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11.2.1 三角形的内角
一、单选题
1．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：5，那么△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．已知：如图，在 ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC=（ ）
△
A．10∘ B．18∘ C．20∘ D．30∘
3．如图，将一副三角板按图中位置摆放，则∠BAD+∠DEC=（ ）
A．165° B．210° C．220° D．255°
4．在 Rt ABC中，∠C=90°，∠A﹣∠B=70°，则∠A的度数为（ ）
A．80° △ B．70° C．60° D．50°
5．已知如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠BAC=60°，BO、AO分别平分∠ABC 和∠BAC，求∠BCO的大小（）
A．35° B．40° C．55° D．60°
6．如图，已知AE是ΔABC的角平分线，AD是BC边上的高．若∠ABC=34°，∠ACB=64°，则∠DAE的大小是
（ ）
A．5° B．13° C．15° D．20°
7．如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，则图中与∠ABD互余的角有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．在 中，若一个内角等于另外两个角的差，则（ ）
A．必有一个角等于 B．必有一个角等于
C．必有一个角等于 D．必有一个角等于
二、填空题
9．如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是_______．
10．如图，已知AE是∠BAC的平分线，∠B=40°，∠C=70°，则∠AEC=________°
11．直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的锐角是_____度．
12．如图，把 ABC纸片沿MN折叠，使点C落在四边形ABNM的内部时，则∠1、∠2和 ∠C之间有一种数量关
系始终保持不△变. 这个关系是___.
三、解答题
13．如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B=35°，∠C=69°，
求：∠DAE的度数．14．如图， ，将纸片的一角折叠，使点 落在 外， 若 ，求 的
度数．
15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，根据下列条件，求∠BPC的度数．
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，则∠BPC＝ ；
（2）若∠ABC+∠ACB＝120°，则∠BPC＝ ；
（3）若∠A＝80°，则∠BPC＝ ；
（4）从以上的计算中，你能发现已知∠A，求∠BPC的公式是：∠BPC＝ （提示：用∠A表示）．参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理得到∠A+∠B+∠C=180°,设∠A=3k°，∠B=4k°，∠C=5k°,则3k°+4k°+5k°=180°,可得k的值，
及∠A、∠B、∠C的度数,可判断 ABC的形状.
【详解】 △
解：设∠A=3k°，∠B=4k°，∠C=5k°,
则3k°+4k°+5k°=180°,可得k=15°
∠A=45°，∠A=60°，∠A=75°
ABC为锐角三角形.
所以△ A选项是正确的.
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理:三角形的内角和为180°
2．B
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和等于180列式求出∠A的度数, 然后求出∠C的度数, 再根据直角三角形的两锐角互余即可计
算.
【详解】
解:∵∠C=∠ABC=2∠A ,
∴∠A+∠ABC+∠C=5∠A=180o,
解得∠A=36o,
∴∠C=2×x36o=72o,
∵BD是AC边上的高,
∴∠DBC=90o-∠C=90o-72o=18o.
故选B.
【点睛】
本题主要考查三角形内角和定理，注意运算的准确性.
3．D
【解析】
【分析】
由三角形的外角和定理进行计算可得答案.
【详解】解：由题意得:∠BAD=∠BAC+∠CAD= + = ，
由外角性质得:
∠DEC=∠D+∠DAC= + = ，
∠BAD+∠DEC= + = .
故答案选D.
【点睛】
本题主要考查三角形的外角和定理.
4．A
【解析】
【分析】
根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B=90°,然后与∠A-∠B=70°联合求解即可．
【详解】
解:∵∠C=90°,
∴∠A+∠B=90°,又∠A-∠B=70°，
∴∠A= （90°+70°）=80°,故选A．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形的性质,解决本题的关键是要熟练掌握直角三角形的性质.
5．A
【解析】
分析:先根据三角内角和可求出∠ACB=180°-50°-60°=70°,根据角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等
可得:点O到AB和BC的距离相等,同理可得:点O到AC和BC的距离相等,然后可得: 点O到AC和BC的距离相等,
再根据角平分线的判定可得:OC平分∠ACB,所以∠BCO = ∠ACB=35°.
详解: 因为∠ABC=50°,∠BAC=60°,
所以∠ACB=180°-50°-60°=70°,,
因为BO，AO分别平分∠ABC 和∠BAC,
所以点O到AB和BC的距离相等,同理可得:点O到AC和BC的距离相等,
所以点O到AC和BC的距离相等,所以OC平分∠ACB,
所以∠BCO = ∠ACB=35°.
点睛:本题主要考查三角形内角和和角平分线的性质和判定,解决本题的关键是要熟练掌握三角形内角和性质和角平
分线的性质和判定.
6．C
【解析】
【分析】
由三角形的内角和定理，可求∠BAC=82°，又由AE是∠BAC的平分线，可求∠BAE=41°，再由AD是BC边上的
高，可知∠ADB=90°，可求∠BAD=56°，所以∠DAE=∠BAD-∠BAE，问题得解．
【详解】
在△ABC中，
∵∠ABC=34°，∠ACB=64°,
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=82°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠CAE=41°.
又∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
∵在△ABD中∠BAD=90°−∠B=56°，
∴∠DAE=∠BAD −∠BAE =15°.
【点睛】
在本题中，我们需要注意到已知条件中已经告诉三角形的两个角，所以利用内角和定理可以求出第三个角，再有
已知条件中提到角平分线和高线，所以我们可以利用角平分线和高线的性质计算出相关角，从而利用角的和差求
解，在做几何证明题时需注意已知条件衍生的结论.
