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1.4.1 有理数的乘法
1.了解有理数乘法的意义,掌握有理数的乘法法则及多个有理数相乘的符号法则,会进行有
理数的乘法运算.
2.理解有理数的乘法运算律,并会运用运算律简化运算
3.理解有理数的倒数的意义，会求一个有理数的倒数
4.能利用有理数的乘法解决实际问题
知识点一 有理数的乘法法则
1. 有理数的乘法法则
(1) 两数相乘，同号得正，异号得负,并把绝对值相乘;
(2) 任何数与0相乘,都得0.
2. 有理数乘法的运算步骤
(1)确定积的符号;(2)确定积的绝对值
注意：
确定积的符号是乘法运算中至关重要的一步,法则中的“同号得正,异号得负”是指两
数相乘,不要与有理数的加法法则混淆.
即学即练 计算：
(1) ( 1)． (2) ．
3×(-1)× - -1.2×5×(-3)×(-4)
3
(3) ( 5 ) 4 ( 3) ． (4)5 ( 1)．
- × × - ×(-6) ×(-1.2)× -
12 15 2 4 9(1)两负数相乘,第一个负因数可以不带括号,但后面的负因数必须带括号,例如
不能写成
(2)在进行乘法运算时,带分数要化成假分数，以便于约分.分数与小数相乘时,要根据
两个数的特点，统一成分数或小数.
(3)乘法运算的最后结果一定是最简分数或整数.
知识点二 倒数的概念
1. 倒数
乘积是 的两个数互为倒数.
当 时, 与 互为倒数;
当 , 时, 与 互为倒数.
注意：倒数是它本身的数只有1和-1.
2. 倒数与相反数的区别
倒数 相反数
定义 乘积是1的两个数互为倒数 只有符号不同的两个数互为相反数
表示 的倒数是 的相反数是
性质 若 , 互为倒数,则 若 , 互为相反数,则
判定 若 ,则 , 互为倒数 若 ，则 , 互为相反数
相同点 都成对出现
正数的倒数是正数,负数的倒数 正数的相反数是负数，负数的相反数
不同点
是负数，0没有倒数 是正数,0的相反数是0
3 2
即学即练2 求下列各数的倒数：（1）- ；（2）2 ；（3）-1.25；（4）5.
4 3求倒数的方法(1)一个不为0的整数的倒数就是这个数分之一;(2)求一个真分数的倒数就是
把这个分数的分子和分母交换位置;(3)求一个带分数的倒数，要先把带分数化成假分数，
然后交换分子、分母的位置;(4)求一个小数的倒数要先把小数化成分数,再求其倒数.
知识点三 多个有理数相乘
1.几个不是0的数相乘的法则
积的符号由负因数的个数决定.当负因数的个数是偶数时,积是正数;当负因数的
个数是奇数时,积是负数.确定符号后,再把这几个有理数的绝对值相乘.简记为
“偶正奇负，绝对值相乘”
2.有因数0的几个数相乘的法则
几个数相乘，如果其中有因数为0,那么积等于0.同样,若积为零则至少有一个
因数为零.
多个有理数相乘三步骤：
第1步,看因数中有没有0;
第2步,判断积的符号(根据负因数的个数);
第3步,计算积的绝对值
即学即练 计算：
(1) ( 1) ； (2) 5 4 ．
(-10)× - ×(-0.1)×6 -3× ×1 ×(-0.25)
3 6 5
在乘法运算中,一般先把式子中所有的小数化为分数,带分数化为假分数，然后再确定符号，
并把绝对值相乘.知识点四 有理数的乘法运算律
运算律 文字表达 符号语言
乘法交换律 两个数相乘,交换因数的位置,积相等
三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把
乘法结合律
后两个数相乘，积相等
一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分
乘法分配律
别同这两个数相乘，再把积相加
有理数的乘法交换律或乘法结合律一般不单独用,交换的目的是为了更好地
结合.
