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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 38 讲 两条直线的位置关系（精讲）
题型目录一览
①两条直线的位置关系
②两条直线的交点和距离问题
③对称问题Ⅰ-点关于点和线关于点
④对称问题Ⅱ-点关于线和线关于线
⑤直线的综合问题
一、知识点梳理
一、两直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．
两直线方程 平行 垂直
（斜率存在） 或
或 中有一个为0，
另一个不存在．
（斜率不存在）
二、三种距离
1．两点间的距离
平面上两点 的距离公式为 ．
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离
2．点到直线的距离
点 到直线 的距离
特别地，若直线为l：x=m，则点 到l的距离 ；若直线为l：y=n，则点 到l的距离
3．两条平行线间的距离
已知 是两条平行线，求 间距离的方法：
（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．
（2）设 ，则 与 之间的距离
注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．
4．双根式
双根式 型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求
解．
三、直线中的对称问题
1．点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点 关于点 的对称点为 ，则根据中
点坐标公式，有 ，可得对称点 的坐标为
2．点关于直线对称
点 关于直线 对称的点为 ，连接 ，交 于 点，则 垂直平分
，所以 ，且 为 中点，又因为 在直线 上，故可得 ，解出
即可．
3．直线关于点对称
法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直
线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
4．直线关于直线对称
求直线 ，关于直线 （两直线不平行）的对称直线
第一步：联立 算出交点
第二步：在 上任找一点（非交点） ，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
第三步：利用两点式写出 方程
5．常见的一些特殊的对称
点 关于 轴的对称点为 ，关于 轴的对称点为 ．
点 关于直线 的对称点为 ，关于直线 的对称点为 ．
点 关于直线 的对称点为 ，关于直线 的对称点为 ．
点 关于点 的对称点为 ．
点 关于直线 的对称点为 ，关于直线 的对称点为 ．
四、直线系方程
1．过定点直线系
过已知点 的直线系方程 （ 为参数）．
2．斜率为定值直线系
斜率为 的直线系方程 （ 是参数）．
3．平行直线系
与已知直线 平行的直线系方程 （ 为参数）．
4．垂直直线系
与已知直线 垂直的直线系方程 （ 为参数）．
5．过两直线交点的直线系
过直线 与 的交点的直线系方程：
（ 为参数）．
二、题型分类精讲
题型 一 两条直线的位置关系
策略方法 由一般式确定两直线位置关系的方法判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，
设 （ 不全为0）， （ 不全为0），则：
当 时，直线 相交；
当 时， 直线平行或重合，代回检验；
当 时， 直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆．
【典例1】（单选题）若直线 ： 与直线 ： 平行，则 的值为
（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
【典例2】（单选题）直线 ： ， ： ，则“ 或 ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）直线 与 平行，则实数
（ ）
A． B． C． 或 D．0
2．（2023·全国·高三对口高考）直线 过点 且与直线 垂直，则 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）若平面内两条平行线 ： ， ： 间的距离为 ，则实数 （ ）
A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2
4．（2023秋·河北保定·高三校联考开学考试）已知直线 ： ， ： ，则“
”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2023秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知直线
， ，若 且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
6．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知直线 与直线 垂直，若直线 的倾斜角为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·河北·高三校联考阶段练习）已知 ，则“直线 与直线
垂直”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件，
二、多选题
8．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 ，其中 ，则（ ）
A．当 时，直线 与直线 垂直B．若直线 与直线 平行，则
C．直线 过定点
D．当 时，直线 在两坐标轴上的截距相等
9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 ： ， ： （
），则（ ）
A．直线 过定点 B．当 时，
C．当 时， D．当 时，两直线 ， 之间的距离为3
三、填空题
10．（2023·北京·高三专题练习）已知点 ，直线 ，则过点P且与直线l相交的一条直
线的方程是 ．
11．（2023·全国·高三专题练习）若直线 与 垂直，则
.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知两条平行直线 ： ， ：
，则 与 间的距离为 .
13．（2023秋·四川宜宾·高三校考开学考试）已知经过点 和点 的直线l 与经过点 和
1
点 的直线 互相垂直，则实数 .
14．（2023·全国·高三专题练习）在 中， 的内角平分线方程为 ， ， ，则角
的正切值为 ．
题型二 两条直线的交点和距离问题
策略方法 1．求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线
方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．
2．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
【典例1】（单选题）若直线 与直线 的交点在第一象限，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（单选题）设直线 与直线 的交点为P，则P到直线 的
距离为（ ）．
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）坐标原点O到直线l： 的距离是（ ）
A． B．2 C． D．
2．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）若直线 与直线 的交点在直线 上，
则实数 （ ）
A．4 B．2 C． D．
3．（2023春·河北石家庄·高三校联考期中）已知直线 ， ，给出命题 ：直线 和
与 轴的交点关于 轴对称， ：直线 与 的交点在直线 上．则（ ）A． 假 真 B． 真 真 C． 假 假 D． 真 假
4．（2023·全国·高三专题练习）设 为动点 到直线 的距离，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．3
5．（2023·全国·高三专题练习）若点 到直线 的距离为d，则d的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
6．（2023·山东潍坊·昌乐二中校考模拟预测）已知实数 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知两条直线 ，
，且 ，当两平行线距离最大时， （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2023·全国·高三专题练习）若直线 与直线 的交点位于第一象限，则直线l
的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023秋·辽宁鞍山·高三统考阶段练习）已知直线 ，点 ，记 到
的距离为 ，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
二、多选题
10．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 ： ， ： （
），则（ ）
A．直线 过定点 B．当 时，
C．当 时， D．当 时，两直线 ， 之间的距离为3
11．（2023·全国·高三专题练习）设直线系 ，下列命题中的真命题
有（ ）
A． 中所有直线均经过一个定点
B．存在定点 不在 中的任一条直线上
C．对于任意整数 ，存在正 边形，其所有边均在 中的直线上
D． 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
12．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）函数 图象上一点 到直线 的距离
可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）经过两条直线 ， 的交点，且直线的一个方向向量
的直线方程为 ．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知两条平行直线 ： ， ：
，则 与 间的距离为 .
