文档内容
1.5.1 有理数的乘方
1. 理解有理数的乘方的意义，并能进行乘方运算
2. 掌握有理数的混合运算顺序,并能熟练、正确地进行计算
3. 借助生活进一步感受较大的数,并能用科学记数法表示绝对值大于 10 的数
4. 了解近似数的意义，能按要求取近似数
知识点一 有理数乘方的意义
1. 乘方的定义
求 个相同因数的积的运算,叫做乘方.
⏟a÷a÷a÷⋯÷a
一般地， ，记作 ，读作“ 的 次方”．
n个a
当 看作 的 次方的结果时,也可读作“ 的 次幂”
2. 乘方的意义
乘方的结果叫做幂，在 中， 叫做底数， 叫做指数,是指因数的个数.
(1)一个数可以看作这个数本身的一次方.例如 就是 , 就是 ,指数1通常
省略不写,指数是2时读作平方,指数是3时读作立方.
(2) 乘方与幂不同,乘方是一种运算,幂是乘方的结果，乘方与幂的关系就如同
乘法与积的关系.
注意：底数是负数或分数时要加括号
即学即练 （2023春·北京朝阳·七年级校考期末）(1) 4 的底数是 ，指数是 ，
8
写成积的形式是 ．
知识点二 有理数乘方运算的符号规律
(1)正数的任何次幂都是正数
(2)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数(3)0的任何正整数次幂都是0
在进行乘方运算时,应将乘方运算转化为乘法运算来完成,先确定幂的符号,再计
算幂的绝对值
归纳
(1) 任何数的偶次幂都是非负数，即 .
(2) 1的任何次幂都是 1.
(3)-1的偶次幂是1，即 ;-1的奇次幂是-1,即 .
(4) (1)互为相反数的两个数的奇次幂仍然互为相反数，即若 a+b=0,则
;
(5) (2)互为相反数的两个数的偶次幂相等，即若a+b=0,则
即学即练 计算：
(1) ；
(-3) 3
(2) ；
(-1.5) 2
(3)( 1) 2；
-
7
(4) ；
-(-3) 2
(5) ．
-(-2) 3
知识点三 有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序
(1)先乘方,再乘除,最后加减;
(2)同级运算，从左到右进行;
(3)如有括号先做括号内的运算按小括号中括号大括号依次进行.
1
即学即练 （2023秋·河南周口·七年级校考期末）（1）-14-(1-0.5)× ×[2-(-3) 2]；
3（2）(3 1 5) ．
- - ×(-12)
4 3 6
题型一 有理数幂的概念理解
例1 （2023秋·河北邢台·七年级统考期末）在计算 时，结果
(-2) 3+(-2) 3+(-2) 3+(-2) 3
可表示为（ ）
A．-25 B．-26 C．-24 D．-24
举一反三1 （2023春·陕西咸阳·七年级统考期末）若一个幂的底数为5，指数为3，则这
个幂写作 （只写形式，不计算结果）
举一反三2 （2023春·江苏南京·七年级统考期中）已知 a=-(0.3) 2 ， b=3-1 ， c= ( - 1) 0 ，
3
a，b，c的大小关系为 （用“<”号连接）．
题型二 有理数的乘方运算
例2 （2023秋·四川眉山·七年级统考期末）若 ，则 ．
|a+1|+(b-2023) 2=0 ab=
举一反三1（2023春·北京朝阳·七年级校考期末）下列各组运算中，运算后结果相等的是
（ ）A．
43
和
34
B．
-|5| 3
和
(-5) 3
C．
-42
和
(-4) 2
D．(
-
2) 2和(
-
3) 3
3 2
举一反三2（2023秋·内蒙古包头·七年级包钢第三中学校考期末）若|
a+
1|
+(b-3) 2=0
，
3
则 的值为（ ）
(ab) 2021
A．1 B．-1 C．0 D．2
题型三 有理数乘方逆运算
例3 （2023秋·内蒙古包头·七年级包钢第三中学校考期末）若|
a+
1|
+(b-3) 2=0
，则
3
的值为（ ）
(ab) 2021
A．1 B．-1 C．0 D．2
举一反三1 （2023春·广西崇左·七年级统考期末）若a2=4，b2=9，且a<0，ab<0，则
a-b的值为 ．
举一反三2 （2023秋·河南安阳·七年级统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．若|a|=a，则a是正数 B．若m>0，mn<0，则n<0
C．倒数等于它本身的数是1 D．若x2=4，则x=2
题型四 乘方运算的符号规律
例4 （2023秋·河北唐山·七年级统考期末）下列各数为负数的是（ ）
A． B． C． D．
|-2| -22 (-2) 2 -(-2)
