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第十一章 三角形
11.1.2 三角形高、中线与角平分线
*课前
课前复习
1．下列选项中,过点P画AB的垂线,三角板放法正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解:A.直角三角板的直角边不在AB上，所以三角板画法不正确；
B.点P不在直角三角板的直角边上，所以三角板放法不正确；
C.直角三角板的一条直角边再AB上，点P在另一直角边上，所以三角板放法正确；
D.直角三角板的直角边不在AB上，所以三角板放法不正确.
故选C.
2．已知：如图，直线BO⊥AO于点O，OB平分∠COD，∠BOD＝22°．则∠AOC的度数是( )
A．22° B．46° C．68° D．78°
【答案】C
【详解】
解：∵BO⊥AO，
∴∠AOB=90°，
∵OB平分∠COD，
∴∠BOC=∠BOD=22°，
∴∠AOC=90°-22°=68°.故选C.
3．如图，直线 AD，BE 相交于点 O，CO⊥AD 于点 O，OF 平分∠BOC．若∠AOB=32°，则∠AOF 的
度数为
A．29° B．30° C．31° D．32°
【答案】A
【详解】
∵CO⊥AD 于点 O，
∴∠AOC=90 ，
∵∠AOB=32 ，
∴∠BOC=122 ，
∵OF 平分∠BOC，
∴∠BOF= ，
∴∠AOF=∠BOF-∠AOB= 32 .
故选A.
课前预习
1．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据定义可得A是作BC边上的高，C是作AB边上的高，D是作AC边上的高.故选A.
2．如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（
）A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG
【答案】B
【详解】根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线，
其余线段DE、EF、FG都不符合题意，
故选B．
3．三角形的重心是（ ）
A．三角形三条边上中线的交点
B．三角形三条边上高线的交点
C．三角形三条边垂直平分线的交点
D．三角形三条内角平行线的交点
【答案】A
【详解】三角形的重心是三条中线的交点，故选A．
4．下列说法正确的是（ ）
①三角形的角平分线是射线；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；
③三角形的三条高都在三角形内部；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】D
【详解】
①三角形的角平分线是线段，说法错误；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，说法正确；
③锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝
角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．说法错误；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，说法正确．
故选D．*课中
考查题型一 画三角形的高
例题1．下列各组图形中，AD是△ABC的高的图形是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】△ABC的高AD是过顶点A与BC垂直的线段，只有D选项符合．故选D．
基础练1-1．如图，用三角板作△ABC的边 上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：A．作出的是△ABC中BC边上的高线，故本选项错误；
B．作出的是△ABC中AB边上的高线，故本选项正确；
C．不能作出△ABC中AB边上的高线，故本选项错误；
D．作出的是△ABC中AC边上的高线，故本选项错误；
故选：B．
考查题型二 与三角形高有关的计算题
例题2．如图，△ABC中，D，E分别是BC上两点，且BD=DE=EC，则图中面积相等的三角形有
（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
【答案】A
【详解】由已知条件，得△ABD，△ADE，△ACE，3个三角形的面积都相等，组成了3对，
还有△ABE和△ACD的面积相等，共4对.
故选A.
基础练2-1．如图，在直角三角形ABC中，点B沿CB所在直线远离C点移动，下列说法错误的是( )
A．三角形面积随之增大 B．∠CAB的度数随之增大
C．BC边上的高随之增大 D．边AB的长度随之增大
【答案】C
【详解】
解：A、在直角三角形ABC中，S = BC•AC，点B沿CB所在直线远离C点移动时BC增大，则该三
ABC
△
角形的面积越大．故A正确；
B、如图，随着点B的移动，∠CAB的度数随之增大．故B正确；
C、BC边上的高是AC，线段AC的长度是不变的．故C错误．
D、如图，随着点B的移动，边AB的长度随之增大．故D正确；
故选：C．
基础练2-2．在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的高，且AD＝2，CE＝4，则AB：BC＝（ ）
A．3：4 B．4：3 C．1：2 D．2：1
【答案】C
【详解】∵在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的边BC和AB上的高，
∴S = AB·CE= BC·AD
ABC
△
∵AD=2，CE=4，
∴2AB=BC，
∴AB：BC=1：2.
故选C.
