文档内容
14.1 整式乘法
单项式的乘法法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连
同它们的指数作为积的一个因式.
注意：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的
乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相
加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
题型1：单项式乘单项式-计算
1.计算 3x2 ⋅(-2x3 ) 的结果是（ ）
A．6x5 B．-6x5 C．-2x6 D．2x6
【答案】B
【解析】【解答】解： 3x2 ⋅(-2x3 )=-6x5 ，
故答案为：B．
【分析】利用单项式乘单项式的计算法则求解即可。
【变式1-1】计算：
（1） ＝ ；
（2）6b2•4ab＝ ；
（3）2m3n•（﹣mn2）＝ ；
（4）﹣4a3b2c•3ab3＝ ．【分析】（1）根据单项式乘单项式的乘法法则解决此题．
（2）根据单项式乘单项式的乘法法则解决此题．
（3）根据单项式乘单项式的乘法法则解决此题．
（4）根据单项式乘单项式的乘法法则解决此题．
【解答】解：（1） ＝2x2y；
故答案为：2x2y．
（2）6b2•4ab＝24ab3；
故答案为：24ab3．
（3）2m3n•（﹣mn2）＝﹣2m4n3；
故答案为：﹣2m4n3．
（4）﹣4a3b2c•3ab3＝﹣12a4b5c．
故答案为：﹣12a4b5c．
【点评】本题主要考查单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的乘法法则是解决本题的关键．
【变式1-2】计算：（1）5a2•a4﹣3（a3）2+（﹣a3）2．
【解答】解：5a2•a4﹣3（a3）2+（﹣a3）2
＝5a6﹣3a6+a6
＝3a6．
（2）（﹣ ab）•（﹣4a2b）+6a•（﹣2ab）2．
【解答】解：（﹣ ab）•（﹣4a2b）+6a•（﹣2ab）2
＝ a3b2+6a•4a2b2
＝ a3b2+24a3b2．
＝ a3b2．
【点评】此题考查了单项式乘单项式以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
题型2：单项式乘单项式-科学计数法
2.光的速度约为3×105km/s，太阳光射到地球上需要的时间约是5×102s，地球与太阳的距离约是多少千
米？
【分析】根据路程＝速度×时间，先列式表示地球到太阳的距离，再用科学记数法表示．
【解答】解：3×105×5×102＝15×107＝1.5×108千米．
故地球与太阳的距离约是1.5×108千米．
【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．同时考查了同底数幂的乘法．
【变式2-1】经天文学家测算，太阳系外离地球最近的恒星系是南门二，其中比邻星发出的光到达地球的
时间约为4.22年，光的速度是3×105km/s，求比邻星到地球的距离s．（结果用科学记数法表示，1年按
3.15×107秒计算）
【分析】直接利用已知求出时间×光速＝距离，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得，s＝4.22×3.15×107×3×105＝3.9879×1013（km），
答：比邻星到地球的距离s为3.9879×1013km．
【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题关键．
【变式2-2】市环保局将一个长为2×106分米，宽为4×104分米，高为8×102分米的长方体废水池中的满池
废水注入正方体贮水池净化，那么请你想一想，能否恰好有一个正方体贮水池将这些废水刚好装满？若
有，求出正方体贮水池的棱长；若没有，请说明理由．
【分析】根据单项式的乘法，可得长方体的体积，根据积的乘方等于乘方的积，可得正方体的体积，可
得答案．
【解答】解：有，
因为长方体废水池的容积为（2×106）×（4×104）×（8×102）＝64×1012＝（4×104）3，
所以正方体水池的棱长为4×104分米．
【点评】本题考查了单项式的乘法，利用单项式的乘法是解题关键．
单项式与多项式相乘的运算法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 .即
m(abc)mambmc
.
注意：
（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
题型3：单项式乘多项式-计算
3.已知﹣4a与一个多项式的积是16a3+12a2+4a，则这个多项式是（ ）
A．﹣4a2+3a B．4a2﹣3a C．4a2﹣3a+1 D．﹣4a2﹣3a﹣1
【分析】直接利用整式的乘除运算法则得出答案．
【解答】解：∵﹣4a与一个多项式的积是16a3+12a2+4a，
∴这个多项式是：（16a3+12a2+4a）÷（﹣4a）＝﹣4a2﹣3a﹣1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了整式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【变式3-1】计算：（1）（﹣2a2b）3•（3b2﹣4a+6）；
（2）（﹣2m）2•（ m2﹣5m﹣3）．
【分析】（1）先算积的乘方，再算单项式乘多项式即可；
（2）先算积的乘方，再算单项式乘多项式即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣8a6b3⋅（3b2﹣4a+6）
＝﹣24a6b5+32a7b3﹣48a6b3；
（2）原式＝ ．
＝m4﹣20m3﹣12m2．
【点评】本题主要考查单项式乘多项式，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【变式3-2】计算：（1） ．
【分析】利用单项式乘多项式的法则进行求解即可．
【解答】解：
＝2x•x2﹣2x× +2x×1
＝2x3﹣x2+2x．
（2）6a2（ ab﹣b2）﹣2a2b（a﹣b）．
【解答】解：6a2（ ab﹣b2）﹣2a2b（a﹣b）
＝2a3b﹣6a2b2﹣2a3b+2a2b2
＝﹣4a2b2．
多项式与多项式相乘的运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即
abmnamanbmbn
.
