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14.1 整式乘法
单项式的乘法法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连
同它们的指数作为积的一个因式.
注意：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的
乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相
加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
题型1：单项式乘单项式-计算
1.计算 3x2 ⋅(-2x3 ) 的结果是（ ）
A．6x5 B．-6x5 C．-2x6 D．2x6
【变式1-1】计算：
（1） ＝ ；
（2）6b2•4ab＝ ；
（3）2m3n•（﹣mn2）＝ ；
（4）﹣4a3b2c•3ab3＝ ．
【变式1-2】计算：（1）5a2•a4﹣3（a3）2+（﹣a3）2．
（2）（﹣ ab）•（﹣4a2b）+6a•（﹣2ab）2．
题型2：单项式乘单项式-科学计数法2.光的速度约为3×105km/s，太阳光射到地球上需要的时间约是5×102s，地球与太阳的距离约是多少千
米？
【变式2-1】经天文学家测算，太阳系外离地球最近的恒星系是南门二，其中比邻星发出的光到达地球的
时间约为4.22年，光的速度是3×105km/s，求比邻星到地球的距离s．（结果用科学记数法表示，1年按
3.15×107秒计算）
【变式2-2】市环保局将一个长为2×106分米，宽为4×104分米，高为8×102分米的长方体废水池中的满池
废水注入正方体贮水池净化，那么请你想一想，能否恰好有一个正方体贮水池将这些废水刚好装满？若
有，求出正方体贮水池的棱长；若没有，请说明理由．
单项式与多项式相乘的运算法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 .即
m(abc)mambmc
.
注意：
（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
题型3：单项式乘多项式-计算
3.已知﹣4a与一个多项式的积是16a3+12a2+4a，则这个多项式是（ ）
A．﹣4a2+3a B．4a2﹣3a C．4a2﹣3a+1 D．﹣4a2﹣3a﹣1
【变式3-1】计算：
（1）（﹣2a2b）3•（3b2﹣4a+6）；
（2）（﹣2m）2•（ m2﹣5m﹣3）．
【变式3-2】计算：（1） ．
（2）6a2（ ab﹣b2）﹣2a2b（a﹣b）．
多项式与多项式相乘的运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即
abmnamanbmbn
.
注意：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并 .特殊的二项式相乘：
xaxb x2 abxab
.
题型4：多项式乘多项式-计算
4.计算（x+5）（x﹣3）的结果是（ ）
A．x2﹣15 B．x2+15 C．x2+2x﹣15 D．x2﹣2x﹣15
【变式4-1】（1）（2a+b）（2b﹣a）．
（2）（2） ．
（3）（2x﹣7y）（3x+4y﹣1）．
【变式4-2】（1）计算：（x+3）（x﹣7）﹣x（x﹣1）．
（2）（x+1）（x﹣2）+x（x+1）+1．
（3）2x（x﹣3）+（x﹣2）（x+7）．
题型5：整式乘法与求字母的值
5.若（x+3）（2x﹣m）＝2x2+nx﹣15，则（ ）
A．m＝﹣5，n＝1 B．m＝﹣5，n＝﹣1 C．m＝5，n＝1 D．m＝5，n＝﹣1
【变式5-1】已知A=（a+3）（a-2）+a（2-a）．
（1）化简A；（2）若a的值是不等式组 的最大整数解，求A的值．
【变式5-2】已知（m+n）xnym-2（3xy2+5x2y）=21xmyn+1+35xm+1yn，求m和n.
题型6：整式乘法与化简求值
6.先化简，再求值：（x+y）2﹣y（2x+y）﹣8y，其中x=﹣1，y=2．
1
【变式6-1】．先化简，再求值：（2a+b）（﹣b+2a）﹣（2a﹣3b）2﹣5b（3a﹣2b），其中a=﹣
2
1
，b= ．
3
【变式6-2】先化简，再求值：
1
（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2，其中x=﹣4，y= ．
2
题型7：整式乘法错看问题
7.某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时，因抄错运算符号，算成了加上﹣3x2，得到的结果是x2﹣
4x+1，那么正确的计算结果是多少？
【变式7-1】在计算 (x+a)(x+b) 时，甲把错 b 看成了6，得到结果是： x2+8x+12 ；乙错把 a
看成了 -a ，得到结果： x2+x-6 .
