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1.5.1《乘方》
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022·广东·中考真题）计算 的结果是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】
利用乘方的意义计算即可．
【详解】
解：
故选：D．
【点睛】
本题考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解答本题的关键．
2．（2020·四川凉山·中考真题）（﹣1）2020等于（ ）
A．﹣2020 B．2020 C．﹣1 D．1
【答案】D
【分析】
根据负数的偶次方是正数可以解答．
【详解】
（﹣1）2020=1，
故选：D．
【点睛】
本题考查了有理数的乘方运算，知道-1的奇次方是-1，-1的偶次方是1，是常考题型．
3．（2022·内蒙古赤峰·一模）下列各数 、 、 、 、 中，负数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先化简各数，再判定是否是负数即可．【详解】
解：∵（-2）3=-8负数，-（-2）=2正数，|-2|=2正数，（-2）2=4正数，-23=-8负数，
∴负数有：（-2）3，-23=-8，共2个，
故选：A．
【点睛】
本题考查负数的判定，熟练掌握有理数的乘方计算、求一个数绝对值和相反数是解题的关键．
4．下列各式结果相等的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】B
【分析】
根据有理数的乘方的定义与运算法则逐—计算即可作出判断．
【详解】
解：A． ， ，不相等，故此选项不符合题意；
B． ， ，相等，故此选项符合题意；
C． ， ，不相等，故此选项不符合题意；
D． ， ，不相等，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是掌握绝对值的定义、相反数的定义及有理数的乘方的定义
与运算法则．
5．（2022·湖南娄底·中考真题）在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”．当时有位
父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满
七进一，那么孩子已经出生了（ ）A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天
【答案】B
【分析】
根据题意以及图形分析，根据满七进一，即可求解．
【详解】
解：绳结表示的数为
故选B
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，理解“满七进一”是解题的关键．
6．（2022·贵州贵阳·一模）综合实践课上，同学们在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数、式子和
图案（其中每个式子或图案都表示一个数），若处于每一横行、每一竖列、两条斜对角线上的3个数之
和都相等，则 的值为（ ）
A． B．2 C．16 D．64
【答案】D
【分析】
根据幻方的特点列出算式-2+y+6=2y+y+0=x-2+0，再根据法则计算可得．
【详解】
解：根据题意知-2+y+6=2y+y+0=x-2+0，
则y+4=3y，3y=x-2，∴y=2，x=3y+2=8，
∴ =82=64，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查有理数的加法和乘方，解题的关键是掌握有理数的加减运算法则及幻方的特点．
二、填空题
7．（2022·四川凉山·中考真题）计算：－12＋|－2023|＝_______．
【答案】2022
【分析】
先计算有理数的乘方、化简绝对值，再计算加法即可得．
【详解】
解：原式
，
故答案为：2022．
【点睛】
本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键．
8．如图，是一个数值转换机．若输入数3，则输出数是_____．
【答案】65
【详解】
设输入的数为x，
根据题意可知，输出的数= ．
把x=3代入 =（32-1）2+1=（9-1）2+1=82+1=65，即输出数是65，
故答案为：65．
9．（2022·湖北宜昌·中考真题）中国是世界上首先使用负数的国家．两千多年前战国时期李悝所著的
《法经》中已出现使用负数的实例．《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负
数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法．请计算以下涉及“负数”的式子的值：