基础练2-3．如图，在5×4的方格纸中，每个小正方形边长为1，点O，A，B在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点C，使△ABC的面积为3，则这样的点C共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】
根据点A、B的坐标判断出AB∥x轴，然后根据三角形的面积求出点C到AB的距离，再判断出点C的位
置即可．
【详解】
解：由图可知，AB∥x轴，且AB＝3，
设点C到AB的距离为h，
则△ABC的面积＝ ＝3，
解得h＝2，
∵点C在第四象限，
∴点C的位置如图所示，共有3个．
故选：B．
提高练2-4．已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，点D从点A到点B沿AB运动，
CD=x，则x的取值范围是( ) ．A． ≤x≤3 B． ≤x<4 C． ≤x≤4 D． ≤x≤5
【答案】C
【解析】
详解：点D在A点时，x值最大，此时x=4，
当点D运动到CD⊥AB时，x值最小，
根据直角三角形的面积公式，得 AC•BC＝ AB•CD，
AC•BC
则CD＝ ＝ ，
AB
故 ≤x≤4，
故选：C．
提高练2-5．若一个三角形的三边长之比为3：5：7．则这个三角形三边上的高之比为（ ）
A．3：5：7 B．7：5：3 C．35：21：15 D．6：5：4
【答案】C
【详解】
因为边长之比满足3：5：7，
设三边分别为3x、5x、7x，
设三边上的高为a，b，c，
由题意得：
故这个三角形三边上的高之比为： ．故选：C．
考查题型三 三角形中线有关的长度和面积问题
例题3．已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，且△ABD的周长为11，则△BCD的周长是
（ ）
A．9 B．14 C．16 D．不能确定
【答案】A
【详解】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD=CD，
∵△ABD的周长为11，AB=5，
∴CD+BD=AD+BD=11-5=6，
∵BC=3，
∴△BCD的周长是6+3=9，
故选：A．
基础练3-1．如图，AE是△ABC的中线，D是BE上一点，若BE=5，DE=2，则CD的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】A
【解析】
∵AE是△ABC的中线，
∴BE＝CE，
又∵BE＝5，
∴CE＝5，
又∵CD＝CE+DE，DE＝2，
∴CD＝5+2＝7，故选A.
基础练3-2．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：∵AD是中线，
∴BD=CD，
∵C =AB+AD+BD，C =AC+AD+CD，
△ABD △ACD
∴C −C =AB−AC=10−8=2．
△ABD △ACD
故选：B．
基础练3-3．如图，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，有以下结论：①AD平分∠BAC；②△ABD的
周长－△ACD的周长=AB－AC；③BC=2AD；④△ABD的面积是△ABC面积的一半．其中正确的是（
）
A．①②④ B．②③④ C．②④ D．③④
【答案】C
【详解】
解：∵△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，但AD不一定平分∠BAC，故①错误；
∵△ABD的周长=AB＋BD＋AD，△ACD的周长=AC＋CD＋AD
∴△ABD的周长－△ACD的周长=（AB＋BD＋AD）－（AC＋CD＋AD）
= AB－AC，故②正确；
∵AD是BC边上的中线，
∴BC=2BD，但BD不一定等于AD，∴BC不一定等于2AD，故③错误；
设点A到BC的距离为h，
1 1 1
∴S = BD·h，S = BC·h= ×2BD·h= BD·h
ABD 2 ABC 2 2
△ △
∴△ABD的面积是△ABC面积的一半，故④正确．
故正确的结论有②④．
故选C．
提高练3-4．在等腰△ABC 中，AB=AC，中线 BD将这个三角形的周长分为 15和12 两个部分，则
这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．7 B．10 C．7 或 11 D．7 或 10
【答案】C
【分析】
题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方
程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．
【详解】
设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，
y y
{x+ ＝15 {x+ ＝12
2 2
得① 或②
y y
y+ ＝12 y+ ＝15
2 2
{x＝11
解方程组①得 ，
y＝8
根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形；
{ x＝7
解方程组②得 ，
y＝10
根据三角形三边关系定理此时能组成三角形，
即等腰三角形的底边长是11或7；
故选：C．
提高练3-5．如图，△ABC的中线AD、BE相交于点F．若△ABF的面积是4，则四边形DCEF的面积是（
）A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
【答案】B
【分析】
利用F点为△ABC的重心得到AF=2DF，BF=2EF，根据三角形面积公式得到S =2，S =2，再利用E
BDF AEF
△ △
点为AC的中点得到S =S =6，然后利用四边形DCEF的面积=S -S 进行计算．
BCE ABE BCE BDF
△ △ △ △
【详解】
解：∵△ABC的中线AD、BE相交于点F，
∴F点为△ABC的重心，
∴AF=2DF，BF=2EF，
1 1 1 1
∴S = S = ×4=2，S = S = ×4=2，
BDF 2 ABF 2 AEF 2 ABF 2
△ △ △ △
∵BE为中线，
∴S =S =4+2=6，
BCE ABE
△ △
∴四边形DCEF的面积=S -S =6-2=4．
BCE BDF
△ △
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了三角形面积
公式．
考查题型四 三角形角平分线的概念
例题4．三角形的角平分线、中线、高线（ ）
A．每一条都是线段 B．角平分线是射线，其余是线段
C．高线是直线，其余为线段 D．高线是直线，角平分线是射线，中线是线段
【答案】A
【详解】
由三角形的角平分线、中线、高线的定义可得，三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段；
A选项：三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段都是线段，故正确；
