0．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】①根据相反数的意义：只有符号不同的两个数互为相反数，若 a+b＝0，移项可得a＝﹣b，满
足相反数的定义，故a与b互为相反数，本选项正确；
②举一个反例满足a+b＜0，可以取a与b同时为负数满足条件，但a与b不异号，本选项错误；
③根据条件可得a+b大于0，且a与b同号，可得a与b只能同时为正，进而得到a、b大于0，本选项
正确；
④举一个反例，a与b两数都为负数，a的绝对值大于b的绝对值满足条件，但是a+b小于0，本选项
错误；
⑤由|a|＜b，所以b＞0，所以a+b＞0，本选项正确．
【解答】解：①若a+b＝0，则a＝﹣b，即a与b互为相反数，本选项正确；
②若a+b＜0，若a＝﹣1，b＝﹣2，a+b＝﹣3＜0，但是a与b同号，本选项错误；
③a+b＞0，若a与b同号，只有同时为正，故a＞0，b＞0，本选项正确；
④若|a|＞|b|，且a，b同号，例如a＝﹣3，b＝﹣2，满足条件，但是a+b＝﹣5＜0，本选项错误．
⑤由|a|＜b，所以b＞0，所以a+b＞0，本选项正确；
则正确的结论有3个．
故选：A．
题型2：有理数加法的计算
2.计算：
（1）（－17）+7
（2）（－14）－（－39）
【答案】（1）解：（-17）+7；
=-（17-7）
=-10；
（2）解：（-14）-（-39）
=-14+39
=25．【解析】【分析】（1）利用有理数的加法的计算方法求解即可；
（2）利用有理数的减法的计算方法求解即可。
【变式2-1】计算：(−3)+12+(−17)+(+8)
【答案】解：(−3)+12+(−17)+(+8)
=[(−3)+(−17)]+(12+8)
= (−20)+20
= 0
【解析】【分析】利用有理数的加减法则计算求解即可。
【变式2-2】
31 5
（1）（+ ）+（﹣ ）
6 3
（2）（﹣10.5）+（﹣1.3）
（3）﹣20﹣（+14）+（﹣18）﹣（﹣13）
（4）|﹣45|+（﹣71）+|﹣5|+（﹣9）
31 10 21
【答案】（1）解：原式= − = ；
6 6 6
（2）解：原式=-10.5-1.3 =-11.8；
（3）解：原式=-20-14-18+13 =-39；
（4）解：原式=45-71+5-9 =-30
【解析】【分析】利用有理数的运算法则进行计算即可得出结论。
运算律：
加法 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变
有理 交换 a+b＝b+a
符号语言
数加 律
法运 加法 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相
文字语言
算律 结合 加，和不变
律 符号语言 (a+b)+c＝a+(b+c)
注意：交换加数的位置时，不要忘记符号．
题型3：有理数的加法运算律
3.（相反数结合）
【分析】先找相反数，然后利用加法的交换律和结合律将相反数结合计算.
【解答】解：原式
【变式3-1】（同号结合） 计算∶43+（-77）+37+（-23）.
【分析】先把正数、负数分别结合，再计算.
【解答】解∶原式=（43+37）+[（-77）＋（-23）]=80+(-100)=-20.
【变式3-2】（同形结合）计算
【分析】观察将同分母的分数通过交换结合在一起计算.
【解答】解：原式
【变式3-3】（凑整结合）
【解答】解：原式
【变式3-4】（拆项结合）计算：
【分析】先把带分数拆成整数与真分数之和，将整数和真分数分别相加，再求和.
【解答】解：（1）原式
（2）原式
知识总结：
相反数结合法：如果加数中有互为相反数的两个数，可以先将这两个数结合再进行运算；
同号结合法：在有理数的加法运算先将所有的正数结合在中，一起、所有的负数结合在一起，分别相加，
再求和的计算方法；
同形结合法：在计算过程中往往把整数与整数、小数与小数、分数与分数、分母相同或容易通分的分数结
合在一起，以达到简便运算的效果；
凑整法：多个有理数相加时，如果既有分数，又有小数，一般将存在数量少的形式转化成数量多的形式，
把能凑成整数的数结合在一起，可以使计算简便；
拆项结合法：在有理数的加法计算中，可以先把带分数拆分成整数和真分数的和，再把整数和真分数分别
结合相加，但拆数时应特别注意符号问题.这种方法简称“拆项结合法”；一个带分数在拆成一个整数和一
个真分数时，有两种拆分法，一种拆成同号，一种拆成异号.