________．【答案】-10
【分析】
根据有理数运算法则进行计算即可．
【详解】
解： ，
故答案为： ．
【点睛】
此题考查含乘方的有理数混合运算，掌握乘方的计算法则，有理数混合运算的计算法则是解题的关键．
10．（2022·山东济宁·二模）现定义一种新运算 ，若 ，则 ，例如：∵ ，∴
．依据上述运算规则，计算 的结果是______．
【答案】5
【分析】
根据新运算定义求出（5，125）=3， =2，代入计算即可．
【详解】
解：∵ ，
∴（5，125）=3，
∵ ，
∴ =2，
∴ =3+2=5，
故答案为：5．
【点睛】
此题考查了新定义运算，正确掌握有理数的乘方运算是解题的关键．11．有下列各数：（﹣2）2，﹣24，0，﹣|﹣2|，﹣（﹣3），（﹣2）3，其中负数有_______个．
【答案】3
【分析】
执照乘方的法则、绝对值的意义、相反数的意义把各个有理数分别化简，即可作出判断．
【详解】
解：（﹣2）2＝4，﹣24＝﹣16，﹣|﹣2|＝﹣2，﹣（﹣3）＝3，（﹣2）3＝﹣8，
负数有3个，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了乘方的法则、绝对值的意义、相反数的意义、负数含义等知识，掌握这些知识是问题的关
键．注意零既不是正数也不是负数．
12．填一填：
（1） ______， ______， ______， ______；
（2） ______， ______， ______， ______．
【答案】（1）100；1000；10000；100000（2）100；-1000；10000；-100000
【分析】
（1）根据正数的任何次幂都是正数计算即可；
（2）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数计算可得结果．
【详解】
解：（1） ，
，
，
，
故答案为：100；1000；10000；100000；
（2） ，
，
，，
故答案为：100；-1000；10000；-100000．
【点睛】
本题考查了有理数的乘方，正确计算各乘方的结果是关键．
三、解答题
13．（2021·广西来宾·中考真题）计算： ．
【答案】-2
【分析】
先分别计算出有理数的乘方及括号内的有理数加减，再计算乘除，即可求得结果．
【详解】
解：
．
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的运算顺序及相关运算法则是解答此题的关
键．
14．（2022·广西·中考真题）计算： ．
【答案】3
【分析】
先计算括号内的，并计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可．
【详解】
解：原式=1×3+4-4
=3+4-4
=3．
【点睛】
本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键，注意解题时要注意运算顺序：从高级到低级运算，有括号时应先算括号．
15．（2022·河北邯郸·二模）淇淇在计算： 时，步骤如下：
解：原式 ①
②
③
(1)淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是________；（填序号）
(2)请给出正确的解题过程．
【答案】(1)①；
(2)见解析．
【分析】
（1）根据有理数的运算法则可知从①计算错误；
（2）根据有理数的运算法则计算即可．
(1)
解：由题意可知：
；
故开始出现错误的步骤是①，
(2)
解： ，
，
，
．
【点睛】
本题考查含乘方的有理数的运算，解题的关键是掌握运算法则并能够正确计算．
16．当你把纸对折一次时，就得到2层，当对折两次时，就得到4层，照这样折下去．
(1)当对折3次时，层数是多少；
(2)如果纸的厚度是0.1mm，求对折8次时，总厚度是多少mm？
【答案】(1)8(2)
【分析】
（1）根据题意可知对折3次，层数就是 层；
（2）先算出层数，再乘0.1即可得出结果．
(1)
解：∵23＝8，
∴对折3次时，层数是8；
(2)
解：28×0.1
＝256×0.1
＝25.6（mm），
∴总厚度是25.6mm．
【点睛】
本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是解题的关键．
17．[阅读理解]观察下列两个等式： ，给出定义如下：我们称使等式a﹣b
＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为＜a，b＞，如：数对＜2， ＞，＜5，
＞，都是“共生有理数对”．
(1)通过计算判断数对＜2，1＞和＜3， ＞是不是“共生有理数对”．
(2)若＜m，n＞是“共生有理数对”，判断＜﹣n，﹣m＞是不是“共生有理数对”．
【答案】(1)＜2，1＞不是共生有理数对；＜3， ＞是共生有理数对