B选项：三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段，故错误；C选项：三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段，故错误；
D选项：三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段，故错误；
故选：A．
基础练4-1．如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．DE是△BCD的中线 B．BD是△ABC的中线
C．AD=CD，BE=EC D．BD是△ABC的角平分线
【答案】D
【详解】
∵点D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，
∴AD=CD,BE=EC，
∴BD是△ABC的边AC上的中线，DE是△BCD的边BC上的中线，
则选项A、B、C正确，
因为BD不一定平分∠ABC，
所以选项D错误，
故选：D．
提高练4-2．如图在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（ ）
1
A．BF=CF B．∠EAD= |∠B−∠C|
2
C．∠C=∠BAD D．S =2S
△ABC △ABF
【答案】C
【详解】
∵AF是中线，
∴BF=CF，故A正确；
∵AE是角平分线，∴∠BAE=∠CAE，
∴∠B+∠C+2∠CAE=180°，
∵∠CAD=90°−∠C，
∴∠B+∠C+2(∠DAE+90°−∠C)=180°，
∴|∠B−∠C|=2∠DAE，故B正确；
得不出∠C=∠BAD，故C错误；
∵AF是中线，
∴S =2S ，故D正确；
△ABC △ABF
故答案选C．
*课后
巩固练
1．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，
请你数一数，错误的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】
试题解析：从左向右第一个图形中，BE不是线段，故错误；
第二个图形中，BE不垂直AC，所以错误；
第三个图形中，是过点E作的AC的垂线，所以错误；
第四个图形中，过点C作的BE的垂线，也错误.
故选D.
2．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（ ）A．BF＝CF B．∠C＋∠CAD＝90°C．∠BAF＝∠CAF D．
【答案】C
【分析】
根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．
【详解】
解：∵AF是△ABC的中线，
∴BF=CF，A说法正确，不符合题意；
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠CAD=90°，B说法正确，不符合题意；
∵AE是角平分线，
∴∠BAE=∠CAE，C说法错误，符合题意；
∵BF=CF，
∴S =2S ，D说法正确，不符合题意；
ABC ABF
△ △
故选：C．
【点睛】
本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键．
3．下列说法正确的是( )
A．三角形的三条高至少有一条在三角形内
B．直角三角形只有一条高
C．三角形的角平分线其实就是角的平分线
D．三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部
【答案】A
【分析】
根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
A、三角形的三条高至少有一条在三角形内，正确；
B、直角三角形只有三条高，而题目中是只有一条高，错误；
C、三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，错误；
D、锐角三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部，但钝角三角形的高有的在外部，错误；故选A．
4．等腰三角形底边长为 ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 ．则等腰三角形的腰长为（
）
A． B．
C． 或 D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】
根据等腰三角形的性质设腰长为 ，根据已知条件列式求解即可．
【详解】
解：设腰长为 ，
如图，在 中， ，D为边 的中点．
则 或 ，
解得： ， ，
或2，
①三角形 三边长为8、8、5，符合三角形三边关系定理；
②三角形 三边是2、2、5， ，不符合三角形三边关系定理；
故选： ．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质应用，结合三边关系进行求解是关键．
5．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是( )
A．2 B．3 C．6 D．不能确定
【答案】A
【详解】
试题分析：根据三角形的中线得出AD=CD，根据三角形的周长求出即可．
解：∵BD是△ABC的中线，∴AD=CD，
∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）=AB﹣BC=5﹣3=2．
故选A．
6．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，若S =2，则S 等于
DEF ABC
△ △
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【分析】
根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形依次求解即可．
【详解】
∵DF是△CDE的中线，
∴S =2S ，
CDE DEF
△ △
∵CE是△ACD的中线，
∴S =2S =4S ，
ACD CDE DEF
△ △ △
∵AD是△ABC的中线，
∴S =2S =8S ，
ABC ACD DEF
△ △ △
∵△DEF的面积是2，
∴S =2×8=16．
ABC
△
故选A
【点睛】
本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键．
7．如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为
40cm2，则△BEF的面积是（ ）cm2．
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B【详解】
∵点E是AD的中点，
∴S = S ,S = S ，
ABE ABD ACE ADC
△ △ △ △
∴S +S = S = ×40=20cm2，
ABE ACE ABC
△ △ △
∴S = S = ×40=20cm2，
BCE ABC
△ △
∵点F是CE的中点，
∴S = S = ×20=10cm2.