（1）求出 a,b 的值；
（2）在（1）的条件下，计算 (x+a)(x+b) 的结果.
【变式7-2】在计算（x+a）（x+b）时，甲把b错看成了6，得到结果是：x2+8x+12；乙错把a看成了-
a,得到结果：x2+x-6．
（1）求出a,b的值；
（2）在（1）的条件下，计算（x+a）（x+b）的结果．
题型8：整式乘法遮挡问题
8.在复习“整式的乘除与因式分解”时，老师在黑板上书与了一道练习题并正确地计算出结果，随后
用手遮住了一个多项式，形式如下： •（﹣22x）＝﹣8x3﹣4x2+4x
（1）设老师遮住的多项式为A，求多项式A．（2）求多项式A与多项式x﹣ 的乘积．
【变式8-1】李老师给同学们讲了一道题，小明认真地把它抄在笔记本上，放学后回到家拿出课堂笔记
本，突然这道题的被除式的第二项和商的第一项被墨水污染了，污染后的习题如下：（ 21x4y3﹣
+7x2y2）÷（﹣7x2y）＝ +5xy﹣y．你能复原被污染的地方吗？请你试一试．
【变式8-2】莜莜不小心将墨水滴到了课本上，刚好把数学题（9x5y2﹣2x3y）■xy的运算符号遮住．
（1）若被墨水遮住的运算符号为乘号，求该数学题的计算结果；
（2）若该数学题的结果为9x4y﹣2x2，求被墨水遮住的运算符号．
题型9：整式乘法不含某项问题
9.已知（x2+nx）与（x2﹣3x+m）的乘积中不含x2和x3的项，求m，n的值．
【变式9-1】已知将（x3+ax+b）（x2﹣3x+4）展开的结果不含x2和x3项，求a，b的值．
【变式9-2】关于x的代数式（ax﹣3）（2x+1）﹣4x2+m化简后不含有x2项和常数项，且an+mn＝﹣5，求
﹣4n2+3m的值．
【分析】先利用多项式乘多项式法则化简整式，再根据化简后不含有 x2项和常数项求出a、m，代入方
程an+mn＝﹣5求出n，最后求出﹣4n2+3m的值．
【变式9-3】（1）已知计算（x2+mx+n）（x2-4x+2）的结果不含x3和x2项，求m、n的值．
（2）已知△ABC三边分别为a、b、c,化简：|a-2b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|．
题型10：整式乘法新定义问题
10.将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线记成 ，定义 ＝ad﹣bc，上述记号
叫做二阶行列式，若 ＝5x，求x的值．
【变式10-1】定义：一个多项式A乘以另一个多项式B化简得到新的多项式C，若C的项数比A的项数多
不超过1项，则称B是A的“友好多项式”．特别地，当C的项数和A相同时，则称B是A的“特别友
好多项式”．
（1）若A＝x﹣2，B＝x+3，那么B是否是A的“友好多项式”？请说明理由；
（2）若A＝x﹣2，B是A的“特别友好多项式”，
①请举出一个符合条件的二项式B＝ ．
②若B是三项式，请举出一个符合条件的B，并说明理由；
（3）若A是三项式，是否存在同样是三项式的 B，使得B是A的“友好多项式”？若存在，请举例说明，若不存在，请说明理由．
【变式10-2】给出如下定义：我们把有序实数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的特征系
数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式．
（1）关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为 ；
（2）求有序实数对（1，4，4）的特征多项式与有序实数对（1，﹣4，4）的特征多项式的乘积；
（3）若有序实数对（p，q，﹣1）的特征多项式与有序实数对（m，n，﹣2）的特征多项式的乘积的结
果为2x4+x3﹣10x2﹣x+2，直接写出（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）的值为 ．
题型11：整式乘法与规律问题
11.观察下面的几个算式，你发现了什么规律？
①16×14＝224＝1×（1+1）×100+6×4
②23×27＝621＝2×（2+1）×100+3×7
③32×38＝1216＝3×（3+1）×100+2×8
（1）按照上面的规律，依照上面的书写格式，迅速写出81×89的结果；
（2）用公式（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab证明上面所发现的规律[提示：可设这个两位数分别是
（10n+a）、（10n+b），其中a+b＝10]；
（3）简单叙述以上所发现的规律．
【变式11-1】观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
（1）根据上面各式的规律可得（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x2+x+1）＝ （其中n为正整数）；
（2）利用上述规律，求1+2+22+23+…+250的值．
【变式11-2】探究应用：
（1）计算：（x﹣1）（x2+x+1）＝ ；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝ ．
（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a、b的等式表示该公式为：
．
（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是 ．
A．（m+2）（m2+2m+4）
B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2）
C．（3﹣n）（9+3n+n2）
D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）（4）设A＝109﹣1，利用上述规律，说明A能被37整除．
单项式除以单项式法则 多项式除以单项式法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相
多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单
除作为商的因式，对于只有被除式里含有的
项 式 ， 再 把 所 得 的 商 相 加 . 即
字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
ambmcmmammbmmcmmabc
注意：（1）法则包括三个方面：①系数相 注意：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项
除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现 式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除
的字母，连同它的指数作为商的一个因式. 以单项式.