注意：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之
积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并 .特殊的二项式相乘：
xaxb x2 abxab
.
题型4：多项式乘多项式-计算
4.计算（x+5）（x﹣3）的结果是（ ）
A．x2﹣15 B．x2+15 C．x2+2x﹣15 D．x2﹣2x﹣15
【分析】根据多项式乘多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn，计算即可．【解答】解：（x+5）（x﹣3）＝x2+2x﹣15．
故选：C．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
【变式4-1】（1）（2a+b）（2b﹣a）．
【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算即可．
【解答】解：（2a+b）（2b﹣a）
＝4ab﹣2a2+2b2﹣ab
＝3ab﹣2a2+2b2．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
（2）（2） ．
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则解答即可．
【解答】解：原式＝ x2﹣ xy+ xy﹣y2
＝ x2+ xy﹣y2．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
（3）（2x﹣7y）（3x+4y﹣1）．
【分析】利用多项式乘多项式的法则进行求解即可．
【解答】解：（2x﹣7y）（3x+4y﹣1）
＝6x2+8xy﹣2x﹣21xy﹣28y2+7y
＝6x2﹣13xy﹣2x﹣28y2+7y．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【变式4-2】（1）计算：（x+3）（x﹣7）﹣x（x﹣1）．
【分析】利用多项式乘多项式的法则及单项式乘多项式的法则进行运算，再合并同类项即可．
【解答】解：（x+3）（x﹣7）﹣x（x﹣1）
＝x2﹣7x+3x﹣21﹣x2+x
＝﹣3x﹣21．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，解答的关键是在运算过程中注意符号的变
化．
（2）（x+1）（x﹣2）+x（x+1）+1．
【分析】根据多项式乘多项式、单项式乘多项式以及整式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝x2﹣x﹣2+x2+x+1
＝2x2﹣1．
【点评】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式以及整式的加减运算法则，本题属于基础题型．
（3）2x（x﹣3）+（x﹣2）（x+7）．【分析】先根据单项式乘多项式和多项式乘多项式进行计算，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝2x2﹣6x+x2+7x﹣2x﹣14
＝3x2﹣x﹣14．
【点评】本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺
序．
题型5：整式乘法与求字母的值
5.若（x+3）（2x﹣m）＝2x2+nx﹣15，则（ ）
A．m＝﹣5，n＝1 B．m＝﹣5，n＝﹣1 C．m＝5，n＝1 D．m＝5，n＝﹣1
【分析】先根据多项式乘多项式法则展开，根据多项式恒等的法则得出方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：（x+3）（2x﹣m）＝2x2﹣mx+6x﹣3m＝2x2+（﹣m+6）x﹣3m，
∵（x+3）（2x﹣m）＝2x2+nx﹣15，
∴﹣m+6＝n，﹣3m＝﹣15，
解得：m＝5，n＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了多项式乘多项式和解二元一次方程组，能正确运用多项式乘多项式法则展开是解此
题的关键．
【变式5-1】已知A=（a+3）（a-2）+a（2-a）．
（1）化简A；
（2）若a的值是不等式组 的最大整数解，求A的值．
【答案】（1）3a-6；
（2）此不等式组的解集：2≤＜4，3．
【分析】（1）去括号合并同类项；
（2）求出不等式组的解，根据a的值是不等式组的最大整数解，确定a的值，再代入（1）的结果计
算．
【解答】解：（1）A=（a+3）（a-2）+a（2-a）
=a2+a-6+2a-a2
=3a-6；
（2）解每一个不等式，得
∴此不等式组的解集：2≤a＜4，
∵a的值是不等式组的最大整数解，
∴a=3，
∴A=3×3-6=3．
【点评】本题考查多项式与多项式相乘、单项式与多项式相乘、一元一次不等式组的整数解，掌握多项式与多项式相乘、单项式与多项式相乘的运算法则，求出一元一次不等式组的整数解是解题关键．
【变式5-2】已知（m+n）xnym-2（3xy2+5x2y）=21xmyn+1+35xm+1yn，求m和n.
