文档内容
第一学期九年级第二次拓展训练
数学科试卷
（时间：120分钟，总分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．
【详解】A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．
2. 用配方法解方程 ，方程应变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】常数项移到方程的右边，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
故选D．
【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键．
3. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数
进行分析．
【详解】A. 是一次函数，故此选项错误；
B. 当a≠0时，是二次函数，故此选项错误；
C. 是二次函数，故此选项正确；
D. 含有分式，不是二次函数，故此选项错误；
故选C.
的
【点睛】考查二次函数 定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.
4. 已知线段 ，如果线段a，b，c，d成比例，则线段d的长为（ ）
A. 1 B. 4 C. 6 D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查的是成比例线段的知识，计算出最大、最小数的积以及中间两个数的积，再根据最
大与最小数的乘积等于中间两个数的乘积进行求解．
【详解】解：由题意得， ，
∴ ，
∴ ，
故选D．
5. 如图，直线 ，直线 与 分别交于点A、B、C和点D、E、F． 若 ，
，则 的长为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据 ， ， ，得到 ，代入计算即可．
【详解】∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
故选C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确理解定理是解题的关键．
6. 某钢铁厂今年1月份钢产量为5000吨，3月份上升到7200吨，设平均每月增长的百分率为 ，据题意得
方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设平均每月增长的百分率为 ，根据1月份钢产量为5000吨，3月份上升到7200吨，列出方程即
可．
【详解】解：设平均每月增长的百分率为 ，据题意得方程 ；
故选C．【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
7. 抛物线 的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将抛物线的解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的顶点坐标．
【详解】 ，
∴该抛物线的顶点坐标是(3，-5)．
故选：C．
【点睛】本题考查了配方法和二次函数的性质，抛物线的顶点式为 ，顶点坐标是（h，
k）．
8. 已知点 在二次函数 的图象上，则 的大小关系
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了比较二次函数函数值的大小，根据函数解析式求出二次函数开口向上对称轴为直
线 ，则离对称轴越远，函数值越小，据此求解即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为 ，
∴二次函数开口向下，对称轴为直线 ，
∴离对称轴越远，函数值越小，
∵点 在二次函数 的图象上，
，∴ ，
故选B．
9. 如图，将 绕点O按逆时针方向旋转一定角度后得到 ，旋转角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋旋转角的定义即可判断．
【详解】解：将 绕点O按逆时针方向旋转一定角度后得到 ，
旋转角是∠AOC或∠BOD．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转变换，旋转角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
10. 已知二次函数 的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. ＜0 B. ＜0 C. ＜0 D. ＜0
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的开口方向确定a，根据抛物线与y轴的交点确定c，根据对称轴确定b，根据抛物线
与x轴的交点确定b2-4ac，根据x=1时，y＞0，确定a+b+c的符号．
【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线交于y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴ac＞0，A错误；
∵- ＞0，a＞0，
∴b＜0，∴B正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，C错误；
当x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，D错误；
故选B．
【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对
称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
11. 把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为
____________．
【答案】 或 （答出这两种形式中任意一种均得分）
【解析】
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式
为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位
长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．
故答案为y=2（x+1）2﹣2．
考点：二次函数图象与几何变换．
12. 在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，m﹣2）关于原点对称，则m＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即求关于原点的对
称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．【详解】解：根据 、 两点关于原点对称，则横、纵坐标均互为相反数，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟练
掌握该特征是解题的关键．
13. 顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为_____.
【答案】y=﹣x2﹣4x﹣9
【解析】
【分析】已知抛物线的顶点坐标，设顶点式y=a（x+2）2-5，将点（1，-14）代入求a，再化为一般式即可．
【详解】设顶点式y=a（x+2）2-5，
将点（1，-14）代入，得a（1+2）2-5=-14，
解得a=-1，
∴y=-（x+2）2-5，即y=-x2-4x-9．
故答案是：y=﹣x2﹣4x﹣9.