即学即练1 （2022秋·辽宁丹东·七年级校联考阶段练习）简便运算
(1) 1 ( 1 ) ( 1 ) (2) 17
-5× +7× - +(-12)× - -99 ×18
32 32 32 18
即学即练2 用简便方法计算：
(1)( 1 1 1) ； (2)( 11) ．
- - + ×(-36) -99 ×24
12 36 6 12
题型一 相反数、倒数、绝对值的综合应用
例1 （2022秋·河南南阳·七年级统考期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝
a+b
对值是2，求 +2m-3cd的值．
4m举一反三1 （2022秋·浙江温州·七年级校联考期中）已知a与b互为相反数，c与d互为倒
数，m是绝对值最小的数，n是最大的负整数，则：
（1）a+b=______，c⋅d=______，m=______，n=______．
（2）求 的值．
m2020-cd+(a+b)+|n|
举一反三2 （2022秋·湖南益阳·七年级校考期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，
m的绝对值为2，求(a+b+cd)m-cd的值
题型二 运用有理数的乘法运算解决实际问题
例2 （2023秋·辽宁抚顺·七年级统考期末）“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量
大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求，计划在本周每日生产5000个医用口罩，但是由
于各种原因，实际每日生产量与计划每日生产量相比情况如下表(增加的口罩数为正数，减
少的口罩数为负数)：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减(单位：个) +100 -200 +300 -150 -100 +350 +150
(1)本周产量最多的一日生产了 个口罩；
(2)本周产量最少的一日生产了 个口罩；
(3)请你根据记录求出本周实际共生产多少个口罩？举一反三1 （2023秋·山东济南·六年级统考期末）今年我区学校的菜地获得大丰收，某
中学将收获的8筐白菜捐献给敬老院，以每筐25kg为标准，超过的千克数记作正数，不足
的千克数记作负数，称重后的记录如下：1.5，-3，2，-0.5，1，-2，-2，-2.5．
(1)这8筐白菜总计超过或不足标准多少千克
(2)这8筐白菜一共多少千克；
(3)如果这8筐白菜按每千克2元折价，求这8筐白菜价值是多少元．
举一反三2 （2023秋·广东揭阳·七年级统考期末）某粮库3天内粮食进、出库的吨数如
下（“+”表示进库“-”表示出库）+25，-22，-14，+35，-38，-20．
(1)经过这3天，仓库里的粮食是增加了还是减少了？
(2)如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这3天要付多少装卸费？
题型三 有理数乘法的规律探究
1 1 1 1 1
例3 （2023秋·广东韶关·七年级统考期末）已知： =1- ， = - ，
1×2 2 2×3 2 3
1 1 1
= - ，……
3×4 3 41
（1）请按以上规律接着写出： = ；
4×5
1 1 1 1
（2）计算： + + +⋅⋅⋅+ = ．
1×2 2×3 3×4 2022×2023
举一反三1 （2022秋·浙江金华·七年级统考期中）我们知道：
1 2 1 1 1 1 3 2 1 1 1 4 3 1
1- = - = ； - = - = ； - = - = ；
2 1×2 1×2 1×2 2 3 2×3 2×3 2×3 3 4 3×4 3×4 3×4
1 1 1 1 1 1 1 1
…，反过来，可得： =1- ； = - ； = - ；…，各式相加，可得：
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
+ + =1- + - + - =1- = ．
1×2 2×3 3×4 2 2 3 3 4 4 4
根据上面的规律，解答下列问题：
1 1 1 1 1 1
(1) + + + + + =___________；
1×2 2×3 3×4 4×5 5×6 6×7
1 1 1 1
(2)计算： + + +⋅⋅⋅+ ；
1×5 5×9 9×13 97×101
1 1 1 1
(3)计算： + + +⋅⋅⋅+ ．
1×4×7 4×7×10 7×10×13 94×97×100
举一反三2 （2022秋·河北保定·七年级校联考期中）观察下列各式：
1 1
-1× =-1+
2 2
1 1 1 1
- × =- +
2 3 2 3
1 1 1 1
- × =- +
3 4 3 4……
(1)按照上述规律，第4个等式是：________________________________
(2)第n个等式是：________________________
(3)运用你发现的规律计算：( 1 1) ( 1 1)
- × + - ×
5 6 6 7
(4)( 1) ( 1 1) ( 1 1) ( 1 1 ) ________
-1× + - × + - × +⋯+ - × =