【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可．
【解答】解：由（m+n）xnym-2（3xy2+5x2y）=21xmyn+1+35xm+1yn，得
【点评】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处
理．
题型6：整式乘法与化简求值
6.先化简，再求值：（x+y）2﹣y（2x+y）﹣8y，其中x=﹣1，y=2．
【答案】解：原式=x2+2xy+y2﹣2xy﹣y2﹣8y=x2﹣8y，
当x=﹣1，y=2时，原式=1﹣16=﹣15．
【解析】【分析】原式利用完全平方公式及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，
把x与y的值代入计算即可求出值．
1
【变式6-1】．先化简，再求值：（2a+b）（﹣b+2a）﹣（2a﹣3b）2﹣5b（3a﹣2b），其中a=﹣
2
1
，b= ．
3
【答案】解：原式=4a2﹣b2﹣（4a2﹣12ab+9b2）﹣（15ab﹣10b2）
=4a2﹣b2﹣4a2+12ab﹣9b2﹣15ab+10b2
=﹣3ab．
1 1 1 1 1
当a=﹣ ，b= 时，原式=﹣3×（﹣ ）× =
2 3 2 3 2
【解析】【分析】首先利用平方差公式、完全平方公式以及单项式与多项式的乘法法则计算，然后合
并同类项即可化简，然后代入数值计算．
【变式6-2】先化简，再求值：
1
（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2，其中x=﹣4，y= ．
2
【答案】解：原式=x2﹣4xy+4y2﹣x2﹣3xy）﹣4y2
=﹣7xy，
1 1
当x=﹣4，y= 时，原式=﹣7×（﹣4）× =14
2 2【解析】【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的法则把原式进行化简，代入已知数据计算即
可．
题型7：整式乘法错看问题
7.某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时，因抄错运算符号，算成了加上﹣3x2，得到的结果是x2﹣
4x+1，那么正确的计算结果是多少？
【答案】解：这个多项式是（x2﹣4x+1）﹣（﹣3x2）=4x2﹣4x+1，
正确的计算结果是：（4x2﹣4x+1）•（﹣3x2）=﹣12x4+12x3﹣3x2．
【解析】【分析】用错误结果减去已知多项式，得出原式，再乘以﹣3x2得出正确结果．
【变式7-1】在计算 (x+a)(x+b) 时，甲把错 b 看成了6，得到结果是： x2+8x+12 ；乙错把 a
看成了 -a ，得到结果： x2+x-6 .
（1）求出 a,b 的值；
（2）在（1）的条件下，计算 (x+a)(x+b) 的结果.
【答案】（1）解：由甲计算得： (x+a)(x+6)=x2+8x+12
∴6a=12
∴a=2 ；
代入乙的式子，得 (x-2)(x+b)=x2+x-6
∴-2b=-6
∴b=3 .
（2）解： (x+2)(x+3)
= x2+3x+2x+6
= x2+5x+6 .
【解析】【分析】（1）按甲、乙错误的说法得出的系数的数值求出a，b的值；（2）把a，b的值代
入原式求出整式乘法的正确结果.
【变式7-2】在计算（x+a）（x+b）时，甲把b错看成了6，得到结果是：x2+8x+12；乙错把a看成了-
a,得到结果：x2+x-6．
（1）求出a,b的值；
（2）在（1）的条件下，计算（x+a）（x+b）的结果．
【分析】（1）根据题意得出（x+a）（x+6）=x2+（6+a）x+6a=x2+8x+12，（x-a）（x+b）=x2+（-
a+b）x-ab=x2+x-6，得出6+a=8，-a+b=1，求出a、b即可；
（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．
【解答】解：（1）根据题意得：（x+a）（x+6）=x2+（6+a）x+6a=x2+8x+12，
（x-a）（x+b）=x2+（-a+b）x-ab=x2+x-6，
所以6+a=8，-a+b=1，
解得：a=2，b=3；（2）当a=2，b=3时，（x+a）（x+b）=（x+2）（x+3）=x2+5x+6．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则和解方程，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是
解此题的关键．
题型8：整式乘法遮挡问题
8.在复习“整式的乘除与因式分解”时，老师在黑板上书与了一道练习题并正确地计算出结果，随后
用手遮住了一个多项式，形式如下： •（﹣22x）＝﹣8x3﹣4x2+4x
（1）设老师遮住的多项式为A，求多项式A．
（2）求多项式A与多项式x﹣ 的乘积．
【分析】（1）由题意得所求的多项式A＝（﹣8x3﹣4x2+4x）÷（﹣22x），从而可求解；
（2）利用多项式乘多项式的法则进行求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：A＝（﹣8x3﹣4x2+4x）÷（﹣22x）
＝﹣8x3÷（﹣4x）﹣4x2÷（﹣4x）+4x÷（﹣4x）
＝2x2+x﹣1；
（2）由题意得：
（2x2+x﹣1）（x﹣ ）
＝2x3﹣x2+x2﹣ x﹣x+