7．A
【解析】
【分析】
根据直角三角形两锐角之和等于90°的性质即得出结果．
【详解】
解：∵∠BAC=90°
∴∠ABD+∠C=90°；
又∵AD⊥BC，
∴∠BDA=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，
故图中与∠ABD互余的角有2个．
故选：A．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，根据互余定义，找到与∠ABD和为90°的角是关键．
8．D
【解析】
【分析】
先设三角形的两个内角分别为x，y，则可得(180°－x－y)，再分三种情况讨论，即可得到答案.
【详解】
设三角形的一个内角为x，另一个角为y，则三个角为(180°－x－y)，则有三种情况：
①
②
③
综上所述，必有一个角等于90°
故选D.
【点睛】
本题考查三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质，分情况讨论.
9．70°
【解析】
【分析】
在 中，根据∠D=90°，∠C=55°，求出∠CBD=35°，再由角平分线的定义求解．
【详解】
解：在 中，有
∠D=90°，∠C=55°
∴∠CBD=180°-∠D-∠C=180°-90°-55°=35°
又∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠CBD
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=2∠CBD=70°
故答案为：70°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理（任何一个三角形的三个内角的和都为180°），角平分线的定义（以已知角的顶
点为端点将已知角分为两个相等的角的射线），熟记并灵活运用它们是解本题的关键．
10．75
【解析】
【分析】
先由三角形内角和定理,求出∠BAC的度数,然后由角平分线的定义即可求出∠BAE的度数,然后再根据外角的性质,
即可求∠AEC的度数．
【详解】
解：∵∠B=40°,∠C=70°,
∴∠BAC=70°,
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=35°
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=75°．
【点睛】
本题主要考查了三角形外角的性质及角平分线的定义,解决本题的关键是要熟记三角形的外角等于与它不相邻的两
个内角之和．
11．45
【解析】
【分析】
根据题意画出符合条件的图形，然后根据直角三角形的两锐角互余和角平分线的性质，以及三角形的外角的性质
求解即可.
【详解】
如图所示
△ACB为Rt△，AD，BE，分别是∠CAB和∠ABC的角平分线，AD，BE相交于一点F．
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°∵AD，BE，分别是∠CAB和∠ABC的角平分线，
∴∠FAB+∠FBA= ∠CAB+ ∠ABC=45°．
故答案为45.
【点睛】
此题主要考查了直角三角形的两锐角互余和三角形的外角的性质，关键是根据题意画出相应的图形，利用三角形
的相关性质求解.
12．2∠C=∠1+∠2
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理得出∠C′=180°-∠C′MN-∠C′NM，再由图形翻折变换的性质即可得出结论．
【详解】
解：在△C′MN中，
∵∠C′+∠C′MN+∠C′NM=180°，
∴∠C′=180°-∠C′MN-∠C′NM，
由折叠的性质得：∠1+2∠C′MN=180°，∠2+2∠C′NM=180°，
∴∠1+2∠C′MN+∠2+2∠C′NM=360°，∠C=∠C′，
∴∠1+∠2=360°-2∠C′MN-2∠C′NM=2（180°-∠C′MN-∠C′NM）=2∠C′，
∴2∠C=∠1+∠2．
故答案为：2∠C=∠1+∠2．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
13．∠DAE=17°
【解析】
【分析】
先根据三角形内角和得到∠CAB=180°-∠B-∠C=76°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAE=
∠CAB=38°，∠ADC=90°，则∠CAD=90°-∠C=21°，然后利用∠DAE=∠CAE-∠CAD计算即可．
【详解】
解：∵∠B=35°，∠C=69°，
∴∠A=76°
∵∠ADC=90°，∠C=69°∴∠DAC=21°
∵AE平分∠ABC
∴∠CAE=38°
∴∠DAE=38°-21°=17°.
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°，也考查了角的和差计算．
14．
【解析】
【分析】
由三角形内角和定理可得 ，再根据折叠的性质可得 ，再根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】
解：在 中，
由折叠可知 ，
所以
所以
【点睛】
本题考查了折叠三角形的问题，掌握三角形内角和定理、折叠的性质、三角形外角的性质是解题的关键．
15．（1）125°；（2）120°；（3）130°；（4）90°+ ∠A．
【解析】
【分析】
（1）由∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，∠2+∠4=25°+30°＝55°，在 BCP中，由三角形内角和为180°可得答案；
△
（2）同理，由ABC+∠ACB＝120°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，可得∠2+∠4＝ ×120°＝60°，在
BCP中，由三角形内角和为180°可得答案；
△(3) A＝80°，可得ABC+∠ACB＝100°，∠2+∠4＝ ×100°＝50°，可得∠BPC的度数；
（4）ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，可得∠2+∠4＝ ×（180°﹣∠A），在
BCP中，∠P＝180°﹣ ×（180°﹣∠A）＝90°+ ∠A
△
【详解】
解：（1）∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠2+∠4＝25°+30°＝55°，
∴△BCP中，∠P＝180°﹣55°＝125°，
故答案为125°；
（2）∵∠ABC+∠ACB＝120°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠2+∠4＝ ×120°＝60°，
∴△BCP中，∠P＝180°﹣60°＝120°，
故答案为120°；
（3）∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠2+∠4＝ ×100°＝50°，
∴△BCP中，∠P＝180°﹣50°＝130°，
故答案为130°；
（4））∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠2+∠4＝ ×（180°﹣∠A），
∴△BCP中，∠P＝180°﹣ ×（180°﹣∠A）＝90°+ ∠A．故答案为90°+ ∠A．
【点睛】
本题主要考查三角形的内角和定理与角平分线的性质： 三角形的内角和是180 , 得到相应规律是: 三角形两个内
角平分线所夹的钝角等于90 +第三个角的一半.
