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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 37 讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程（精
讲）
题型目录一览
①直线的倾斜角与斜率
②直线的方程
③直线过定点的问题
④两直线的夹角公式
一、知识点梳理
一、直线的倾斜角和斜率
1．直线的倾斜角
若直线 与 轴相交，则以 轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与 重合所成的角称为直线 的倾斜
角，通常用 表示
（1）若直线与 轴平行（或重合），则倾斜角为
（2）倾斜角的取值范围
2．直线的斜率
设直线的倾斜角为 ，则 的正切值称为直线的斜率，记为
（1）当 时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的
（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率
（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联
系）
（4） 越大，直线越陡峭
（5）倾斜角 与斜率 的关系当 时，直线平行于轴或与轴重合；
当 时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随 的增大而增大；
当 时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角 随的增大而减小；
3．过两点的直线斜率公式
已知直线上任意两点， ， 则
（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．
（2）若 ，则直线 的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°
4．三点共线．
两直线 的斜率相等→ 三点共线；反过来， 三点共线，则直线 的斜率相
等（斜率存在时）或斜率都不存在．
二、直线的方程
1．直线的截距
若直线 与坐标轴分别交于 ，则称 分别为直线 的横截距，纵截距
（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与
“距离”相关）
（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线
2．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围
点斜式 不含垂直于 轴的直线
斜截式 不含垂直于 轴的直线
两点式 不含直线 和直线
截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 平面直角坐标系内的直线都适用
【常用结论】
1.求曲线（或直线）方程的方法
在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个
点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用
条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
2．线段中点坐标公式
若点 的坐标分别为 且线段 的中点 的坐标为 ，则 ，此公式
为线段 的中点坐标公式．
3．两直线的夹角公式
若直线 与直线 的夹角为 ，则 .
二、题型分类精讲
题型 一 直线的倾斜角与斜率
数形结 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性合法 确定
函数图
根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
象法
【典例1】已知点 ， ， ，点Q是线段AB上的动点．
(1)求直线PQ的斜率的范围；
(2)求直线PQ的倾斜角的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）两点式求直线 的斜率，数形结合判断直线PQ的斜率的范围即可；
（2）由（1）所得斜率范围，结合倾斜角范围确定直线PQ的倾斜角的范围.
【详解】（1）如下图， ， ，
则直线PQ的斜率范围为 .
（2）令直线倾斜角为 ，而直线 对应倾斜角分别为 ，
则直线PQ的倾斜角范围为 .
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】利用直线方程得到斜率，利用斜率定义求倾斜角即可.
【详解】直线 的倾斜角为 ，因为直线的斜率为 ，
，所以 .
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，若直线 的斜率分别为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可.
【详解】解析 设直线 的倾斜角分别为 ，
则由图知 ，
所以 ，
即 ．
故选：A
3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 的倾斜角为 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】根据斜率公式以及斜率的定义可得出关于 的等式，解之即可.
【详解】由题意可知，直线 的斜率为 ，解得 .
故选：A.
4．（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）若直线 的倾斜角为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据斜率的定义得 ，再利用二倍角公式及同角三角函数基本关系求解即可.
【详解】由斜率的定义有 ，所以 ，
故选：C.
5．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由导数求切线斜率不范围，利用斜率和倾斜角的关系，求倾斜角的取值范围.
【详解】设切线的倾斜角为 ，则 ，∵ ，
∴切线的斜率 ，则 .
故选：B
6．（2023秋·江西·高三校联考开学考试）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点 是
阴影部分（包括边界）的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】转化为点 与 连线的斜率，数形结合后由直线与圆的位置关系求解，
【详解】记 ，则 为直线 的斜率，
故当直线 与半圆 相切时，得k最小，
此时设 ，故 ，解得 或 （舍去），
即 ．
故选：C
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）下列说法是错误的为（ ）
A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大
B．直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α
C．斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等
D．经过任意两个不同的点 的直线都可以用方程 表
示．【答案】ABC
【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，结合直线倾斜角的性质、直线两点式方程逐一判断即可.