举一反三1 （2023秋·湖北武汉·七年级校考期末）已知a<0，则下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
a2<0 |a|=-a a3>-a2 |a2|=-a2
1
举一反三2 （2023秋·福建莆田·七年级统考期末）下列各式x、x2、 、x2+2、|x+2|中，
|x|
值一定是正数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型五 乘方的应用
例5 （2023秋·浙江宁波·七年级统考期末）已知 ，则 的值为
|x-2|+(y+8) 2=0 x+ y
（ ）
A．10 B．不能确定 C．-6 D．-10
举一反三1 （2023秋·安徽亳州·七年级统考期末）一条1m长的钢丝，第一次剪的去钢丝
1 1
的 ，第二次剪去剩下钢丝的 ，如此剪下去，第2023次剪完后剩下钢丝的长度是（ ）
4 4
A．(1) 2023 B．(1) 2022 C．(3) 2023 D．(3) 2022
m m m m
4 4 4 4
举一反三2 （2023秋·四川达州·七年级统考期末）（概念学习）规定：求若干个相同的
有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)等．
类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，
记作 ，读作“ 的圈4次方”，一般地，把
(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3) (-3) ④ -3
⏟a÷a÷a÷⋅⋅⋅÷a(a≠0)
记作 ，读作“a的圈n次方”．
n个(1)直接写出计算结果： ______，( 1) ④ ______．
5③= - =
3
(2)（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为
乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算此处不用作答）
试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式 ______；(1) ⑩
(-3) ⑤= =
2
______．
(3)算一算： -92÷ ( - 1) ⑤ × ( - 1) ④ - ( - 1) 4 ÷5④ ．
3 4 5
题型六 含乘方的有理数四则混合运算
例6 （2023秋·内蒙古包头·七年级包钢第三中学校考期末）计算：
1 11 13
(1)(-12)×( - + )；
4 3 6
1
(2)(-2) 3+[-9+(-3) 2× ]．
3
举一反三1 （2023秋·海南海口·七年级校联考期末）计算
(1) ( 3) 5；
5×(-3)+(-12)× - -
4 2
(2) (5 7 1)；
(-48)× -1+ -
6 12 8(3)[ (-1) 2023+(-3) 2× (1 - 1)] × 3 ÷(-0.12) ．
3 2 10
举一反三2 （2023秋·河南洛阳·七年级统考期末）计算：
(1)( 3 7 7 ) ( 7) ；
1 - - ÷ - +1
4 8 12 8
1
(2)-12020-(1-0.5)× ×[2-(-3) 2]．
3
题型七 有理数四则混合运算的实际应用
例7 （2023春·江西景德镇·七年级统考期中）某城市自来水收费实行阶梯价，收费标准是：
若每户每月用水量不超过8立方米，按每立方米2元收取水费；若每户每月用水量超过8
立方米，其中8立方米部分还是按每立方米2元收取水费，超过部分按每立方米4.5元收取
水费．该城小宇家3月份用水12立方米，则3月份小宇家应交水费 元．
举一反三1 （2023秋·湖南娄底·七年级统考期末）小华家买了一辆轿车，他连续10天记
录了他家轿车每天行驶的路程，以40千米为标准，超过或不足部分分别用正数、负数表示，
得到的数据如下（单位：km）：
第一 第二 第三 第四 第五 第六 第七 第八 第九 第十
天 天 天 天 天 天 天 天 天 天
+2 -3 +5 -4 +2.5 -8 +9 -2 +1 +3
(1)小华行驶最远的那一天比行驶最近的那一天多行驶多少千米？
(2)请你运用所学知识估计小华家一个月（按30天算）轿车行驶的路程；
(3)若已知该轿车每行驶100km耗用汽油7L，且汽油的价格为每升8.15元，试根据第（2）
题估计小华家一年（按12个月算）的汽油费用．
举一反三2 （2023秋·河南濮阳·七年级统考期末）濮阳某商场“双十一”推出如下优惠：
