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专题第 01 讲 解直角三角形的实际应用
1．（2023•绍兴）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，
支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5米，
AD＝0.8米．∠AGC＝32°．
（1）求∠GAC的度数；
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面 3米处，那么他
能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
2．（2023•长沙）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发
射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地
面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后
飞船到达B处，此时测得仰角为45°．
（1）求点A离地面的高度AO；
（2）求飞船从A处到B处的平均速度．（结果精确到0.1km/s，参考数据： ≈1.73）
3．（2023•湘潭）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上
的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的 O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．
当t＝0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM＝30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．
⊙
问题解决：
（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；
（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据 ≈1.414，
≈1.732）
4．（2023•陕西）小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼AB与CD的高度差．如图所示，她站在自家
阳台上发现，在阳台的点E处恰好可经过楼CD的顶端C看到楼AB的底端B，即点E，C，B在同一直线上．此时，测得点B的俯角 ＝22°，点A的仰角 ＝16.7°，并测得EF＝48m，FD＝50m．已知，
EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，点F，D，B在同一水平直线上．求楼AB与CD的高度差．（参考数据：
α β
sin16.7°≈0.29，cos16.7°≈0.96，tan16.7°≈0.30，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
5．（2023•衡阳）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，
圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部 24 米
的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°，CD长为
49.6米．已知目高CE为1.6米．
（1）求教学楼AB的高度．
（2）若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4 米/秒的速度继续向前匀速飞行．求经过多少
秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB．
6．（2023•辽宁）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶600m高的山峰，由山底A
处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A，B，D，E，F在同一平面
内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）．（1）求登山缆车上升的高度DE；
（2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分
钟（结果精确到0.1min）．
（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
7．（2023•苏州）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，
BE，CD，GF为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱AH连接（AH垂直于MN，垂足为H），
在B，C处与篮板连接（BC所在直线垂直于MN），EF是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F处的螺栓
改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度）．已知AD＝BC，DH＝208cm，测得∠GAE＝60°时，点C离地面的高度为288cm．调节伸缩臂EF，将
∠GAE由60°调节为54°，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数
据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6）
8．（2023•河南）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，
AB＝30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点 D，A与树顶E在一
条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，
到树EG的距离AF＝11m，BH＝20cm．求树EG的高度（结果精确
到0.1m）．9．（2023•丹东）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它北偏东31°方向上，继续向东
航行10nmile到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西61°方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短
距离．（结果精确到0.1nmile）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin61°≈0.87，
cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）．
10．（2020秋•苍梧县期末）如图，从水平面看一山坡上的通讯铁塔PC，在点A处用测角仪测得塔顶端点
P的仰角是45°，向前走9米到达B点，用测角仪测得塔顶端点P和塔底端点C的仰角分别是60°和
30°．
（1）求∠BPC的度数；
（2）求该铁塔PC的高度．（结果精确到0.1米；参考数据： ≈1.73， ≈1.41）11．（2022秋•源汇区校级期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出
了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱BC＝18cm，
灯臂CD＝31cm，灯罩DE＝24cm，BC⊥AB，CD、DE分别可以绕点C、D上下调节一定的角度．经使
用发现：当∠DCB＝140°，且ED∥AB时，台灯光线最佳．求此时点D到桌面AB的距离．（精确到
0.1cm，参考数值：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
12．（2023春•巴南区期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西54°方向上，与C
的距离是800海里，B在C的南偏西36°方向上，与C的距离是600海里．
（1）求点A与点B之间的距离；
（2）若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时
会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽
略不计）．
13．（2022秋•宁波期末）如图1是一个简易手机支架，由水平底板DE、侧支撑杆BD和手机托盘长AC
组成，侧面示意图如图2所示．已知手机托盘长AC＝10cm，侧支撑杆BD＝10cm，∠CBD＝75°，
∠BDE＝60°，其中点A为手机托盘最高点，支撑点B是AC的中点，手机托盘AC可绕点B转动，侧支
撑杆BD可绕点D转动．
（1）如图2，求手机托盘最高点A离水平底板DE的高度h（精确到0.1cm）．（2）如图3，当手机托盘AC绕点B逆时针旋转15°后，再将BD绕点D顺时针旋转 ，使点C落在水
平底板DE上，求 （精确到0.1°）．（参考数据：tan26.6°≈0.5， ≈1.41， ≈1α.73）
α
14．（2022秋•平昌县校级期末）如图，某渔船沿正东方向以 30海里/小时的速度航行，在A处测得岛C
在北偏东60°方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛C周围9海里内
有暗礁．
参考数据： ≈1.732，sin75°≈0.966，cos75°≈0.259．
（1）B处离岛C 海里．
（2）如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．（3）如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？说明理由．
15．（2022秋•平城区校级期末）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高
度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控
者A和小区楼房BC之间的距离为45米，无人机的高度为 米．（假定点A，B，C，D都在
同一平面内．参考数据： ， ．计算结果保留根号）
（1）求此时小区楼房BC的高度；
（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向右匀速飞