【详解】当直线的倾斜角为直角时，该直线不存在斜率，故选项A不正确；
当直线的斜率为 ，倾斜角为 ，故选项B不正确；
当两条直线的斜率相等，显然这两条直线的倾斜角相等，故选项选项C不正确；
根据直线的两点式方程可知选项D正确，
故选：ABC
8．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，直线l的方程为 ，则直线l的倾斜角可能为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】CD
【分析】对 分类讨论结合斜率与倾斜角的关系即得.
【详解】当 时，则直线的斜率为 ，所以直线的倾斜角可能为 ，
当 时，则直线的斜率不存在，所以直线的倾斜角为 ，
当 时，则直线的斜率为 ，所以直线的倾斜角范围为 ，不可能为0和 .
故选：CD.
三、填空题
9．（2023秋·上海普陀·高三曹杨二中校考开学考试）过 两点的直线的倾斜角为 ，那
么 .
【答案】1
【分析】根据给定条件，利用直线斜率的定义及坐标公式求解作答.
【详解】依题意，直线 的斜率 ，又 ，则 ，解得 ，
所以 .
故答案为：1
10．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 在x轴上的截距的取值范围是 ，则其斜率的取值范围是 ．
【答案】 或 .
【分析】先求出直线l所过的定点，再根据条件求解.
【详解】由直线 得： ，
令 ，解得 ，所以直线l过点 ，由题知，在x轴上的截距取值范围是 ，
如图：
所以端点处直线的斜率分别为 ，
所以 或 ；故答案为： 或 .
题型二 直线的方程
策略方法 求直线方程的两种方法
【典例1】根据条件写出下列直线的方程：
(1)斜率为 ，在 轴上的截距是 ；(2)倾斜角为 ，在 轴上的截距是 ；
(3)倾斜角是直线 的倾斜角的一半，且过点 ．
【答案】(1) 或 ；
(2) 或 ；
(3) 或 ．
【分析】（1）利用斜截式方程求解即可；
（2）先由倾斜角求出斜率 ，再设直线方程为 ，将 代入求解即可；
（3）根据倾斜角的关系求出直线斜率，再将 代入即可求解.
【详解】（1）因为直线斜率为 ，在 轴上的截距是 ，
所以由斜截式可得直线方程为 或 .
（2）因为直线倾斜角为 ，所以该直线斜率为 ，
设直线方程为 ，又因为在 轴上的截距是 ，
所以将 代入 解得直线方程为 或 .
（3）因为直线 的斜率为 ，
所以直线 的倾斜角为 ，
所以由题意得所求直线的倾斜角为 ，斜率为 ，
设所求直线为 ，将 代入可得 ，
所以所求直线方程为 或 ．【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）过点 且方向向量为 的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用直线的点斜式方程进行求解即可.
【详解】由题意可知直线的斜率 ，由点斜式方程得，
所求直线的方程为 ，即 ．
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）过点 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】可以分截距都为零和截距不为零两种情况进行考虑，截距为零，直线过原点，求出方程即可，截
距部位零，利用截距式，设出方程求解即可；也可以设出方程，求出截距，进行计算即可.
【详解】解法一 当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为 ，即 ；
当直线不过原点时，设直线方程为 ，
因为直线过点 ，所以 ，
解得 ，此时直线方程为 .
故选：
解法二 易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意.设直线方程为 ，
则 时， ， 时， ，
由题意知 ，
解得 或 ，即直线方程为 或 .
故选：
3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 经过点 ，则该直线在 轴上的截距为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】将点 代入方程得出 ，进而由 得出所求截距.
【详解】因为直线 经过点 ，所以 ，解得 ，
所以直线方程为 ，令 ，得 ．
故选：D
4．（2023秋·宁夏吴忠·高三盐池高级中学校考阶段练习）若直线 过点 ，其中 ， 是
正实数，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】由点 在直线上可知 ，结合均值不等式即可求解．
【详解】因为直线 过点 ，所以 ，
由 和 都是正实数，所以 ， ， ．
所以 ，
当 时取等号，即 ， 时取等号，所以 的最小值是 .
故选:B．
二、填空题
5．（2023·高三课时练习）经过点 和点 的直线方程是 .