＝2x3﹣ x+ ．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【变式8-1】李老师给同学们讲了一道题，小明认真地把它抄在笔记本上，放学后回到家拿出课堂笔记
本，突然这道题的被除式的第二项和商的第一项被墨水污染了，污染后的习题如下：（21x4y3﹣
+7x2y2）÷（﹣7x2y）＝ +5xy﹣y．你能复原被污染的地方吗？请你试一试．
【分析】利用多项式除以单项式法则判断即可确定出所求．
【解答】解：根据题意得：5xy•（﹣7x2y）＝﹣35x3y2，（21x4y3）÷（﹣7x2y）＝﹣3x2y2，
（21x4y3﹣35x3y2+7x2y2）÷（﹣7x2y）＝﹣3x2y2+5xy﹣y，
则被污染的地方是35x3y2，﹣3x2y2．
【点评】此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式8-2】莜莜不小心将墨水滴到了课本上，刚好把数学题（9x5y2﹣2x3y）■xy的运算符号遮住．
（1）若被墨水遮住的运算符号为乘号，求该数学题的计算结果；
（2）若该数学题的结果为9x4y﹣2x2，求被墨水遮住的运算符号．【分析】（1）直接利用整式的乘法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）（9x5y2﹣2x3y）•xy
＝9x6y3﹣2x4y2；
（2）∵（9x5y2﹣2x3y）÷xy
＝9x4y﹣2x2，
∴墨水遮住的运算符号为：÷．
【点评】此题主要考查了整式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
题型9：整式乘法不含某项问题
9.已知（x2+nx）与（x2﹣3x+m）的乘积中不含x2和x3的项，求m，n的值．
【分析】利用多项式乘多项式法则计算得到结果，根据结果不含 x2和x3的项，确定出m与n的值即
可．
【解答】解：根据题意得：
（x2+nx）（x2﹣3x+m）
＝x4﹣3x3+mx2+nx3﹣3nx2+mnx
＝x4+（n﹣3）x3+（m﹣3n）x2+mnx，
∵（x2+nx）与（x2﹣3x+m）的乘积中不含x2和x3的项，
∴n﹣3＝0，m﹣3n＝0，
解得：m＝9，n＝3．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式9-1】已知将（x3+ax+b）（x2﹣3x+4）展开的结果不含x2和x3项，求a，b的值．
【分析】先用多项式乘多项式展开，再让x3，x2的系数为0．列方程求解．
【解答】解：（x3+ax+b）（x2﹣3x+4）
＝x5﹣3x4+4x3+ax3﹣3ax2+4ax+bx2﹣3bx+4b
＝x5﹣3x4+（4+a）x3+（﹣3a+b）x2+（4a﹣3b）x+4b
∵不含x3和x2项，
∴4+a＝0，﹣3a+b＝0，
解得a＝﹣4，b＝﹣12．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，方程思想是解题的关键．
【变式9-2】关于x的代数式（ax﹣3）（2x+1）﹣4x2+m化简后不含有x2项和常数项，且an+mn＝﹣5，求
﹣4n2+3m的值．
【分析】先利用多项式乘多项式法则化简整式，再根据化简后不含有 x2项和常数项求出a、m，代入方程an+mn＝﹣5求出n，最后求出﹣4n2+3m的值．
【解答】解：（ax﹣3）（2x+1）﹣4x2+m
＝2ax2﹣6x+ax﹣3﹣4x2+m
＝（2a﹣4）x2+（a﹣6）x+m﹣3．
∵化简后不含有x2项和常数项，
∴2a﹣4＝0，m﹣3＝0．
∴a＝2，m＝3．
∵an+mn＝﹣5，
∴2n+3n＝﹣5．
∴n＝﹣1．
∴﹣4n2+3m
＝﹣4×（﹣1）2+3×3
＝﹣4×1+9
＝﹣4+9
＝5．
【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握多项式乘多项式法则、一元一次方程的解法是解决本题的关
键．
【变式9-3】（1）已知计算（x2+mx+n）（x2-4x+2）的结果不含x3和x2项，求m、n的值．
（2）已知△ABC三边分别为a、b、c,化简：|a-2b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|．
【分析】（1）先利用多项式乘法法则把多项式展开，由于展开后不含x3和x2项，则含x3和x2项的系
数为0，由此可以得到4-m=0，2-4m+n=0，解方程组即可以求出m、n；
（2）根据三角形的三边关系“两边之和＞第三边，两边之差＜第三边”，判断式子的符号，再根据绝对
值的意义去掉绝对值即可．
【解答】解：（1）（x2+mx+n）（x2-4x+2）
=x4-（4-m）x3+（2-4m+n）x2+（2m-4n）x+2n,
∵展开的结果不含x3和x2项，
∴4-m=0，2-4m+n=0，
解得：m=4，n=14．
即m=4，n=14；
（2）根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，
得a-2b-c＜0，b-c-a＜0，c-a-b＜0．
∴|a-2b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|
=-（a-2b-c）+（a+c-b）+（a+b-c）
=-a+2b+c+a+c-b+a+b-c
=a+2b+c.