2 2 3 3 4 2021 2022
一、单选题
1．（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）若|x|=2，|y|=4，且xy<0，则x+ y的值为
（ ）
A．6 B．±2 C．±6 D．-2
2．（2023春·上海长宁·六年级校联考期末）下列说法正确的是（ ）
A．任何一个数都有倒数 B．分数都是有理数
C．-a是负数 D．绝对值等于本身的数是正数
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）下列说法：①-a
一定是负数；②如果a>b，那么a2>b2；③整数和分数统称为有理数；④六个有理数相乘，
若只有两个负因数，则积为正数，其中正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023秋·山西晋中·七年级统考期末）计算
，运算中运用的运
(-0.125)×20×(-8)×(-0.8)=[(-0.125)×(-8)]×[20×(-0.8)]=-16
算律为（ ）．
A．乘法交换律 B．乘法分配律
C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律
5．（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为3125，则第2023次输出的结果为（ ）
A．1 B．5 C．25 D．625
6．（2023秋·重庆万州·七年级统考期末）定义一种新运算“⊗”，规定：a⊗b=2a-3b
等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：
2⊗(-3)=2×2-3×(-3)=4+9=13，1⊗2=2×1-3×2=2-6=-4．则
的值是（ ）．
(-1)⊗[3⊗(-2)]
A．-2 B．-18 C．-28 D．-38
7.（2022秋·湖北武汉·七年级统考期中）观察等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；
2+22+23+24=25-2；……，已知按一定规律排列的一组数：251，252，……2101．若
250=a，用含a的式子表示这组数的和是（ ）
A．2a2-a B．2a2-2a C．4a2-a D．4a2-2a
二、填空题
1 1
1．- 的相反数是 ，- 是的倒数是 ．
2 2
2．如果a,b互为倒数，c,d互为相反数，那么d-5ab+c= ．
3．如图1，A，B，C是数轴上从左到右排列的三点，在数轴上对应的数分别为-4，b，
3，某同学将刻度尺按图2方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对
齐刻度尺1.5cm处，点C对齐刻度尺3.5cm处．
（1）在图1的数轴上，AC= 个单位长度．
（2）数轴上点B所对应的数b为 ，一质点P从点C处向点B方向跳动，第一次跳动到
CB的中点P 处，第二次从P 点跳动到P B的中点P 处，第三次从P 点跳动到P B的中点
1 1 1 2 2 2
P 处，如此跳动下去，则第四次跳动后，数轴上点P 所表示数为 ．
3 4
4．（2023秋·四川达州·七年级四川省大竹中学校考期中）阅读下列材料：|x|=¿，即当x x x x
x>0时， = =1；当x<0时， = =-1，请用上述结论解决问题：已知a，b，c是
|x| x |x| -x
b+c a+c a+b
有理数，a+b+c=0，abc<0，求 + + -3的值为 ．
|a| |b| |c|
三、解答题
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第十七中学校校考期中）计算：
(1) 1 ( 1) ( 1) 2； (2) (3 5 7)．
3 + - - - +2 (-72)× - +
2 2 3 3 4 6 9
2．（2023秋·四川眉山·七年级统考期末）“滴滴”司机沈师傅从上午8：00~9：15在东西
方向的道路上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负．沈师博营运十批
乘客里程如下：
+8，-6，+3，-7，+8，+4，-9，-4，+3，-3（单位：千米）．
(1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅位于第一批乘客出发地的什么方向？距离多少？
(2)上午8:00~9:15沈师傅开车行驶总路程为多少千米？
(3)若“滴滴”的收费标准为：起步价8元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千
米2元．则沈师傅在上午8:00~9:15一共收入多少元？
3．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）对于实数a、b，定义运算“*”，a*b=¿，例
如5*3，因为5>3，所以5×3=52-5×3=10，若x ，x 在数轴上对应的点分别到原点的
1 2距离相等，且两点间的距离为8，求x *x 的值．
1 2