（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系 （2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符
数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式 号，要注意符号的变化.
除以单项式的结果仍为单项式.
题型12：整式除法的运算与求值
12.计算：（1）（3a2b3）•（﹣2ab4）÷（6a2b3）．
（2）a•a2•a3+（﹣2a3）2﹣（2a4）2÷a2．
（3）计算：a2•a4﹣6a8÷2a2+（﹣3a3）2．
（2）（12x3﹣18x2+6x）÷（﹣6x）．
【变式12-1】计算：[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y．
计算：（8x4﹣6x3﹣4x2+10x）÷（﹣2x）．
【变式12-2】若某多项式除以2x2﹣3，得到的商式为x+4，余式为3x+1，求此多项式．
【变式12-3】如果 ，求m，a，b的值．
一、单选题
1．下列各式正确的是（ ）.
A．√4=2√2 B．20=0 C．3a-2a=1 D．
2-(-2)=4
2．下列计算结果是 x6 的是（ ）
A．x3+x3 B．x4÷x2 C．x2 ⋅x3 D．(x3 ) 2
3．已知 (x-1) 3=ax3+bx2+cx+d ，则 a+b+c+d 的值为（ ）A．-1 B．0 C．1 D．不能确
定
4．下列运算中，结果正确的是（ ）
A．a3÷a3=a B．a2+a2=a4 C．(a3 ) 2=a5 D．a3·a4＝
a7
5．下列运算正确的是（ ）
A．（x3）3=x9 B．（﹣2x）3=﹣6x3
C．2x2﹣x=x D．x6÷x3=x2
6．下列运算正确的是（ ）
A．7a3-3a2=4a B．(a2 ) 3=a5
C．a6÷a3=a2 D．-a(-a+1)=a2-a
二、填空题
7．计算 (a2 ) 3÷a2 的结果等于 .
8．计算： -√9-π0= .
9．有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据
1
如图所示，右边场地为长方形，长为 (a+b) ，则宽为 ．
2
10．按下面程序计算，输入x=-3 ， 则输出的答案是 。
三、计算题11．计算：
（1）（x﹣5）（x+3）．
（2）﹣5a5b3c÷15a4b．
12．计算．
（1）（4x2y﹣8x3y2）÷（4x2y）；
（2）（5x2y3﹣4x3y2+6x）÷（6x）；
1
（3）(2a2b-4ab2+6b3 )÷(- b) ；
2
（4）[x（3﹣4x）+2x2（x﹣1）]÷（﹣2x）．
四、解答题
13．已知2a2+3a﹣6=0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．
14．（﹣2a2）•（﹣ab2）3•（2a2b3）
15．提出问题：怎么运用矩形面积表示(y+2)(y+3)与2y+5的大小关系（其中y>0）？
几何建模：
（1）画长y+3，宽y+2的矩形，按图方式分割
（2）变形：2y+5=(y+2)+(y+3)
（3）分析：图中大矩形的面积可以表示为(y+2)(y+3)；阴影部分面积可以表示为
(y+3)×1，画点部分的面积可表示为y+2，由图形的部分与整体的关系可知：
(y+2)(y+3)＞(y+2)+(y+3)，即(y+2)(y+3)＞2y+5
归纳提炼：当a>2，b>2时，表示ab与a+b的大小关系．根据题意，设a=2+m，
b=2+n(m>0，n>0)，要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用铅
笔画图，并标注相关线段的长