【点评】考查了多项式乘多项式，三角形的三边关系、绝对值及整式的加减，关键是根据多项式相乘法则以及多项式的项的定义解答，注意三角形的三边关系和绝对值的性质的综合运用．
题型10：整式乘法新定义问题
10.将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线记成 ，定义 ＝ad﹣bc，上述记号
叫做二阶行列式，若 ＝5x，求x的值．
【分析】根据新定义列出一元一次方程，解方程得到答案．
【解答】解：由题意得（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣3）（x+1）＝5x，
解得x＝﹣ ．
【点评】本题考查的是新定义、多项式乘多项式和一元一次方程的解法，根据新定义列出一元一次方程
是解题的关键．
【变式10-1】定义：一个多项式A乘以另一个多项式B化简得到新的多项式C，若C的项数比A的项数多
不超过1项，则称B是A的“友好多项式”．特别地，当C的项数和A相同时，则称B是A的“特别友
好多项式”．
（1）若A＝x﹣2，B＝x+3，那么B是否是A的“友好多项式”？请说明理由；
（2）若A＝x﹣2，B是A的“特别友好多项式”，
①请举出一个符合条件的二项式B＝ ．
②若B是三项式，请举出一个符合条件的B，并说明理由；
（3）若A是三项式，是否存在同样是三项式的B，使得B是A的“友好多项式”？若存在，请举例说
明，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“友好多项式”的定义判断；
（2）①根据“特别友好多项式”的定义解答；
②根据“特别友好多项式”的定义写出多项式，根据多项式乘多项式的法则证明；
（3）根据“友好多项式”的定义写出多项式，根据多项式乘多项式的法则证明．
【解答】解：（1）B是A的“友好多项式”，
理由如下：（x﹣2）（x+3）＝x2﹣2x+3x﹣6＝x2+x﹣6，
x2+x﹣6的项数比A的项数多不超过1项，
则B是A的“友好多项式”；
（2）①（x﹣2）（x+2）＝x2﹣4，
∴x+2是A的“特别友好多项式”；
②（x﹣2）（x2+2x+4）＝x3﹣2x2+2x2﹣4x+4x﹣8＝x3﹣8，
∴x2+2x+4是A的“特别友好多项式”；
（3）存在，例如，a+b+c与a+b﹣c是“友好多项式”，
理由如下：（a+b+c）（a+b﹣c）＝（a+b）2﹣c2＝a2+2ab+b2﹣c2，∴a+b+c与a+b﹣c是“友好多项式”．
【点评】本题考查的是多项式乘多项式，掌握“友好多项式”的定义，多项式乘多项式的运算法则是解
题的关键．
【变式10-2】给出如下定义：我们把有序实数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的特征系
数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式．
（1）关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为 ；
（2）求有序实数对（1，4，4）的特征多项式与有序实数对（1，﹣4，4）的特征多项式的乘积；
（3）若有序实数对（p，q，﹣1）的特征多项式与有序实数对（m，n，﹣2）的特征多项式的乘积的结
果为2x4+x3﹣10x2﹣x+2，直接写出（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）的值为 ．
【分析】（1）根据特征系数对的定义即可解答；
（2）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再根据多项式乘多项式进行计算即可；
（3）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再令x＝﹣2即可得出答案．
【解答】解：（1）关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为 （3，2，﹣1），
故答案为：（3，2，﹣1）；
（2）∵有序实数对（1，4，4）的特征多项式为：x2+4x+4，
有序实数对（1，﹣4，4）的特征多项式为：x2﹣4x+4，
∴（x2+4x+4）（x2﹣4x+4）
＝x4﹣4x3+4x2+4x3﹣16x2+16x+4x2﹣16x+16
＝x4﹣8x2+16；
（3）根据题意得（px2+qx﹣1）（mx2+nx﹣2）＝2x4+x3﹣10x2﹣x+2，
令x＝﹣2，
则（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）＝2×16﹣8﹣10×4+2+2，
∴（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）＝32﹣8﹣40+2+2，
∴（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）＝﹣12，
∴（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，给x赋予特殊值﹣2是解题的关键．
题型11：整式乘法与规律问题
11.观察下面的几个算式，你发现了什么规律？
①16×14＝224＝1×（1+1）×100+6×4
②23×27＝621＝2×（2+1）×100+3×7
③32×38＝1216＝3×（3+1）×100+2×8
（1）按照上面的规律，依照上面的书写格式，迅速写出81×89的结果；
（2）用公式（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab证明上面所发现的规律[提示：可设这个两位数分别是（10n+a）、（10n+b），其中a+b＝10]；
（3）简单叙述以上所发现的规律．