【点睛】考查了待定系数法求抛物线解析式的一般方法，需要根据题目条件，合理地选择解析式．
14. 如图，正方形 的边长为6，点E在边 上，以点A为中心，把 顺时针旋转 至
的位置，若 ，则 _______．
【答案】8
【解析】
【 分 析 】 本 题 主 要 考 查 了 正 方 形 的 性 质 ， 旋 转 的 性 质 ， 由 旋 转 的 性 质 得 到
，再证明C、B、F三点共线，即可得到 ．【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
由旋转的性质可得 ，
∴ ，
∴C、B、F三点共线，
∴ ，
故答案为：8．
15. 如图， 中，点 、 分别为 、 的中点，连接 ，线段 、 相交于点 ，若
，则 _______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到
对边中点的距离之比为 ．
根据重心定义得到点 为 的重心，再根据重心的性质得 ，所以 ．
【详解】解： 点 、 分别为 、 的中点，
点 为 的重心，
，
而 ，．
故答案为4
16. 如图，在 中，D、F在 上，E、G在 上， ，且 ，若
，则 _______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，证明 得到 ，推
出 ，同理推出 ，由此求出 的值即可得到答案，根据相似三角形面积之比等于相
似比的平方进行求解是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，同理可得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共3小题，每题6分，共18分）
17. 用适当的方法解下列方程：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先把常数项移到方程右边，再两边加上一次项系数的一半的平方进行配方，据此解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 ．
18. 已知关于x的一元二次方程 有实数根．
的
（1）求m 取值范围；
（2）若该方程的一个实数根为1，求方程的另一个根．
【答案】（1）
（2）方程的另一根为5
【解析】
【分析】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式及根与系数的关系是解题的关
键；
（1）根据题意及根的判别式可进行求解；
（2）设方程的另一个根为a，然后根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【小问1详解】
解：由题意得：
，解得： ；
【小问2详解】
解：设方程的另一个根为a，由方程的一个实数根为1及一元二次方程根与系数的关系得： ，
∴ ，
∴方程的另一个为5．
19. 如图，将一块含 角的三角板 绕点A顺时针旋转 得到 ，已知 ，连接 ，
，求 的度数及 的长．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题主要考查旋转的性质、含30度直角三角形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握旋转
的性质是解题的关键．
由旋转的性质可得 ， ，然后可得 是等边三角形，
进而问题可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，由旋转可知 ， ，
∴ 是等边三角形， ，
∴ ．
四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
20. 某小区在绿化工程中有一块长为90m、宽为30m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，
使它们的面积之和为 ，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，求人行通道的
宽度．
【答案】5米
【解析】
【分析】设人行通道的宽度为x米，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可．
的
【详解】解：设人行通道 宽度为x米，依题意得
解得 ，
∵
∴ 应舍去
∴
答：人行通道的宽度为5米．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键．
21. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点都在格点上，点A的坐标 ，请解答下列问题：（1）画出 关于原点对称的 ；
（2）画出 绕原点O顺时针旋转 后得到 ，并写出 的坐标．
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析，
【解析】
【分析】本题主要考查了画关于原点对称的图形，画绕原点旋转 的图形，正确找到A、B、C对应点的
位置是解题的关键．
（1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数找到A、B、C对应点 的位置，再顺次连接
即可；
（2）先找到A、B、C对应点 的位置，再顺次连接 ，再写出 的坐标即可．
【小问1详解】
解：如图所示， 即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示， 即为所求，
∴ ．22. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，对角线BD⊥DC.
(1)求证：△ABD∽△DCB；
(2)如果AD=4，BC=9，求BD的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）6.
【解析】
【分析】（1）用两角相等，两三角形相似证明即可；
（2）由（1）中的结论，运用相似三角形的性质得出比例式，进一步即可求得结果.