BEF BCE
△ △
故选B.
【点睛】
本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等
高的三角形的面积相等．
8．如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（ ）
A．三边高的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点
【答案】D
【分析】
根据题意得：支撑点应是三角形的重心．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点．
【详解】
解：∵支撑点应是三角形的重心，
∴三角形的重心是三角形三边中线的交点，
故选D．
9．给出下列说法：①三条线段组成的图形叫三角形；②三角形的角平分线是射线；③三角形的高所在的
直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；④任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平
分线；⑤三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内．正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B【详解】
试题分析：三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形，故①错误；
三角形的角平分线是线段，故②错误；
三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以是三角形的直角顶点，故③错误；
所以正确的命题是④⑤，共2个．
故选B．
10．不一定在三角形内部的线段是（ ）
A．三角形的角平分线 B．三角形的中线
C．三角形的高 D．以上皆不对
【答案】C
【详解】
试题解析：三角形的角平分线、中线一定在三角形的内部，
直角三角形的高线有两条是三角形的直角边，
钝角三角形的高线有两条在三角形的外部，
所以，不一定在三角形内部的线段是三角形的高.
故选C.
11．如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形边长为1，点O、A、B在方格纸的交点（格点）上，在第四
象限内的格点上找点C，使△ABC的面积为3，则这样的点C共有个_____个．
【答案】3
【分析】
求得AB的长，根据三角形的面积公式即可确定C所在直线，从而确定C的位置．
【详解】
AB=3，设C到AB的距离是a，则 ×3a=3，
解得a=2，
则C在到AB的距离是2，且与AB平行是直线上，则在第四象限满足条件的格点有3个．
故答案为：3．12．如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为____cm2.（结果保留一位小数）
【答案】1.9
【分析】
过点C作CD⊥AB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的
面积．
【详解】
解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．
经过测量，AB=2.2cm，CD=1.7cm，
（cm2）．
故答案为1.9．
13．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积等于4cm2，则
阴影部分图形面积等于_____cm2
【答案】1
【分析】
由点 为 的中点，可得 的面积是 面积的一半；同理可得 和 的面积之比，利用
三角形的等积变换可解答．
【详解】
解：如图，点 是 的中点，的底是 ， 的底是 ，即 ，而高相等，
，
是 的中点，
， ，
，
，且 ，
，
即阴影部分的面积为 ．
故答案为1．
14．任意一个三角形被一条中线分成两个三角形，则这两个三角形：①形状相同；②面积相等；③全等．
上述说法中，正确的是________ ．
【答案】②
【分析】
根据三角形的中线性质可得答案．
【详解】
根据三角形的中线平分三角形的面积可得②正确，
故答案为②．
【点睛】
此题主要考查了三角形的中线，关键是掌握三角形的中线平分三角形的面积．
15．已知△ABC，如图，过点A画△ABC的角平分线AD、中线AE和高线AF．【答案】画图见解析.
【详解】
解：由题意画图可得：
培优练
16．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，∠CAB＝90°，求：
（1）AD的长；
（2）△ACE和△ABE的周长的差．
【答案】（1）AD的长度为 cm；（2）△ACE和△ABE的周长的差是1cm．
【分析】
（1）根据直角三角形的面积计算方法求解即可；
（2）先按图写出两个三角形的周长，再作差计算即可.
【详解】解：（1）∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，
∴ AB•AC＝ BC•AD，
∴AD＝ （cm），
即AD的长为 cm；
（2）∵AE为BC边上的中线，
∴BE＝CE，
∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+CE+AE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝4﹣3＝1（cm），
即△ACE和△ABE的周长的差是1cm．
17．如图所示，已知△ABC的周长为21 cm，AB＝6 cm，BC边上中线AD＝5 cm，△ABD的周长为15
cm，求AC的长．
【答案】7cm.