【分析】（1）观察上面几个式子，发现：左边两个因数的十位数字相同，个位数字和是10；则右边的
结果是一个四位数，其中个位和十位上的数是左边两个因数的个位相乘，百位和千位上的数是左边十位
上的数字和大于十位数字1的数相乘．根据这一规律即可写出81×89＝7209；
（2）根据（1）发现的两个数的特点，用字母表示出来，然后运用公式展开进行证明；
（3）既要叙述等式左边的规律，还要叙述等式右边的规律，即（1）中的叙述．
【解答】解：（1）81×89＝8×（8+1）×100+1×9＝7209；
（2）设这两个两位数分别是10n+a和10n+b，其中a+b＝10，
（10n+a）（10n+b）＝100n2+（a+b）×10n+ab
＝100n2+100n+ab
＝100n（n+1）+ab；
（3）两个十位数字相同，个位数字和是10的两个两位数相乘，等于它们的十位数字与十位数字加1的
数相乘的100倍，再加上两个数的个位数字的积．
【点评】此题主要考查了整式混合运算的应用，找出题中的规律是解本题的关键．
【变式11-1】观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
（1）根据上面各式的规律可得（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x2+x+1）＝ （其中n为正整数）；
（2）利用上述规律，求1+2+22+23+…+250的值．
【分析】（1）根据已知等式，归纳总结得到一般性结果即可；
（2）原式变形后，计算即可得到结果．
【解答】解：（1）（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x2+x+1）＝xn+1﹣1；
（2）原式＝（2﹣1）（1+2+22+23+…+250）＝251﹣1．
故答案为：（1）xn+1﹣1．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式11-2】探究应用：
（1）计算：（x﹣1）（x2+x+1）＝ ；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝ ．
（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a、b的等式表示该公式为：
．（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是 ．
A．（m+2）（m2+2m+4）
B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2）
C．（3﹣n）（9+3n+n2）
D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）
（4）设A＝109﹣1，利用上述规律，说明A能被37整除．
【分析】（1）用多项式乘以多项式的法则计算即可；
（2）观察第（1）问的计算，找出规律，用字母表示即可；
（3）判断各选项是否符合公式的特点；
（4）公式的逆用，求得A中有37的因数即可．
【解答】解：（1）（x﹣1）（x2+x+1）
＝x3+x2+x﹣x2﹣x﹣1
＝x3﹣1；
（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）
＝8x3+4x2y+2xy2﹣4x2y﹣2xy2﹣y3
＝8x3﹣y3；
故答案为：x3﹣1；8x3﹣y3；
（2）从第（1）问发现的规律是：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3，
故答案为：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；
（3）A．第一个多项式不是减法，不符合题意；
B．最后一项应该是4n2，不符合题意；
C．符合题意；
D．第二个多项式的第二项应该为mn，不符合题意．
故选：C．
（4）A＝109﹣1
＝（103）3﹣1
＝（103﹣1）（106+103+12）
＝999×1001001
＝3×3×3×37×1001001，
∴A能被37整除．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式的法则，考查学生的计算能力，能对公式进行逆用是解题的关键．
单项式除以单项式法则 多项式除以单项式法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相
多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单
除作为商的因式，对于只有被除式里含有的
项 式 ， 再 把 所 得 的 商 相 加 . 即
字母，则连同它的指数作为商的一个因式.注意：（1）法则包括三个方面：①系数相 注意：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项
除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现 式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除
的字母，连同它的指数作为商的一个因式. 以单项式.
（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系 （2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符
数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式 号，要注意符号的变化.
除以单项式的结果仍为单项式.