15．（2023秋·广东佛山·高三统考开学考试）已知直线 ： ，过点 作直线，则 和 的交点坐标为 ．（用含A，B的式子表示）
16．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）若 ， ，点 在线段
（含端点）上移动，则 的最小值为 .
17．（2023·全国·高三专题练习）在 中， 的内角平分线方程为 ， ， ，则角
的正切值为 ．
18．（2023·河南开封·统考模拟预测） 的三个顶点到直线 的距离分别为1，2，3，则该三角形的重
心 到直线 的距离为 （答案不唯一，填一个即可）．
题型三 对称问题Ⅰ - 点关于点和线关于点
策略方法 对称问题的求解方法
(1)点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
(2)线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
【典例1】（单选题）已知不同的两点 与 关于点 对称，则 （ ）
A． B．14 C． D．5
【典例2】（单选题）不论实数 取何值时，直线 都过定点 ，则直线
关于点 的对称直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）点 在直线 上，直线 与 关于点 对称，则一定在直线 上的点
为（ ）A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）将一张坐标纸折叠一次，使点 与 重合，求折痕所在直线是
（ ）．
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 与 关于原点对称，若 的方程是 ，则 的方程是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称
的直线方程为（ ）
A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0
5．（2023·全国·高三专题练习）直线 关于点 对称的直线方程为（ ）
A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0
6．（2023·全国·高三专题练习）已知点 且线段 的垂直平分线的方程是 ，
则实数 的值是（ ）
A． B． C．3 D．1
7．（2023·全国·高三专题练习）在 中，已知点 ， ，且 边的中点M在 轴上，
边的中点N在 轴上，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型四 对称问题Ⅱ - 点关于线和线关于线
策略方法 对称问题的求解方法(1)点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，
则有
(2)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
【典例1】（单选题）已知点A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）关于直线4x+3y=11对称，则a，b的值为
（ ）.
A．a=-1，b=2 B．a=4，b=-2
C．a=2，b=4 D．a=4，b=2
【典例2】（单选题）已知一条光线从点 射出，经直线 反射后经过点 ，则反射光线
所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮
马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某
处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置
为 ，若将军从点 处出发，河岸线所在直线方程为 ，则“将军饮马”的最短总路
程为（ ）
A． B．5 C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）一条光线从点 射出，倾斜角为 ，遇 轴后反射，则反射光线的直
线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知点P在直线 上, ,则 的最小值为
（ ）
A． B．5 C． D．
5．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知 ， ， ，一束光线从点
出发经AC反射后，再经BC上点D反射，落到点 上．则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）点 关于直线 的对称点的坐标是 ．
7．（2023·全国·高三专题练习）如图已知 ，若光线 从点 射出，直线
反射后到直线 上，在经直线 反射回原点 ，则光线 所在的直线方程为 ．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知 的顶点 ， ，一条角平分线所在直线为
，则点A坐标为 .
9．（2023·全国·高三专题练习）在等腰直角三角形ABC中， ，点P是边AB上异于A，B的一点，光从点P出发经 反射后又回到点P，反射点为Q，R，若光线QR经过 的重心，则
.
10．（2023·全国·高三专题练习）以 为一个顶点，试在x轴上找一点B，直线l： 上找一点
C，构成 ，则 的最小周长为 .
题型 五 直线的综合问题
策略方法 处理直线方程综合应用的两大策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基
本不等式求解最值．
(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出
“动中有定”．
【典例1】（单选题）过定点A的直线 与过定点 的直线 交于点
与 不重合），则 面积的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习） 的顶点 ， 边上的中线所在的直线为 ，
的平分线所在直线方程为 ，求 边所在直线的方程（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知点A在直线 上，点B在直线 上，线段AB的中点为 ，且满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知点 ， ．若直线 与线段 相交，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
5．（2023·河南郑州·郑州外国语学校校考模拟预测）若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则该直线
在x轴、y轴上的截距之和的最小值为 ．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知 的顶点 ， 、 边中线方程分别为 、
，则直线 的方程为 ．
7．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义 为
两点之间的“折线距离”.则原点 与直线 上一点 的“折线距离”的最小值是
.
8．（2023·全国·高三专题练习）过点P(3，0)有一条直线l，它夹在两条直线l：2x－y－2＝0与l：x＋y＋
1 2
3＝0之间的线段恰被点P平分，则直线l的方程为 ．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知 ､ 分别在直线 与直线 上，且 ，点 ， ，则 的最小值为 .