(2)＜﹣n，﹣m＞是共生有理数对
【分析】
（1）根据共生有理数对的定义判断即可；
（2）根据共生有理数对的定义对（﹣n，﹣m）变形即可判断．
(1)
解：∵2﹣1＝1，2×1+1＝3，
∴2﹣1≠2×1+1，
∴＜2，1＞不是共生有理数对；∵3﹣ ＝ ，3× +1＝ ，
∴3﹣ ＝3× +1，
∴＜3， ＞是共生有理数对；
(2)
解：∵＜m，n＞是共生有理数对，
∴m﹣n＝mn+1，
∴﹣n﹣（﹣m）＝m﹣n＝mn+1＝（﹣n）×（﹣m）＋1，
∴＜﹣n，﹣m＞是共生有理数对．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，能够看懂定义并会运用定义解决问题是解题的关键．
18．规定：M ＝﹣2，M ＝(﹣2)×(﹣2)，M ＝(﹣2)×(﹣2)×(﹣2)，…Mn
(1) (2) (3) ( )
．
(1)计算：M +M ；
(5) (6)
(2)求2×M +M 的值；
(2021) (2022)
(3)试说明：2×Mn)与Mn 互为相反数．
( ( +1)
【答案】(1)32
(2)0
(3)见解析
【分析】
（1）根据新定义的法则及有理数乘法的法则进行计算即可；
（2）根据新定义的法则进行计算，即可得出结果；
（3）根据新定义的法则分别计算2×M n 与M n ，即可得出结果．
（ ） （ +1）
(1)
解：M +M
（5） （6）
=（-2）5+（-2）6
=-32+64
=32；
(2)
解：2M +M
（2021） （2022）=2×（-2）2021+（-2）2022
=2×（-22021）+22022
=-22022+22022
=0；
(3)
解：2M n =2×（-2）n=-（-2）×（-2）n=-（-2）n+1，
（ ）
M n =（-2）n+1，
（ +1）
∵-（-2）n+1与（-2）n+1 互为相反数，
∴2M n 与 M n 互为相反数．
（ ） （ +1）
【点睛】
本题考查了有理数的乘法及相反数，掌握新定义的含义及有理数的乘法法则是解决问题的关键．
提升篇
19．【概念学习】
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷
（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2 ，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷
③
（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3） ，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地把
④
（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2 ＝ ； ＝ ；
②
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除
方运算如何转化为乘方运算呢？
（2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3） ＝ ，
⑤＝ ．
（3）算一算：122÷ ×（﹣2） ﹣ ÷33．
⑥
【答案】（1）1，-2；（2） ， ；（3）
【分析】
（1）根据公式列式计算即可；
（2）根据除方公式列式，再根据除法法则计算即可；
（3）根据除方法则计算除方，再计算有理数的混合运算即可．
【详解】
解：【初步探究】
（1）2 ＝2÷2＝1，（﹣ ） ＝（﹣ ）÷（﹣ ） （- ）＝-2，
② ③
÷
故答案为：1，-2；
【深入思考】
（2）（﹣3） ＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝（﹣3）×（﹣ ）×（﹣ ）×（﹣
⑤
）×（﹣ ）＝（﹣ ）3，
（ ） ＝ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ＝ ×5×5×5×5×5＝54，
⑥
故答案为：（﹣ ）3，54；
（3）122÷（﹣ ） ×（﹣2） ﹣（﹣ ） ÷33
④ ⑥ ⑥
＝144÷（﹣3）2×（﹣ ）4﹣（﹣3）4÷27
＝144÷9× ﹣81÷27
＝16× ﹣3
＝1﹣3＝﹣2．
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，正确理解已知的除方计算公式及掌握有理数混合运算法则是解题的关
键．
20．阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22020+22021的值，采用以下方法：
设S＝1+2+22+…+22020+22021①
则2S＝2+22+…+22021+22022②
②﹣①得，2S﹣S＝S＝22022﹣1.