题型12：整式除法的运算与求值
12.计算：（1）（3a2b3）•（﹣2ab4）÷（6a2b3）．
【分析】根据整式的乘除法则进行计算便可．
【解答】解：（3a2b3）•（﹣2ab4）÷（6a2b3）
＝﹣6a3b7÷（6a2b3）
＝﹣ab4．
（2）a•a2•a3+（﹣2a3）2﹣（2a4）2÷a2．
【解答】解：a•a2•a3+（﹣2a3）2﹣（2a4）2÷a2
＝a6+4a6﹣4a8÷a2
＝a6+4a6﹣4a6
＝a6．
（3）计算：a2•a4﹣6a8÷2a2+（﹣3a3）2．
【解答】解：a2•a4﹣6a8÷2a2+（﹣3a3）2
＝a6﹣3a6+9a6
＝7a6．
（2）（12x3﹣18x2+6x）÷（﹣6x）．
【解答】解：（12x3﹣18x2+6x）÷（﹣6x）＝﹣2x2+3x﹣1．
【变式12-1】计算：[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y．
【分析】直接利用单项式乘多项式法则化简，进而合并，再利用整式的除法运算法则，多项式除以单项
式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加计算得出答案．
【解答】解：原式＝[x3y2﹣x2y﹣（x2y﹣x3y2）]÷3x2y
＝（x3y2﹣x2y﹣x2y+x3y2）÷3x2y
＝（2x3y2﹣2x2y）÷3x2y
＝2x3y2÷3x2y﹣2x2y÷3x2y
＝ xy﹣ ．
计算：（8x4﹣6x3﹣4x2+10x）÷（﹣2x）．
【分析】把多项式的每一项除以单项式即可得出结果．
【解答】解：（8x4﹣6x3﹣4x2+10x）+（﹣2x）＝8x4÷（﹣2x）﹣6x3÷（﹣2x）﹣4x2÷（﹣2x）+10x÷（﹣2x）
＝﹣4x3﹣（﹣3x2）﹣（﹣2x）+（﹣5）
＝﹣4x3+3x2+2x﹣5．
【变式12-2】若某多项式除以2x2﹣3，得到的商式为x+4，余式为3x+1，求此多项式．
【分析】根据“被除式＝除式×商式+余式”列式计算便可．
【解答】解：根据题意得，
这个多项式为：（2x2﹣3）（x+4）+（3x+1）＝2x3+8x2﹣3x﹣12+3x+1＝2x3+8x2﹣11．
【点评】此题考查了整式的税法和除法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式12-3】如果 ，求m，a，b的值．
【分析】先根据整式的除法运算法则计算已知等式的左边，再根据底数相同，指数也相等得方程，求解
即可．
【解答】解：∵ ，
∴ ．
则 ，
解得
【点评】此题考查的是整式的除法运算，掌握其法则是解决此题的关键．
一、单选题
1．下列各式正确的是（ ）.
A．√4=2√2 B．20=0 C．3a-2a=1 D．
2-(-2)=4
【答案】D
【解析】【解答】解：A、√4=2，故A不符合题意；
B、20=1，故B不符合题意；
C、3a-2a=a，故C不符合题意；
D、2-（-2）=2+2=4，故D符合题意；故答案为：D.
【分析】利用正数的算术平方根只有一个，可对A作出判断；利用任何不等于0的数
的0次幂为1，可对B作出判断；合并同类项是把同类项的系数相加，字母和字母的指
数不变，可对C作出判断；利用减去一个数等于加上这个数的相反数，可对D作出判
断.
2．下列计算结果是 x6 的是（ ）
A．x3+x3 B．x4÷x2 C．x2 ⋅x3 D．(x3 ) 2
【答案】D
【解析】【解答】解：A. x3+x3=2x3 ，不符合题意，
B. x4÷x2=x2 ，不符合题意，
C. x2 ⋅x3=x5 ，不符合题意，
D. (x3 ) 2 = x6 ，符合题意，
故答案为：D．
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法除法、幂的乘方以及合并同类项等知识，熟练
掌握相关法则是关键。
3．已知 (x-1) 3=ax3+bx2+cx+d ，则 a+b+c+d 的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．不能确
定
【答案】B
【解析】【解答】∵(x-1) 3=(x-1) 2 (x-1) = (x2-2x+1)(x-1)=x3-3x2+3x-1 ，
∴a=1，b=-3 ，c=3，d=-1，
∴a+b+c+d =0．
故答案为：B．
【分析】根据多项式乘多项式的法则，求出a，b，c，d的值，进而即可求解．
4．下列运算中，结果正确的是（ ）
A．a3÷a3=a B．a2+a2=a4 C．(a3 ) 2=a5 D．a3·a4＝
a7
【答案】D
【解析】【解答】A、原式＝1，不符合题意；
B、原式＝2a2，不符合题意；
C、原式＝a6，不符合题意；
D、原式＝a7，符合题意．故答案为：D．
【分析】利用同底数幂的除法、乘法，积的乘方及合并同类项逐项判定即可。
5．下列运算正确的是（ ）
A．（x3）3=x9 B．（﹣2x）3=﹣6x3
C．2x2﹣x=x D．x6÷x3=x2
【答案】A
【解析】【解答】解：A、底数不变指数相乘，A符合题意.
B、（﹣2x）3=﹣8x3，B不符合题意.
C、不是同类项不能合并，C不符合题意.
D、底数不变指数相减，D不符合题意.
故答案为：A．
【分析】幂的乘方，底数不变，指数相乘.
6．下列运算正确的是（ ）
A．7a3-3a2=4a B．(a2 ) 3=a5
C．a6÷a3=a2 D．-a(-a+1)=a2-a
【答案】D
【解析】【解答】解：A、 7a3 与 3a2 不是同类项，所以不能运算，错误，故不符合
题意；
B、 (a2 ) 3=a6 ，错误，故不符合题意；
C、 a6÷a3=a3 ，错误，故不符合题意；
D、 -a(-a+1)=a2-a ，正确，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法、单项式乘以多项式分别计算，
然后判断即可.
