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1.3.1有理数的加法
有理数的加法
定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对
值．互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数．
注意：利用法则进行加法运算的步骤：
(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．
(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．
(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．
题型1：有理数的加法的辨析
1.下列说法正确的是（ ）
A.两个有理数的和一定大于任何一个加数
B.若两个有理数的和为正数，则这两个有理数都是正数
C.若两个有理数的和为零，则这两个有理数一定互为相反数
D.异号两个有理数相加，和有可能是正数也有可能是负数
【解答】A.不正确，例如，（-3）+1=-2，（-3）＋（-1）=-4，（-3）＋0=-3，它们的和都不是大于两
个加数.
B.不正确，例如，（-2）+3=1，0+2=2，它们的和是正数，但两个加数不都是正数.
C.正确.
D.不正确，异号两个数相加的和还有可能为0.
答案C
【变式1-1】如果a、b异号，且a+b＜0，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞0，b＞0
B．a＜0，b＜0
C．a，b异号，且正数的绝对值较大D．a，b异号，且负数的绝对值较大
【分析】两数异号，两数之和小于0，说明两数都是负数或一正一负，且负数的绝对值大．综合两个条
件可选出答案．
【解答】解：∵a+b＜0，
∴a，b同为负数，或一正一负，且负数的绝对值大，
∵a，b异号，
∴a、b异号，且负数的绝对值较大．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数的乘法和加法，解题的关键是熟练掌握计算法则，正确判断符号．
【变式1-2】对于有理数a、b，有以下几种说法，其中正确的说法个数是（ ）
①若a+b＝0，则a与b互为相反数；②若a+b＜0，则a与b异号；③a+b＞0，则a与b同号时，则a
＞0，b＞0；④|a|＞|b|且a、b异号，则a+b＞0；⑤|a|＜b，则a+b＞0．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】①根据相反数的意义：只有符号不同的两个数互为相反数，若 a+b＝0，移项可得a＝﹣b，满
足相反数的定义，故a与b互为相反数，本选项正确；
②举一个反例满足a+b＜0，可以取a与b同时为负数满足条件，但a与b不异号，本选项错误；
③根据条件可得a+b大于0，且a与b同号，可得a与b只能同时为正，进而得到a、b大于0，本选项
正确；
④举一个反例，a与b两数都为负数，a的绝对值大于b的绝对值满足条件，但是a+b小于0，本选项
错误；
⑤由|a|＜b，所以b＞0，所以a+b＞0，本选项正确．
【解答】解：①若a+b＝0，则a＝﹣b，即a与b互为相反数，本选项正确；
②若a+b＜0，若a＝﹣1，b＝﹣2，a+b＝﹣3＜0，但是a与b同号，本选项错误；
③a+b＞0，若a与b同号，只有同时为正，故a＞0，b＞0，本选项正确；
④若|a|＞|b|，且a，b同号，例如a＝﹣3，b＝﹣2，满足条件，但是a+b＝﹣5＜0，本选项错误．
⑤由|a|＜b，所以b＞0，所以a+b＞0，本选项正确；
则正确的结论有3个．
故选：A．
题型2：有理数加法的计算
2.计算：
（1）（－17）+7
（2）（－14）－（－39）
【答案】（1）解：（-17）+7；
=-（17-7）
=-10；
（2）解：（-14）-（-39）
=-14+39
=25．【解析】【分析】（1）利用有理数的加法的计算方法求解即可；
（2）利用有理数的减法的计算方法求解即可。
【变式2-1】计算：(−3)+12+(−17)+(+8)
【答案】解：(−3)+12+(−17)+(+8)
=[(−3)+(−17)]+(12+8)
= (−20)+20
= 0
【解析】【分析】利用有理数的加减法则计算求解即可。
【变式2-2】
31 5
（1）（+ ）+（﹣ ）
6 3
（2）（﹣10.5）+（﹣1.3）
（3）﹣20﹣（+14）+（﹣18）﹣（﹣13）
（4）|﹣45|+（﹣71）+|﹣5|+（﹣9）
31 10 21
【答案】（1）解：原式= − = ；
6 6 6
（2）解：原式=-10.5-1.3 =-11.8；
（3）解：原式=-20-14-18+13 =-39；
（4）解：原式=45-71+5-9 =-30
【解析】【分析】利用有理数的运算法则进行计算即可得出结论。
运算律：
加法 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变
有理 交换 a+b＝b+a
符号语言
数加 律
法运 加法 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相
文字语言
算律 结合 加，和不变
律 符号语言 (a+b)+c＝a+(b+c)
注意：交换加数的位置时，不要忘记符号．
题型3：有理数的加法运算律
3.（相反数结合）
【分析】先找相反数，然后利用加法的交换律和结合律将相反数结合计算.