【详解】
试题分析：先根据△ABD周长为15cm，AB=6cm，AD=5cm，由周长的定义可求BC的长，再根据中线的
定义可求BC的长，由△ABC的周长为21cm，即可求出AC长．
解：∵AB=6cm，AD=5cm，△ABD周长为15cm，
∴BD=15-6-5=4cm，
∵AD是BC边上的中线，
∴BC=8cm，
∵△ABC的周长为21cm，
∴AC=21-6-8=7cm．
故AC长为7cm．
※拓展练
18．（1）在ΔABC中，AD⊥BC，BE⊥AC， ，BC=16，AD=3，BE=4，CF=6，则
ΔABC的周长为______.（2）如图①，在ΔABC中，已知点D，E，F分别为边BC，BD，CD的中点，且 ，则S
ΔAEF
等于______ .
① ②
（3）如②图，三角形ABC的面积为1，点E是AC的中点，点O是 的中点，连接AO并延长交BC于点
D，连接CO并延长交AB于点F，则四边形 的面积为______.
1
【答案】（1）36（2）2（3）
6
【分析】
(1)利用三角形面积公式，求出AB、AC的长，再计算三角形的周长即可；
1
(2)设ΔABC在BC边上的高为ℎ，则S = BC⋅ℎ，根据线段中点的定义以及线段的和差得出
ΔABC 2
1
EF= BC，继而再根据三角形面积公式进行求解即可；
2
(3)设S =x，S = y，根据三角形中线将三角形分成两个面积相等的三角形可得
ΔBOF ΔBOD
1 1 3 1 1
S =S =S =S = ，从而得S = −x，S = −x，S = +x，S = −y，
ΔAOE ΔCOE ΔAOB ΔCOB 4 ΔAOF 4 ΔACF 4 ΔBCF 4 ΔCOD 4
3 1
S = −y，S = + y，利用等高的两三角形面积之比等于底边之比分别列出关于x、y的方程，求
ΔACD 4 ΔABD 4
出x、y的值即可求得答案.
【详解】
1 1 1
(1)S = BC⋅AD= AC⋅BE= AB⋅CF，
ΔABC 2 2 2
∴BC⋅AD=AC⋅BE=AB⋅CF，
即16×3=AC⋅4=AB⋅6，
∴AC=12，AB=8，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=36；(2)设ΔABC在BC边上的高为ℎ，
1
则S = BC⋅ℎ，
ΔABC 2
1
∵E为BD中点，∴ED= BD，
2
1
∵F为DC中点，∴DF= DC，
2
1 1 1
∴EF= BD+ DC= BC，
2 2 2
1 1 1 1
∴S = EF⋅ℎ = ⋅ BC⋅ℎ = S =2cm2 ；
ΔAEF 2 2 2 2 ΔABC
(3)设S =x，S = y，
ΔBOF ΔBOD
∵点E，O分别是AC， 的中点，S =1，
ΔABC
1
∴S =S =S =S = ，
ΔAOE ΔCOE ΔAOB ΔCOB 4
1 3 1
∴S = −x，S = −x，S = +x，
ΔAOF 4 ΔACF 4 ΔBCF 4
1 3
−x −x
4 4 1 3
∴ = ，即 −x2= x−x2 ，
x 1 16 4
+x
4
1
解得x= ，
12
1 3 1
又S = −y，S = −y，S = + y，
ΔCOD 4 ΔACD 4 ΔABD 4
1
+ y
y 4 1
∴ = ，得y= ，
1 3 12
−y −y
4 4
1 1 1
故S =x+ y= + = .
四 边 形BDOF 12 12 6
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成12cm和15cm两部分，求△
ABC各边的长．【答案】AB＝AC＝8cm，BC＝11cm或AB＝AC＝10cm，BC＝7cm
【分析】
设AB＝xcm，BC＝ycm，则可以把题中边长分为AB＋AD＝12cm，BC＋CD＝15cm和AB＋AD＝15cm，
BC＋CD＝12cm两种情况列出二元一次方程组求解，解方程组即可得到问题解答．
【详解】
解：设AB＝xcm，BC＝ycm．
则有以下两种情况：
1
{x+ x=12
2 {x=8
(1)当AB＋AD＝12cm，BC＋CD＝15cm时， ，解得 ,即AB＝AC＝8cm，BC＝
1 y=11
y+ x=15
2
11cm，符合三边关系；
1
{x+ x=15
2 {x=10
(2)当AB＋AD＝15cm，BC＋CD＝12cm时， ，解得 ，即AB＝AC＝10cm，BC＝
1 y=7
y+ x=12
2
7cm，符合三边关系．
【点睛】
本题考查三角形中线的应用，利用方程求解及把问题分成两种情况讨论是解题关键 ．