二、填空题
7．计算 (a2 ) 3÷a2 的结果等于 .
【答案】a4
【解析】【解答】解： (a2 ) 3÷a2
=a6÷a2
=a4
故答案为： a4.
【分析】由幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”及同底数幂的除法法则
“同底数幂相除，底数不变，指数相减”进行计算.8．计算： -√9-π0= .
【答案】-4
【解析】【解答】解： -√9-π0= -3-1=-4.
故答案为：-4.
【分析】分别进行算术平方根和零指数幂的运算，然后再进行加减运算即可.
9．有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据
1
如图所示，右边场地为长方形，长为 (a+b) ，则宽为 ．
2
【答案】2(a+b)
【解析】【解答】由题，两块场地的总面积可表示为 a2+2ab+b2=(a+b) 2 ，
1
在右边图形中，宽＝ (a+b) 2÷ (a+b)=2(a+b) ，
2
故答案为： 2(a+b) ．
1
【分析】设宽为A,由题意知 A× (a+b)=a2+2ab+b2 ,根据整式的除法运算即可求
2
出A。
10．按下面程序计算，输入x=-3 ， 则输出的答案是 。
【答案】3
【解析】【解答】解：由题意知输入的运算是 (x2+x)÷2 ， 所以把x=-3代入得
[(-3) 2+(-3)]÷2=3
故答案为：3
【分析】将x=3代入流程图，根据流程的要求，即可得出最后的答案。
三、计算题
11．计算：
（1）（x﹣5）（x+3）．
（2）﹣5a5b3c÷15a4b．【答案】（1）解：（x﹣5）（x+3）．
=x2﹣5x+3x﹣15
=x2﹣2x﹣15
（2）解：﹣5a5b3c÷15a4b
-5 a5b3c
= ( )·( )
15 a4b
1
= - ab2c
3
【解析】【分析】（1）用左边括号的两个数分别与后面括号两个数相乘即可。
（2）分别将两个单项式的系数和字母作除法即可。
12．计算．
（1）（4x2y﹣8x3y2）÷（4x2y）；
（2）（5x2y3﹣4x3y2+6x）÷（6x）；
1
（3）(2a2b-4ab2+6b3 )÷(- b) ；
2
（4）[x（3﹣4x）+2x2（x﹣1）]÷（﹣2x）．
【答案】（1）解：原式=1﹣2xy
5 2
（2）解：原式= xy3﹣ x2y2+1
6 3
（3）解：原式=﹣4a2+8ab﹣12b2
3
（4）解：原式=（3x﹣6x2+2x3）÷（﹣2x）=﹣ +3x﹣2x2
2
【解析】【分析】原式各项利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果．
四、解答题
13．已知2a2+3a﹣6=0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．
【答案】解：∵2a2+3a﹣6=0，即2a2+3a=6，
∴原式=6a2+3a﹣4a2+1=2a2+3a+1=6+1=7．
【解析】【分析】原式第一项利用单项式乘以多项式法则计算，第二项利用平方差公
式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
14．（﹣2a2）•（﹣ab2）3•（2a2b3）
【答案】解：原式=2a5b6×2a2b3
=4a7b9．
【解析】【分析】根据运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分
别相乘，进行计算即可．
15．提出问题：怎么运用矩形面积表示(y+2)(y+3)与2y+5的大小关系（其中y>0）？
几何建模：（1）画长y+3，宽y+2的矩形，按图方式分割
（2）变形：2y+5=(y+2)+(y+3)
（3）分析：图中大矩形的面积可以表示为(y+2)(y+3)；阴影部分面积可以表示为
(y+3)×1，画点部分的面积可表示为y+2，由图形的部分与整体的关系可知：
(y+2)(y+3)＞(y+2)+(y+3)，即(y+2)(y+3)＞2y+5
归纳提炼：当a>2，b>2时，表示ab与a+b的大小关系．根据题意，设a=2+m，
b=2+n(m>0，n>0)，要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用铅
笔画图，并标注相关线段的长
【答案】解：（1）画长为2+m，宽为2+n的矩形，并按图方式分割．
（2）变形：a+b=（2+m）+（2+n）
（3）分析：图中大矩形面积可表示为（2+m）（2+n）；阴影部分面积可表示为2+m
与2+n的和．由图形的部分与整体的关系可知，（2+m）（2+n）＞（2+m）
+（2+n），即ab＞a+b．
【解析】【分析】（1）由题意画长为2+m，宽为2+n的矩形，并按图方式分割即可；
（2）图中大矩形面积可表示为（2＋m）（2＋n），阴影部分面积可表示为2＋m与2
＋n的和；
（3）由图形的部分与整体的关系可得ab＞a＋b．