【答案】
【分析】根据两点式求得直线方程.
【详解】经过点 和点 的直线方程是： ，
整理得 .
故答案为：
6．（2023·高三课时练习）第二、四象限角平分线所在直线的方程是 .
【答案】
【分析】根据倾斜角求斜率，再根据点斜式方程求解.
【详解】第二、四象限角平分线过点 ，其所在直线的倾斜角为 ，则斜率 ，则直线方
程为 .
故答案为：
7．（2023·全国·高三专题练习）若过两点 ， 的直线的斜率为12，则直线的方程为
．
【答案】
【分析】由两点斜率公式求 ，由点斜式求直线方程.
【详解】因为直线经过两点 、 且直线的斜率是 ，
所以 ，解得 ．
所以点 的坐标为 ，
所以直线的方程为 ，化简可得
故答案为：8．（2023秋·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考期末）求过点 ，并且在两轴上的截距相等的直线方
程 ．
【答案】 或
【分析】当直线经过原点时，直线的方程直接求出；当直线不经过原点时，设直线的截距式为
，把点P的坐标代入即可得出．
【详解】当直线经过原点时，直线的方程为 ，化为 ，
当直线不经过原点时，设直线的截距式为 ，
把点 代入可得： ，解得 ，
所以直线的方程为： ，
综上所述，所求直线方程为 或 .
故答案为： 或 .
9．（2023·全国·高三专题练习）已知 中的三个点在直线 上，
则 ．
【答案】5
【分析】由 可得 在同一条直线上，利用点斜式可求得该直线，然后检验 不在该直线上，
即可得到直线 ，即可求得答案
【详解】由题意可得 ， ，且直线 有公共点 ，
所以 在同一条直线上，
所以该直线为 即
由于 不满足 ，故直线 为 ，
所以 ，所以
故答案为：5
题型 三 直线 过定点的问题策略方法
合并参数是解决问题的关键点
【典例1】已知直线 的方程为：
(1)求证：不论 为何值，直线必过定点 ；
(2)过点 引直线 ，使它与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小，求 的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将直线方程改写成 形式，解方程组 即可.
（2）设出直线 的方程，分别令 、 求出相对于的y值、x值，结合三角形面积公式及基本不等式
即可求得结果.
【详解】（1）证明：由 可得： ，
令 ，
所以直线 过定点 ．
（2）由（1）知，直线 恒过定点 ，
所以设直线 的方程为 ，
令 ，则 ；令 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，三角形面积最小，
此时 的方程为 ．【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）直线 ，当 变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】整理所得直线方程为 ，根据题意，即可求得结果.
【详解】把直线方程整理为 ，
令 ，故 ，所以直线恒过定点为 .
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）直线 恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将直线变形为 ，由 且 ，即可求出定点．
【详解】将 变形为： ，令 且 ，解得
，
所以直线恒过定点 .故选：A
3．（2023·全国·高三专题练习）若 三个数成等差数列，则直线 必经过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等差数列定义可得 ，代入直线方程整理即可求得定点坐标.
【详解】 成等差数列， ，即 ，， 直线 恒过定点 .
故选：A.
4．（2023·全国·高三专题练习）直线 恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直线系方程求解即可.
【详解】将 化为 ，
联立 ，得 ，
即直线 过定点 ．
故选：C
5．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 过定点 ，直线 过定点 ，
与 的交点为 ，则 的最大值（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】由动直线的方程可得动点A，B的坐标，并且可得两条直线互相垂直，由勾股定理可得|CA|2+|
CB|2的值，再由基本不等式可得|AC|+|BC|的最大值．
【详解】对于直线 过定点A（0，0），
对于直线 ，即x +k（2+y）＝0，
则 ，可得x＝ ，y＝﹣2，故定点B（ ，﹣2），
直线 与直线 中，∵ ，∴l1⊥l2，
∵l1与l2的交点为C，
∴|CA|2+|CB|2＝|AB|2＝2+4＝6，
∴ ≤ （|CA|2+|CB|2）＝3，
∴ ≤ ，
∴|CA|+|CB|≤2 ，
当且仅当|CA|＝|CB| 时，|CA|+|CB|的最大值为2 ，
故选：D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知点 ， 与直线 ，若在直线 上存
在点 ，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设出 点坐标，由 进行化简，结合二次函数的性质求得 的取值范围.