【解答】解：原式
【变式3-1】（同号结合） 计算∶43+（-77）+37+（-23）.
【分析】先把正数、负数分别结合，再计算.
【解答】解∶原式=（43+37）+[（-77）＋（-23）]=80+(-100)=-20.
【变式3-2】（同形结合）计算
【分析】观察将同分母的分数通过交换结合在一起计算.
【解答】解：原式
【变式3-3】（凑整结合）
【解答】解：原式
【变式3-4】（拆项结合）计算：
【分析】先把带分数拆成整数与真分数之和，将整数和真分数分别相加，再求和.
【解答】解：（1）原式
（2）原式
知识总结：
相反数结合法：如果加数中有互为相反数的两个数，可以先将这两个数结合再进行运算；
同号结合法：在有理数的加法运算先将所有的正数结合在中，一起、所有的负数结合在一起，分别相加，
再求和的计算方法；
同形结合法：在计算过程中往往把整数与整数、小数与小数、分数与分数、分母相同或容易通分的分数结
合在一起，以达到简便运算的效果；
凑整法：多个有理数相加时，如果既有分数，又有小数，一般将存在数量少的形式转化成数量多的形式，
把能凑成整数的数结合在一起，可以使计算简便；
拆项结合法：在有理数的加法计算中，可以先把带分数拆分成整数和真分数的和，再把整数和真分数分别
结合相加，但拆数时应特别注意符号问题.这种方法简称“拆项结合法”；一个带分数在拆成一个整数和一
个真分数时，有两种拆分法，一种拆成同号，一种拆成异号.
题型4：有理数加法分类思想
4.已知 |a|=6 ， b=3 ， ab<0 ，求 a+b 的值
【答案】∵|a|=6∴a=±6
∵b=3 ， ab<0
∴a<0
∴a=−6
∴a+b=−6+3=−3 .
【解析】【分析】根据绝对值和有理数的乘法法则求出 a 的值，再代入求解即可.
【变式4-1】如果 |a|=4,|b|=7 ，且 ay ，求 x+ y 的值．
【答案】解：∵|x|=4，|y|=5，
∴x=±4，y=±5；
∵x＞y，
∴x=±4，y=-5．
当x=4，y=-5时，x+y=-1；
当x=-4，y=-5时，x+y=-9．
故x+y的值是-1或-9．
【解析】【分析】根据绝对值的性质可得x=±4，y=±5，再根据x>y，可以得到x=±4，y=-5，再将x、y
的值代入计算即可。
16．弘文中学定于十一月份举行运动会，组委会在整修百米跑道时，工作人员从A处开工，约定向东
为正，向西为负，从开工处A到收工处B所走的路线（单位：米），分别为+10、﹣3、+4、﹣
2、+13、﹣8、﹣7、﹣5、﹣2，工作人员整修跑道共走了多少路程？
【答案】解：|+10|+|﹣3|+|+4|+|﹣2|+|+13|+|﹣8|+|﹣7|+|﹣5|+|﹣2|，
=10+3+4+2+13+8+7+5+2，
=54米．
【解析】【分析】先将这些数的绝对值相加，即得工作人员整修跑道的总路程．
