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专题 9.8 不等式与不等式组（全章知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等
式。
（1）能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
（2）不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集。
（3）求不等式解集的过程叫解不等式。
（4）由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组。
（5）不等式组的解集：一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分。
【知识点二】等式基本性质
性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式。
性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式。
【知识点三】不等式的基本性质
性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。（注：移项要变
号，但不等号不变。）
性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
【知识点四】解不等式的步骤：
（1）去分母； （2）去括号； （3）移项、合并同类项； （4）系数化为1。
【知识点五】解不等式的步骤：
（1）解出不等式的解集； （2）在同一数轴表示不等式的解集； （3）写出不等式组的解
集。
【知识点六】列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：
（1）审题； （2）设未知数，找（不等量）关系式；
（3）设元，(根据不等量)关系式列不等式(组) ； （4）解不等式组；检验并作答。
【核心考点目录】【考点一】不等式的基本性质； 【考点二】一元一次不等式；
【考点三】一元一次不等式组； 【考点四】一元一次不等式的应用；
【考点五】一元一次不等式与一元一次不等式组综合；
【考点一】不等式的基本性质；
【例1】．（23-24八年级下·陕西西安·期中）已知 ，请比较下列各式的大小，并说明理由．
(1) 与 ； (2) 与 ．
【答案】(1) ，见解析； (2) ，见解析
【分析】本题考查的是不等式的基本性质，熟知①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含
有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ．
【变式1】（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）若 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查不等式的性质，根据不等式的性质进行判断即可
解：A.∵ ，
∴ ，故选项A说法不正确，不符合题意；
B. ∵ ，
∴ ，故选项B说法不正确，不符合题意；C. ∵ ，
∴当 时， 不存在，故选项C说法不正确，不符合题意；
D. ∵ ，且 ，
∴ 说法正确，符合题意；
故选：D
【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）如果关于 的不等式 的解集是 ，那么 ，
满足的等量关系是 ， 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解不等式，不等式的性质，根据题意得出 ， ，即可求解．
∵不等式 的解集是 ，
∴ ， ，
∴ ， ．
故答案为： ， ．
【考点二】一元一次不等式；
【例2】（23-24九年级下·河北沧州·期中）数轴上有M，N两点，点M表示的数为 ，点N表示的数
为 ．
(1) 当 时，求点N表示的数；
(2) 若点N在点M的左侧，求m的最大整数值．
【答案】(1) ; (2) 2
【分析】本题考查数轴上点表示数、代数式求值、一元一次不等式等知识点，掌握数轴上点表示数的大小
与位置关系列出一元一次不等式解法是解题关键．
（1）解：当 时，求点N表示的数为 ．（2）解：∵若点N在点M的左侧，
∴ ，
解得： ，
∴m的最大整数值为2．
【变式】（23-24七年级下·福建漳州·期中）已知关于x、y的方程组 ，
①当 时，方程组的解也是 的解；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④无论k取何值，x、y的值都不可能互为相反数．
以上结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，一元一次不等式的解法等知识，
理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质和等量代换是解题关键．将 代入原方程组得
解：将 代入原方程组得 ，
∴ ，
解得 ，
将 与 代入方程 左右两边，
左边 ，右边 ，
∴当 时，方程组的解也是 的解，故①符合题意；
方程组 ， 得 ，若 ，则 ，解得 ，故②不符合题意；
方程组 ，
∴ 得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；故③不符合题意；
∵ ， ，
∴ ，
∴无论k取何值，x、y的值都不可能互为相反数，故④符合题意．
故选：B
【考点三】一元一次不等式组；
【例3】（23-24八年级下·江西吉安·期中）解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表
示出来．
【答案】 ，数轴表示见解析
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，
再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进
而在数轴上表示不等式组的解集即可．
解；
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，∴不等式组的解集为 ，
数轴表示如下所示：
【变式1】（23-24八年级下·福建三明·期中）若关于 的不等式组 恰有3个整数解，则 的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查解不等式组，先解含参的不等式组，根据不等式组恰有3个整数解得到关于 的不等式
组，求解即可．根据解集的情况得到关于 的不等式组是解题的关键．
解： ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
∵不等式组恰有3个整数解，
∴ ，解得 ，
故选：A．
【变式2】（23-24八年级下·广东深圳·期中）关于x的方程 的解是一个非负数，则a的取值范
围是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查一元一次方程的解及解一元一次不等式，由 得 ，即可 ，从
而解得答案．
解：由 得 ，
∵x的方程 的解是一个非负数，
∴ ，
解得 ，故答案为： ．
【考点四】一元一次不等式（组）的应用
【例4】（23-24八年级下·广东茂名·期中）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今
已有4000多年的历史，中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．
某学校为活跃学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋，已知购买3副象棋和2副围棋共需160元，购买2
副象棋和3副围棋共需165元．