【详解】对于直线 ，
即 ，所以 在直线 上，
设 ，其中 ，
由 两边平方得 ，
即 ，整理得 ，
由于 ，所以
，其中 ，
根据二次函数的性质可知，当 时， 取得最大值，
且最大值为 ，则 ，解得 .
故选：A
二、填空题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 则当 变化时，直线都通过定点
【答案】
【分析】整理得， ，利用 ，即可计算求得定点.
【详解】整理得，
令 ，从而该直线必过定点 .
故答案为：
8．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 在x轴上的截距的取值范围是 ，
则其斜率的取值范围是 ．
【答案】 或 .
【分析】先求出直线l所过的定点，再根据条件求解.【详解】由直线 得： ，
令 ，解得 ，所以直线l过点 ，由题知，在x轴上的截距取值范围是 ，
如图：
所以端点处直线的斜率分别为 ，
所以 或 ；
故答案为： 或 .
9．（2023·全国·高三专题练习）已知点 ，若直线 与 的延长线（有方向）
相交，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先求出 的斜率，再利用数形结合思想，分情况讨论出直线的几种特殊情况，综合即可得到答
案.
【详解】如下图所示，由题知 ，
直线 过点 .
当 时，直线化为 ，一定与 相交，所以 ，
当 时， ，考虑直线 的两个极限位置.
① 经过 ，即直线 ，则 ；
② 与直线 平行，即直线 ，则 ，
因为直线 与 的延长线相交，
所以 ，解得 ，所以 .
故答案为： .
10．（2023·全国·高三专题练习）已知点 ，设动直线 和动直线 交
于点 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由两动直线解析式可知其互相垂直，且均过定点，则交点 轨迹为圆，继而可知 的取值范围.
【详解】如图所示，由条件可知两动直线 ， 分别过原点 和 ，且
两直线互相垂直.
所以动点 的轨迹为以 为直径的圆上， ，设圆心为 ，则
显然当 三点共线时取得最值，故 ，即
故答案为：题型 四 两 直线 间夹角的问题
策略方法
若直线 与直线 的夹角为 ，则 .
【典例1】已知两条直线 ， ，其中 ，当这两条直线的夹角在 内变化时，
求 的取值范围．
【答案】
【分析】首先求得直线 的倾斜角，进而判断出两条直线的夹角在 内变动时 的倾斜角的取值范围，
进而即可求得a的取值范围.
【详解】由题知直线 的倾斜角为 ，设直线 的倾斜角为 ，则 ， 且 ，
所以过原点的直线 ， 的夹角在 内变化时，
则 ，
即 ，
解得 且 ，
故 且 ，故a的取值范围是 .
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是
60°，则k的值为（ ）
A． 或0 B． 或0
C． D．
【答案】A
【分析】先求出 的倾斜角为120°，再求出直线 的倾斜角为0°或60°，直接求斜率k.
【详解】直线 的斜率为 ，所以倾斜角为120°.
要使直线 与直线 的夹角是60°，
只需直线 的倾斜角为0°或60°，
所以k的值为0或 .
故选：A
二、填空题
2．（2023·高三课时练习）若直线 和直线 的倾斜角分别为 和 则 与 的夹角为 .
【答案】
【分析】直接利用角的运算的应用求出结果．
【详解】直线l1和l2的倾斜角分别为32°和152°，
所以直线l1和l2的夹角为180°﹣（152°﹣32°）＝60°．
故答案为：60°．
【点睛】本题考查的知识要点：直线的倾斜角及夹角的定义，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于
基础题型．3．（2023·高三课时练习）已知直线 和 的夹角为 ，那么 的值为 .
【答案】3或
【分析】先由题意，分别得到两直线的斜率，再由直线的夹角公式，即可求出结果.
【详解】记直线 和 的斜率分别为 ， ，
则 ， ，又两直线夹角为 ，
所以 ，即 ，解得 或 .
故答案为 或