超大优惠
（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；
（2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折；
（3）一次性购物超过300元一律8折．
小超两次购物分别付款80元、207元，若他将这两次所购商品一次性购买，则应付款元．
题型八 程序流程图与有理数计算
例8 （2023春·山东青岛·七年级统考期末）如图是一个简单的数值运算程序，当输入n的
值为5时，输出的结果为（ ）
A．10 B．12 C．132 D．380
举一反三1 （2023秋·四川眉山·七年级统考期末）下图是一个数值转换机的示意图，若
输入x的值为3，y的值为-2时，则输出的结果为（ ）
A．1 B．5 C．2 D．6
举一反三2 （2023秋·广西南宁·七年级统考期中）如图所示是计算机某计算程序，若开
始输入数字1，则最后输出的结果是（ ）
A．22 B．24 C．26 D．28一、单选题
1．（2023秋·广西南宁·七年级统考期中）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入数字
1，则最后输出的结果是（ ）
A．22 B．24 C．26 D．28
2．（2023秋·内蒙古包头·七年级包钢第三中学校考期末）下列四个数中，最大的数是（
）
A． B． C． D．
-(+2) -|-3| (-1) 2 0
3．（2023秋·江苏扬州·七年级校考期末）下列各组数中，不相等的是（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
(-2) 3 -23 (-3) 2 32 (-3) 2 -32 |-2| 3 |-23|
4．（2023春·山东潍坊·七年级统考期中）( 1) 3等于（ ）
-
2
1 1 3 3
A．- B． C．- D．
8 8 2 2
5．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）设a，b为自然数，定义aΔb=a2+b2-ab，则
(3Δ4)+(-4Δ5)的值（ ）
A．34 B．58 C．74 D．98
6．（2023秋·湖北武汉·七年级校考期末）阅读材料：一般地，n个相同因数a相乘：
⏟a⋅a⋅a⋅...⋅a
记为an．如23=8，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为log 8（即
2
n个a
log 8=3）．那么log 16+log 27=（ ）
2 2 3
A．7 B．11 C．13 D．17
二、填空题
1．（2023春·黑龙江绥化·七年级统考期末）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为0，
则输出y的值为 ．2．（2023春·云南昆明·七年级云南省昆明市第十中学校考期中）若 ，则
(x-1) 2=(-2) 2 x=
．
3．（2023秋·湖南娄底·七年级统考期末）已知0.12=0.01，12=1，102=100，
1002=10000，则0.012= ．
4．（2023春·湖南娄底·七年级统考期中）计算：4.3×202.3+7.6×202.3-1.9×202.3=
．
5．（2023春·北京海淀·七年级校考期末）根据“二十四点”游戏的规则，用仅含有加、减、
乘、除及括号的运算式（每个数字只能用一次），使12，-12，3，-1的运算结果等于24：
（只要写出一个算式即可 ）
三、解答题
2
1．（2023秋·四川眉山·七年级统考期末）计算：-23- ×|-4-(-1)|-(-3) 2
3
2．（2023秋·河南濮阳·七年级校考期末）计算
(1)(1 1) | 1|
- ×6÷ -
2 3 5
1
(2)(-1) 2023+(-10)÷ ×2-[2-(-3) 3]
2
3．（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）振子是机器中操作时急速振动的机件，如电器
装置中的回路弹簧、钢琴内部装置中由传运杆制动的震动横杆等．小亮和小伙伴们在科技馆利用振子做科学小实验时发现：振子从某一点A开始左右来回振动7次停止，如果规定
向右为正，向左为负，这7次振动记录为（单位：mm）：-9,+8,-6,+7.5,-6,+8,-7．
(1)求振子停止时所在的位置在起点A哪个方向，多远？
(2)如果每毫米需时0.03s，则完成7次振动共需要多少秒？