(1)求每副象棋和围棋的价格；
(2)若学校准备购买象棋和围棋总共100副，且总费用不超过3225元，则最多能购买多少副围棋？
【答案】(1)每副象棋的价格为30元，每副围棋的价格为35元; (2)最多能购买45副围棋
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，找准数量关系，正确的列出
方程组和不等式，是解题的关键．
（1）解：设每副象棋的价格为x元，每副围棋的价格为y元．
依题意得 ，解得 ．
答：每副象棋的价格为30元，每副围棋的价格为35元．
（2）设购买m副围棋，则购买 副象棋．
依题意得： ，解得 ．
答：最多能购买45副围棋．
【变式1】（23-24八年级下·山西晋中·期中）解决好老百姓的操心事、烦心事，是政府一定要办好的实事．
在 年太原市政府工作报告中，提出今年太原市在承接好省民生实事的基础上，再全力办好 件民生
实事，其中将新建二类以上公厕 座（含一类公厕和二类公厕）．若新建的一类公厕的数量不低于二类
公厕的 ，则一类公厕最少要建的数量x（座）满足的不等式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．理解题意，正确的列不等式是解题的关键．
设一类公厕要建的数量x座，则二类公厕要建的数量 座，依题意得， ，然后作答即可．
解：设一类公厕要建的数量x座，则二类公厕要建的数量 座，
依题意得， ，
故选：B．
【变式2】（23-24七年级下·河南鹤壁·期中）某计算机运行程序如图所示，规定：从“输入 ”到“结果
是否 ”为一次程序操作，如果程序操作进行了2次后就停止，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的应用，程序框图的含义，由题意建立不等式组
，再解不等式组即可．
解：由题意可得
解不等式①，得 ．
解不等式②， ，
得 ．
的取值范围为 ．
故答案为：
【例5】（23-24七年级下·福建泉州·期中）某学校准备到文化用品商店购买数学实验器材A和B，若购
买4件器材A和3件器材B共需要580元，若购买3件器材A和3件器材B共需要450元．
(1)求每件器材A，B的销售价格；
(2)学校准备用不多于2460元的金额购买这两种器材共24件，其中购买器材A不少于15件，请求出学校购
买这些器材的所有可能的方案．【答案】(1)每件器材A的销售价格为130元，每件器材B的销售价格为20元; (2)四种方案，详见解析
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组以及二元一次方程组的应用．
（1）解：设每件器材A为x元，每件器材B为y元，由题可得方程组为：
解得：
所以每件器材A的销售价格为130元，每件器材B的销售价格为20元；
（2）解：设器材A买a件，器材B买 件，
由题可得方程组为：
解得： ，
因为a为整数，
所以 ，
故有以下四种方案：
方案一：买A器材15件，B器材9件：
方案二：买A器材16件，B器材8件；
方案三：买A器材17件，B器材7件：
方案四：买A器材18件，B器材6件．
【变式1】（22-23八年级下·四川达州·期中）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还
剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列
各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】若设同学人数为x人，则植树的棵数为 棵，根据“每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植
树的棵数不到 8 棵”列一元一次不等式组即可．解：若每人平均植树 9 棵，则 位同学植树棵数为 ，
∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为 棵，
∴可列不等式组为： ．
故选：C．
【点拨】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键．
【变式2】（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结
果是否大于100”为一次运算，若结果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为m的
值再进行第二次运算．已知运算进行了三次后停止，则m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解程序表达的意思列式是解题的关键．根据“若结
果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为m的值再进行第二次运算．已知运算进
行了三次后停止，”列式，然后解不等式，即可作答．
解：∵结果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为m的值再进行第二次运算．
已知运算进行了三次后停止，
∴
由 ，得 ；
由 ，得
即
故答案为：
【考点五】一元一次不等式与一元一次不等式组综合【例6】（16-17七年级下·江苏南通·期中）现场学习：我们学习了由两个一元一次不等式组成的不等式
组的解法，知道可以借助数轴准确找到不等式组的解集，即两个不等式的解集的公共部分．
(1)解决问题：解不等式组 ，并利用数轴确定它的解集；
(2)拓展探究：由三个一元一次不等式组成的不等式组的解集是这三个不等式解集的公共部分．
①直接写出 的解集为_________．
②已知关于x的不等式组 无解，则a的取值范围是_________．
【答案】(1)见解析， ； (2)①−2＜x＜3；②a≥2．
【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，然后将不等式的解集在数轴上表示出来，即可得到不等式
组的解集；
（2）①借助数轴可得不等式组的解集；②根据确定不等式组解集的口诀即可得出答案．
（1）解： ，
解不等式①得：x≥ ，
解不等式②得：x＜3，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
∴不等式组的解集为： ；
（2）（2）①如图：由数轴知 的解集为：−2＜x＜3；
故答案为：−2＜x＜3；
②∵关于x的不等式组 无解，
∴a≥2，
故答案为：a≥2．
【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式1】1．（22-23八年级上·陕西·期末）在一次野外拓展活动中，教练员要将全班50名学生恰当的分
成4人小组或6人小组，则分组方案有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
【答案】B
【分析】设分成 组4人小组， 组6人小组，再根据“全班50名学生”建立方程 ，然后找出
方程的所有正整数解即可得．
解：设分成 组4人小组， 组6人小组，
由题意得： ，
解得 ，
因为 都是正整数，
所以 ，且 是正偶数，
解得 ，且 是正奇数，
①当 时， ，符合题意；②当 时， ，符合题意；
③当 时， ，符合题意；
④当 时， ，符合题意；
综上，分组方案有4种，
故选：B．
【点拨】本题考查了二元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程是解题关键．
【变式2】2．（2019·浙江宁波·一模）探究：满足不等式 的最小正整数n＝ ．
【答案】25.
【分析】本题可对不等式进行移项，然后令不等式两边同时平方、化简，找出最小正整数即为n的值．
解：由 得：
＜0.02+1，
∴ ＜1.0404，
∴1+ ＜1.0404，
∴ ＜0.0404，
∴n＞
因此n＝25．
故答案为25．
【点拨】本题考查了不等式和平方根的求解．关键是由＜0.0404到n＞，不等号要改变．