题型4：有理数加法分类思想
4.已知 |a|=6 ， b=3 ， ab<0 ，求 a+b 的值
【答案】∵|a|=6∴a=±6
∵b=3 ， ab<0
∴a<0
∴a=−6
∴a+b=−6+3=−3 .
【解析】【分析】根据绝对值和有理数的乘法法则求出 a 的值，再代入求解即可.
【变式4-1】如果 |a|=4,|b|=7 ，且 a<b ，求 a+b 的值.
【答案】解：因为 |a|=4,|b|=7 ，所以 a=±4,b=±7 ，因为 a<b ，所以 a=±4,b=7 ；当
a=4,b=7 时， a+b=4+7=11 ；当 a=−4,b=7 时， a+b=−4+7=3 ；故 a+b=3 或13.
【解析】【分析】利用绝对值的性质可求出a，b的值，再根据a＜b，可确定出a，b的值，然后分别
求出a+b的值.
【变式4-2】已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，求a+b+c的值．
【分析】根据绝对值的性质，求出 a、b、c的大致取值，然后根据a、b、c的大小关系，进一步确定
a、b、c的值，然后代值求解即可．
【解答】解：∵|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，
∴a＝±1，b＝±2，c＝±3，
∵a＞b＞c，
∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣3或a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，
∴a+b+c＝﹣6，
或a+b+c＝1﹣2﹣3＝1﹣5＝﹣4．
故答案为：﹣6或﹣4．
【点评】此题主要考查的是绝对值的性质和有理数的加法，能够正确的判断出 a、b、c的值，是解答此
题的关键．
题型5：有理数加法规律题
5.从图①中找出规律，并按规律从图②中找出a,b,c的值，计算a+b-c的值是 .
【答案】14
【解析】【解答】解：a=（-4）+11=7，
c=11+（-15）=-4，
b=a+c=7+（-4）=3，
∴a+b-c=7+3-（-4）=14.
【分析】找出图①的规律，列式计算出a，b，c的值，再计算a+b-c的值，即可得出答案.
【变式5-1】已知1=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，…，按此规律，1+3+5+…+19=
【分析】由该一连串的等式可以看出从1开始n个连续的奇数的和等于n2，所以可以得出1+3+5+7+…+19=102，即从1开始10个连续的奇数相加．
【解答】解：由1+3=22，从1开始连续2个奇数相加；
1+3+5=32，从1开始连续3个奇数相加；
1+3+5+7=42，从1开始连续4个奇数相加；
…
所以可以推出：从1开始连续10个奇数相加的和等于102，即：1+3+5+7+…+19=102=100．
故答案为：100．
【点评】本题是规律型的，从1开始连续2个奇数和等于22，连续3个的和为32，连续4个为42，可
以得出连续n个的和为n2的规律．
题型6：有理数加法的应用
6.10袋大米，以每袋50千克为准：超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录
如下：＋0.5，＋0.3，0，－0.2，－0.3，＋1.1，－0.7，－0.2，＋0.6，＋0.7.10袋大米共超重或不足多
少千克？总重量是多少千克？
【答案】解：本题考查了有理数的运算在实际中的应用，“正”和“负”相对，超过的千克数记为正
数，不足的千克数记为负数，把称重记录的数据相加，和为正说明超过了，和为负说明不足；求10
袋大米的总重量，可以用10×50加上正负数的和即可.
（+0.5）+（+0.3）+0+（-0.2）+（-0.3）+（+1.1）+（-0.7）+（-0.2）+（+0.6）+（+0.7）
=1.8（千克），
50×10+1.8=501.8（千克）.
【解析】【分析】由题意，先求出记录的各数据的和（即为超过（或不足）质量），根据总质量=标
准质量×抽取的袋数+超过（或不足）质量即可求解.
【变式6-1】将0，1，2，3，4，5，6这7个数分别填入图中的7个空格内，使每行的3个数、每列的
3个数、斜对角的3个数相加的和都等于6.