行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？16．（2022秋•岳麓区校级期末）如图，在一笔直的海岸线 l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向．
有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得
B，P两点之间的距离为20海里．
（1）求观测站A，B之间的距离（结果保留根号）；
（2）渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北
偏西15°的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，
请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据： ≈1.73）17．（2022秋•阳泉期末）“十一”期间，王红与家人开车去乡下看望爷爷和奶奶．她看到汽车尾部自动
升起的后备箱，于是根据实际情况画出了相关的示意图．图1是王红家私家车侧面示意图，其中矩形
ABCD表示该车的后备箱，图2是在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A顺时针方向旋转，当旋
转角为60°时，箱盖ADE落在AD'E'的位置的示意图．王红测得AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40
厘米．根据王红提供的信息解答下列问题：
（1）求点D'到BC的距离；
（2）求点E运动的距离．18．（2022秋•鄞州区期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置 A处，OA与地
面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．
若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8m和2.4m，∠BOC＝90°．
（1）△CEO与△ODB全等吗？请说明理由．
（2）爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？
（3）秋千的起始位置A处与距地面的高是 m．19．（2022秋•蒙城县期末）北京时间2022年6月5日10时44分，神舟十四号载人飞船在酒泉发射升空，
为弘扬航天精神，某校在教学楼上从楼顶位置悬挂了一幅励志条幅GF．如图，已知楼顶到地面的距离
GE为18.5米，当小亮站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教
学楼方向前行15米到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条
幅底端F的仰角为42°，若AB，CD均为1.7米（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算：
（1）当小亮站在B处时离教学楼的距离BE；
（2）求条幅GF的长度．（结果精确到 0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin42°≈0.67，
cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
20．（2022秋•北碚区校级期末）如图，某工程队从A处沿正北方向铺设了184米轨道到达B处．某同学
在博物馆 C 测得 A处在博物馆 C 的南偏东 27°方向，B处在博物馆 C 的东南方向．（参考数据：
sin27°≈0.45，cos27°≈0.90，tan27°≈0.50， ≈2.45．）
（1）请计算博物馆C到B处的距离；（结果保留根号）
（2）博物馆C周围若干米内因有绿地不能铺设轨道．某同学通过计算后发现，轨道线路铺设到 B处时，
只需沿北偏东15°的BE方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开绿地．请计算博物馆C周围至少多少
米内不能铺设轨道．（结果精确到个位）21．（2022秋•辽宁期末）“愚公移山”是我国著名寓言故事，它告诉了我们坚持不懈的道理．某日，小
张穿越至愚公的年代，碰到了移山的众人．
（1）在运输山石等杂物时，有两条路可行，已知A，B间的直线距离为50里（如图1所示）．
线路1：折线ACDB，已知点C在点A东北方向，点B在点D东偏南53°方向，CD∥AB，且C，D间的
距离为30里；
线路2：以AB为直径的半圆．如果仅从远近考虑，小张应该告知愚公选取哪一条线路使得路程更短？
请你通过计算说明理由．
（2）愚公为了能够更精确地了解所移之山MN的高度，请求小张帮其测量．如图2所示，已知在山MN的后方有一座高140米的小山PQ，小张站在线段QN上的点E处，EQ＝480米，此时小张测得点M的
仰角为60°，随后小张到达小山山顶点P处测得点M的仰角为21°，请你帮小张求出山高MN的值．
（结果保留 3 位有效数字，以下为参考三角比与数值） ； ；
sin39°≈0.63； ；
22．（2023春•通河县期末）如图，一艘轮船以每小时35海里的速度向东航行，在A处观测到在它的东北
方向（北偏东45°）点C处有一艘捕渔船，2小时后轮船到达点B处，突然收到渔船的求救信号，此时
观测到渔船C位于点B的北偏东15°方向上．
（1）求∠ACB的度数；
（2）轮船收到求救信号后，立即沿BC以每小时 海里的速度赶往C处救援，那么轮船需多少小时
赶到C处？23．（2022秋•静安区校级期末）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至B 层之间安装电梯，
1
截面图如图所示，底层与B 层平行，层高AD为9米，A、B间的距离为6米，∠ACD＝20°．
1
（1）请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在B处会不会碰到头？请说明理由．
（2）若采取中段平台设计（如图虚线所示）．已知平台EF∥DC，且AE段和FC段的坡度i＝1：2，求
平台EF的长度．
【参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36】24．（2022秋•益阳期末）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：
“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m的筒车 O按逆时针方向每分钟转 圈，筒车与水面分别
交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某
⊙
个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．
（1）经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？
（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？（3）若接水槽MN所在直线是 O的切线，且与直线AB交于点M，MO＝8m．求盛水筒P从最高点开
始，至少经过多长时间恰好在直线MN上．
⊙
（参考数据：cos43°＝sin47°≈ ，sin16°＝cos74°≈ ，sin22°＝cos68°≈ ）
25．（2023•海南）如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行
20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，测得港口C位于B的北偏东45°方向上．已
知港口C在灯塔M的正北方向上．
（1）填空：∠AMB＝ 度，∠BCM＝ 度；
（2）求灯塔M到轮船航线AB的距离（结果保留根号）；
（3）求港口C与灯塔M的距离（结果保留根号）．26．（2023•阜新）如图，小颖家所在居民楼高AB为46m．从楼顶A处测得另一座大厦顶部C的仰角 是
45°，而大厦底部D的俯角 是37°．
α
（1）求两楼之间的距离BD．
β
（2）求大厦的高度CD．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）27．（2023•盘锦）如图，一人在道路上骑行，BD段是坡路，其余为平路，当他路过A，B两点时，一架
无人机从空中的C点处测得A，B两点的俯角分别为30°和45°，AB＝40m，BD＝20m，∠BDF＝159°，
点A，B，C，D，E，F在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长．（结果精确到整数，
参考数据： ≈1.73，sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38）28．（2023•济南）图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，
∠ABC＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的
夹角∠B'AD＝27°．
（1）求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地面l的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510， ≈1.732）
29．（2023•贵州）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观
光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最
终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD
与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同
一平面内，点A、E、F在同一水平线上）（1）求索道AB的长（结果精确到1m）；
（2）求水平距离AF的长（结果精确到1m）．
（参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26， ）
30．（2023•内蒙古）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为
出发点，途中设置两个检查点，分别为 B点和C点，行进路线为A→B→C→A．B点在A点的南偏东
25°方向3 km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°．
（1）求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；
（2）求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）．
