文档内容
第 43 讲 数列的通项公式
1、正确选用方法求数列的通项公式
(1)对于递推关系式可转化为a ＝a＋f(n)的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式．
n＋1 n
(2)对于递推关系式可转化为＝f(n)的数列，并且容易求数列{f(n)}前n项的积时，采用累乘法求数列
{a}的通项公式．
n
(3)对于递推关系式形如a ＝pa＋q(p≠0,1，q≠0)的数列，采用构造法求数列的通项．
n＋1 n
2、避免2种失误
(1)利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到，漏掉a 而导致错误；二是根据
1
连乘求出a 之后，不注意检验a 是否成立．
n 1
(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式．
1、（2023•北京）数列 满足 ，下列说法正确的是
A．若 ，则 是递减数列， ，使得 时，
B．若 ，则 是递增数列， ，使得 时，
C．若 ，则 是递减数列， ，使得 时，
D．若 ，则 是递增数列， ，使得 时，
2、（2022•浙江）已知数列 满足 ， ，则
A． B． C． D．
3、（2023•甲卷（理））已知数列 中， ，设 为 前 项和， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．4、（2021•乙卷（理））记 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积，已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列；
（2）求 的通项公式．
5、（2021•新高考Ⅰ）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和．
1、（2022年江苏省淮安市高三模拟试卷）已知数列{a}中的首项a＝2，且满足 ，则此数
n 1
列的第三项是（ ）A. 1 B. C. D.
2、（2023·江苏泰州·统考一模）写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{ }的通项公式 ＝___．
① ；②
3、根据下列条件，确定数列{a}的通项公式．
n
(1) a＝2，a ＝a＋3n；
1 n＋1 n
(2) a＝2，a ＝2a＋3n.
1 n＋1 n
考向一 有 an 递推关系研究数列的通项
例3、根据下列条件，确定数列{a}的通项公式．
n
(1) a＝1，a ＝3a＋2；
1 n＋1 n
(2) a＝1，a＝·a (n≥2)；
1 n n－1
(3) a＝2，a ＝a＋3n＋2.
1 n＋1 n
变式1、（2022年河北省张家口高三模拟试卷）已知数列 的前n项和为 ，若 ，且
，则下列说法确的是（ ）
A. 为单调递增数列
B.
C.D. 当 时，数列 的前n项和 满足
变式2、（2022年河北省张家口高三模拟试卷） 已知正项数列 满足
．
（1）求数列 的通项公式；
变式3、（2021年八省适应性考试）已知各项都为正数的数列 满足 ．
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）若 ， ，求 的通项公式．
方法总结：给出了两种不同形式的递推关系，经常采取其它方法：取倒数后，相邻两项的差是一个等比数
列，迭加即可；变形为＝，再用累乘处理，累加、累乘是递推数列的基本而常用的方法，考查我们的观察、
变形和转化的能力，需要牢固掌握．
考向二 由 Sn 与 an 的递推关系求通项公式
例2、（2022年广州番禺高三模拟试卷）已知各项均为正数的数列 的首项 ，前 项和为 ，
且 ．
（1）求数列 的通项公式；变式1、（2022年福建省福州市高三模拟试卷）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，等
差数列 中， ， .
的
（1）求数列 ， 通项公式；
变式2、 （2022年福建省永泰县高三模拟试卷）已知正项数列 的前 项和为 ，且 和 满足：
.
（1）求 的通项公式；
变式3、（2023·河北唐山·统考三模）设 为数列 的前 项和， ， .
(1)求数列 的通项公式；
方法总结：a 与S 关系的应用
n n
(1)仅含有S 的递推数列或既含有S 又含有a 的递推数列，一般利用公式S －S ＝a(n≥2)实施消元法，
n n n n n－1 n
将递推关系转化为仅含a 的关系式或仅含S 的关系式，即“二者消元留一象”．
n n(2)究竟消去a 留S 好，还是消去S 留a 好？取决于消元后的代数式经过恒等变形后能否得到简单可
n n n n
求的数列关系，如等差数列关系或等比数列关系，若消去a 留S 可以得到简单可求的数列关系，那么就应
n n
当消去a 留S，否则就尝试消去S 留a，即“何知去留谁更好，变形易把关系找”．
n n n n
(3)值得一提的是：数列通项公式a 求出后，还需要验证数列首项a 是否也满足通项公式，即“通项求
n 1
出莫疏忽，验证首项满足否”。
考向三 构造等差、等比数列研究通项
例3、（2023·江苏·统考三模）已知数列 满足 ， ， ．
(1)证明： 是等比数列；
(2)证明：存在两个等比数列 ， ，使得 成立．
变式1、（2022年河北省高三大联考模拟试卷）已知数列 ， 满足 ，
，且 ，
（1）求 ， 的值，并证明数列 是等比数列；
（2）求数列 ， 的通项公式．
变式2、（2022·福建省诏安县高三模拟试卷） 已知数列 的前n项和为 ，且 ， ，
．
（1）求证：数列 是等比数列，并求 的通项公式；方法总结：构造等差、等比数列求通项，常见形式一：a ＝pa＋q(p，q为常数，p≠0，p≠1)，常利用待
n＋1 n
定系数构造，可化为a ＋x＝p(a＋x)，从而解出x＝.
n＋1 n
常见形式二：a ＝pa ＋qn(p，q为常数，p≠0，p≠1，q≠0)，可以通过两边同时除以qn＋1，得＝·＋，换
n＋1 n
元b＝，即转化形式一．
n
1、（2022·福建省诏安县高三模拟试卷） 设数列 的前n项和为 ，写出 的一个通项公式
________，满足下面两个条件：① 是单调递减数列；② 是单调递增数列.
2、（2022年河北省张家口高三模拟试卷）已知数列 中， ，则
_______________．
3、（2022·福建省高三模拟试卷）已知数列 满足 ， ，则 的前n项
和为___________.
4、（2022年江苏省淮安市高三模拟试卷） 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图
所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有 个球，第二层有 个球，第三层有 个球，…，
设各层球数构成一个数列 ，则（ ）A. B. C. D.
5、（2022年广东省高三大联考模拟试卷）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，
主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列
满足 ， ，则（ ）
A. B.
C. D. 数列 的前 项和为
6、（2022年广东省佛山市高三模拟试卷）已知数列 为非零数列，且满足
.
（1）求数列 的通项公式；
7、（2022年福建省德化一中高三模拟试卷） 数列 的前n项和 满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