【答案】解：根据分析可得
【解析】【分析】根据幻和是6，可得中心数是：6÷3=2；那么对角线、第二行、第二列剩下两个数的
和就为：6-2=4；所以只要凑成：-1+5=1+3=6+（-2）=4，然后稍微调整一下即可得出答案．
【变式6-2】王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作+1，向下一楼记作﹣1，王先生从1
楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）：+6，﹣3，+10，﹣8，+12，﹣7，﹣10．
（1）请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼．
（2）该中心大楼每层高3m，电梯每向上或下1m需要耗电0.2度，根据王先生现在所处位置，请你算算，他办事时电梯需要耗电多少度？
【分析】（1）把上下楼层的记录相加，根据有理数的加法运算法则进行计算，如果等于 0则能回到1
楼，否则不能；
（2）求出上下楼层所走过的总路程，然后乘以0.2即可得解．
【解答】解：（1）（+6）+（﹣3）+（+10）+（﹣8）+（+12）+（﹣7）+（﹣10），
＝6﹣3+10﹣8+12﹣7﹣10，
＝28﹣28，
＝0，
∴王先生最后能回到出发点1楼；
（2）王先生走过的路程是3×（|+6|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|+12|+|﹣7|+|﹣10|），
＝3×（6+3+10+8+12+7+10），
＝3×56，
＝168（m），
∴他办事时电梯需要耗电168×0.2＝33.6（度）．
【点评】本题主要考查了有理数的加法运算，（2）中注意要求出上下楼层的绝对值，而不是利用（1）
中的结论求解，这是本题容易出错的地方．
一、单选题
1．|﹣3+1|=（ ）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
【答案】C
【解析】【解答】解：|﹣3+1|=|﹣2|=2，
故选：C．
【分析】先计算符号内的加法，再根据绝对值性质得出答案．
2．计算 (−3)+(−9) 的值是（ ）
A．−6 B．6 C．−12 D．12
【答案】C
【解析】【解答】解： (−3)+(−9)=−12 ，
故答案为：C．
【分析】利用有理数的加法法则计算求解即可。
3．计算﹣2+3的结果是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣6
【答案】A【解析】【解答】解：因为﹣2，3异号，且|﹣2|＜|3|，所以﹣2+3=1.
故答案为：A.
【分析】根据异号两数相加的法则进行计算即可.
4．在一竞赛中，老师将90分规定为标准成绩，记作0分，高出此分记为正，不足此分记为负，五名
参赛者的成绩：+1，-2，+10，-7，0．那么（ ）
A．最高成绩为90分 B．最低成绩为88分
C．平均分为90分 D．平均分为90.4分
【答案】D
1
【解析】【解答】平均分为：90+ [1+（-2）+10+（-7）+0]=90.4．故答案为：D．
5
【分析】根据题意得到五名参赛者的成绩的平均分是90+【1+（-2）+10+（-7）+0】÷5，最高成绩是
90+10，最低成绩90+（-7）.
5．化简﹣2+3的结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【答案】B
【解析】【解答】解：原式=+（3﹣2）=+1，
故答案为：B．
【分析】根据有理数的加法法则，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，
取绝对值较大加数的符号，并用较大加数的绝对值减去较小加数的绝对值；计算即可.
6．一天早晨的气温是－7℃，中午的气温比早晨上升了11℃，中午的气温是（ ）
A．18℃ B．11℃ C．4℃ D．－11℃
【答案】C
【解析】【分析】根据中午的气温比早晨上升了11℃，可知中午的气温=早晨的气温+11℃．
【解答】中午的气温是：-7+11=4℃．
故选C．
【点评】本题考查有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
②绝对值不相等的异号两数相加，取值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互
为相反数的两个数相加得0；
③一个数同0相加，仍得这个数
二、填空题7．绝对值不大于2.5的整数有 ，它们的和是 .
【答案】±2，±1,0；0
【解析】【解答】解：绝对值不大于2.5的整数就是在-2.5和2.5之间的整数，有±2，±1,0共5个，它
们的和为0.
故答案为：±2，±1,0；0.
【分析】首先结合绝对值的意义判断绝对值不大于2.5的整数，即绝对值等于0、1、2的整数；然后
根据绝对值的性质“正数的绝对值就是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值就是零”，
求出绝对值不大于2.5的整数有哪些即可求解．
8．有理数的加法法则：同号相加时，取 的符号，并把它们的绝对值相加.