【详解】解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．
∵BD⊥DC，∴∠BDC=90°．
∵∠BAD=90°，∴∠BAD=∠BDC．
∴△ABD∽△DCB．
（2）解：∵△ABD∽△DCB，
∴ ．
∴BD2=AD•CB．
∵AD=4，BC=9，
∴BD=6．
【点睛】本题考查了相似三角形 的判定与性质，属于基础题型，熟知相似三角形的判定与性质是解题的关
键.
五、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
23. 某商店经营儿童益智玩具，已知购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨2元，月销售量就减少20件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销
售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
【答案】（1） ，自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数
（2）每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元
（3）每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元
【解析】
【分析】（1）根据题意知一件玩具的利润为 元，月销售量为 件，然后根据月销
售利润=一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式．
（2）把 时代入 中，求出x的值即可．
（3）把 化成顶点式，求得当x=6.5时，y有最大值，再根据0＜x≤10且x为正整
数，分别计算出当x=6和x=7时y的值即可．
【小问1详解】
依题意得
自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数
【小问2详解】
当 时，得 ，
解得 （不合题意，舍去）．
当x=2时，30+x=32．
∴每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元
【小问3详解】
∵a=-10＜0
∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5．
∵0＜x≤10且x为正整数，∴当x=6时，30+x=36，y=2720，
当x=7时，30+x=37，y=2720．
∴每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元
【点睛】本题考查的是一元二次函数在利润型问题中的实际应用，能够依据题意列出函数关系式，并熟练
解二次方程及求二次函数最值是解题关键．
24. 如图1， 是一块锐角三角形材料，边 ，高 ．
（1）要把它加工成正方形零件，使得正方形的一边在 上，其余两个顶点分别在 ， 上，这个正
方形零件的边长是多少；
（2）要把它加工成矩形零件，且矩形是由两个并排放置的正方形组成，如图2，此时，这个矩形零件的两
条边长分别是多少；
（3）如果要加工的零件只是一个矩形，如图3，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面
积有最大值，求矩形的最大面积．
【答案】（1）这个正方形零件的边长是
（2）这个矩形零件的两条边长分别为 ，
（3）矩形的最大面积为
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 如 图 ① ， 设 正 方 形 的 边 长 为 ， 则 ，
，通过证明 ，利用相似比可得到 ，然后根据比
例性质求出 即可；（2）设 ，则 ，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可；
（3）设 ，用 表示出 的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并
用 表示出 ，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答．
【小问1详解】
解：如图1，设正方形的边长为 ，则 ，
∴ ，
，
，
，
，
解得 ．
加工成的正方形零件的边长是 ；
【小问2详解】
解：设矩形的边长 ，则 ，由条件可得 ，
，
，
解得 ，
，答：这个矩形零件的两条边长分别为 ， ；
【小问3详解】
解：设 ，矩形 的面积为 ，
由条件可得 ，
，
，
解得 ．
，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，即最大值为 ．
【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应
高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题的关键．
25. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；
（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．
【答案】（1）这个二次函数的表达式是y=x2﹣4x+3；（2）S = ；（3）当△BMN是等腰三角形
△BCP最大时，m的值为 ，﹣ ，1，2．
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和
差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得
，
解得 ，
∴二次函数的表达式是y=x2-4x+3；
（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），
设BC的表达式为y=kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得
，
解这个方程组，得
直线BC的解析是为y=-x+3，
过点P作PE∥y轴
，
交直线BC于点E（t，-t+3），
PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t，∴S =S +S = （-t2+3t）×3=- （t- ）2+ ，
△BCP △BPE CPE
∵- ＜0，
∴当t= 时，S = .
△BCP最大
（3）M（m，-m+3），N（m，m2-4m+3）
MN=m2-3m，BM= |m-3|，
当MN=BM时，①m2-3m= （m-3），解得m= ，
②m2-3m=- （m-3），解得m=-
当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°，
m2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）
当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，
-（m2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍），
当△BMN是等腰三角形时，m的值为 ，- ，1，2．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得
出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要
分类讨论，以防遗漏．