请仿照小明的方法解决以下问题：
(1)2+22+…+220＝ ；
(2)求1+ +…+ ＝ ；
(3)求1+a+a2+a3+…+an的和.（a＞1，n是正整数，请写出计算过程）
【答案】(1)S＝221﹣2；
(2)
(3)S＝
【分析】
（1）（2）根据题目所给方法，令等式左边为S，表示出2S，相减即可得到结果；
（3）根据题目所给方法，令等式左边为S，表示出aS，相减即可得到结果．
(1)
设S＝2+22+…+220，则：
2S＝22+23+…+220+221，
2S﹣S＝（22+23+…+220+221）﹣（2+22+…+220）＝221﹣2，
∴S＝221﹣2，
故答案为：221﹣2．
(2)
设S ，则：
，，
∴S＝ ，
故答案为： ．
(3)
设S＝1+a+a2+a3+…+an，则：
aS＝a+a2+a3+…+an+an+1，
aS﹣S＝（a﹣1）S＝（a+a2+a3+…+an+an+1）﹣（1+a+a2+a3+…+an）＝an+1﹣1．
∴S＝
【点睛】
本题考查有理数的混合运算，解题的关键是将所求的式子看作整体进行扩大或缩小，要熟悉本题的解
题思路．
21．（2021·云南·富源县第七中学七年级期中）阅读下面的文字，完成后面的问题，我们知道：
，那么：
(1) __________； __________；
(2)计算：
(3)计算：
【答案】(1) ；
(2)
(3)
【分析】
（1）根据已知的式子可得 = ，故可求解；
（2）根据（1）中的规律将原式变形即可求解；
（3）根据题中的规律将原式变形即可求解.(1)
∵ ； ； ； …．
∴ = ， =
故答案为： ；
(2)
解：原式
(3)
解：原式
．
【点睛】
此题主要考查有理数的运算，解题的关键是根据已知的式子发现规律进行求解.
22．（2022·江苏·南京市人民中学七年级期中）阅读下面的文字回答后面的问题：求
的值
解：令 ①
将等式两边同时乘以5到： ②
②-①得：
∴ 即问题：求 的值；
【答案】
【分析】
根据题目解题过程进行求解即可；
【详解】
解：令 ①
将等式两边同时乘以2到： ②
②-①得：
∴ ，即 ．
【点睛】
本题主要考查有理数混合运算的应用，正确理解题意，根据题目方法步骤进行求解是解题的关键．
23．（2022·黑龙江·大庆市第二十三中学七年级期中）观察下列解题过程：
计算： 的值
解：设 ①，
则 ②，
由②－①，得 .即原式
通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请你用学到的方法计算：
【答案】
【分析】
利用所给的解答方式进行求解即可．
【详解】
解：设 ①，
则 ②，
由② ①，得 ．
∴ ，即原式 ．
【点睛】
本题主要考查数字的变化规律和有理数的乘方，解答的关键是理解清楚题目所给的解答方式并灵活运
用．
24．（2021·四川·成都实外七年级期中）一般地，n个相同的因数．相乘a×a×a……a×a记作an，如
2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”记为L(8)，则L(8)=3，一般地，若an=b(a＞0且
2 2
a≠1)，则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为La(b)=n，如34=81，则4叫做以3为底的81的“劳格
数”，记为L(81)=4．
3
（1）下列各“劳格数”的值：L（4）=______，L(16)=______，L(64)=______．
2 2 2
（2）观察（1）中的数据易4×16=64此时L（4），L(16)，L(64)满足关系式________．
2 2 2
（3）由（2）的结果，你能归纳出一般性的结果吗？La(M)+La(N)=______．(a＞0且a≠1，M＞0，N＞
0)．
（4）据上述结论解决下列问：已知，La（3）=0.5，求La(9)的值和La(81)的值．（a＞0且a≠1）
【答案】（1） ；（2）L（4）+L(16)=L(64)；（3） ；（4）
2 2 2
【分析】
（1）根据定义写出各“劳格数”的值；
（2）由（1）的结论直接得出结果；
（3）根据定义归纳出一般性的结果；
（4）根据（3）的结论进行计算即可．
【详解】
（1）
L（4）=2，L(16)=4，L(64)=6
2 2 2
故答案为：
（2）
L（4）+L(16)=L(64)
2 2 2
故答案为：L（4）+L(16)=L(64)
2 2 2
（3）设
则即La(M)+La(N)= La(M N)
故答案为：
（4） La（3）=0.5
【点睛】
本题考查了有理数乘方的概念，新定义概念，理解题意是解题的关键．