【答案】相同
【解析】【解答】有理数的加法法则：同号相加时，和应该取相同的符号
【分析】考查有理数的加法法则
9．计算：﹣2+3= ．
【答案】1
【解析】【解答】解：﹣2+3=1．
故答案为：1．
【分析】根据有理数的加法法则，从而得出结果．
10．计算：（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+50= ．
【答案】25
【解析】【解答】解：原式=（﹣1+2）+（﹣3+4）+…+（﹣49+50）
=1+1+…+1
=25．
故答案为：25．
【分析】原式结合后，相加即可得到结果．
11．计算|-6+2|的结果是 ．
【答案】4
【解析】【解答】|-6+2|=|-4|=4，故答案为：4．
【分析】根据有理数的加法法则，异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大加数的绝对值
减去较小加数的绝对值；再求出和的绝对值.三、计算题
12．计算下列各式：
（1）（﹣1.25）+（+5.25）
（2）（﹣7）+（﹣2）
【答案】解；（1）（﹣1.25）+（+5.25）
=5.25﹣1.25
=4；
（2）（﹣7）+（﹣2）
=﹣（7+2）
=﹣7
【解析】【分析】（1）根据有理数的加法法则计算，即可解答；
（2）根据有理数的加法法则计算，即可解答；
13．用适当方法计算：
（1）(−51)+(+12)+(−7)+(−11)+(+36) ；
（2）(−3.45)+(−12.5)+(+19.9)+(+3.45)+(−7.5)
5 3 1
（3）(−17 )+(31 )+(−4 ) ；
8 4 16
5 3 3
（4）(−4 )+7.75+(−1 )+(−2 ) ．
8 8 4
【答案】（1）解：原式 =−(51+7+11)+(12+36)=−69+48=−21 ；
（2）解：原式 =[(−3.45)+(+3.45)]+[(−12.5)+(−7.5)]+19.9=0+(−20)+19.9=−0.1 ；
5 3 1
（3）解：原式 =(−17− )+(31+ )+(−4− )
8 4 16
5 3 1
=[(−17)+31+(−4)]+[(− )+ +(− )]
8 4 16
10 12 1
=10+[(− )+ +(− )]
16 16 16
1 1
=10+ =10 ；
16 16
5 3 3 3
（4）解：原式 =[(−4 )+(−1 )]+[+7 +(−2 )]=−6+5=−1 ．
8 8 4 4
【解析】【分析】（1）利用加法交换律和加法结合律求解即可；
（2）利用加法交换律和加法结合律求解即可；（3）利用加法计算法则求解即可；
（4）利用加法计算法则求解即可。
四、解答题
14．数轴上的一点由原点出发，向左移动2个单位长度后又向左移动了4个单位，两次共向左移动了
几 个单位？
【答案】解答：（－2）＋（－4）＝－6，所以一共移动了6个单位
【解析】注意在数轴上向左移动是减、向右移动是加
15．已知 |x|=4 ， |y|=5 ，且 x>y ，求 x+ y 的值．
【答案】解：∵|x|=4，|y|=5，
∴x=±4，y=±5；
∵x＞y，
∴x=±4，y=-5．
当x=4，y=-5时，x+y=-1；
当x=-4，y=-5时，x+y=-9．
故x+y的值是-1或-9．
【解析】【分析】根据绝对值的性质可得x=±4，y=±5，再根据x>y，可以得到x=±4，y=-5，再将x、y
的值代入计算即可。
16．弘文中学定于十一月份举行运动会，组委会在整修百米跑道时，工作人员从A处开工，约定向东
为正，向西为负，从开工处A到收工处B所走的路线（单位：米），分别为+10、﹣3、+4、﹣
2、+13、﹣8、﹣7、﹣5、﹣2，工作人员整修跑道共走了多少路程？
【答案】解：|+10|+|﹣3|+|+4|+|﹣2|+|+13|+|﹣8|+|﹣7|+|﹣5|+|﹣2|，
=10+3+4+2+13+8+7+5+2，
=54米．
【解析】【分析】先将这些数的绝对值相加，即得工作人员整修跑道的总路程．
