文档内容
《完全平方公式》教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）经历完全平方公式的探索及推导过程，掌握完全平方公式的结构特征并能熟练应用。
（2）学会将多项式进行添括号的变形。
2.过程与方法
通过观察、操作、交流等活动发展空间观念和推理能力。
3.情感态度和价值观
通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识，在
独立思考的同时能够认同他人。
【教学重点】
完全平方公式及其它的应用。
【教学难点】
完全平方公式的应用。
【教学方法】
引导发现，启发讨论相结合的教学方法
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习导入
【过渡】上节课我们学习了平方差公式，大家能快速说出什么是平方差公式吗？
(a+b)(a-b)=a2-b2
【过渡】接着，我们来进行几道简单的计算，复习一下这个公式吧。
（1）(3+2a)(-3+2a)
（2）(b2+2a3)(2a3-b2)
（3）(-4a-1)(4a-1)
【过渡】大家计算的都很快而且准确，看来大家已经掌握了平方差公式。今天，我们就接着学
习另一个公式——完全平方公式。
二、新课教学
1．完全平方公式
【过渡】首先，我们来看一下课本的探究内容。你能正确计算这几个式子吗？课件展示探究内容，引导学生思考。
【过渡】从这几个式子中，如果我们分别换成a和b，又能得到什么样的结果呢？
探究：计算: (a+b)2, (a- b)2
解： (a+b)2= (a+b) (a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
(a-b)2= (a-b) (a-b)
=a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2
【过渡】由此，我们就可以得到我们需要的完全平方公式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
文字叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
【过渡】现在，老师想问大家一个问题，从这两个公式，你能总结出都有哪些特点吗？
（1）积为二次三项式；
（2）其中两项为两数的平方和；
（3）另一项是两数积的2倍，且与左边乘式中间的符号相同。
【过渡】这两个公式，我们也可以总结一个比较好记的规律：
前平方，后平方，积的2倍在中央，积的符号看前方。
【过渡】我们上边所用的推导方法是代数方法，现在，大家请看思考题，你能用几何法去证明
吗？
【过渡】我们首先看完全平方和公式，如图所示：
整个图形为边长为（a+b）的正方形，面积为（a+b）2
正方形可以看作由两个小正方形和两个小长方形组成，由面积和计算得：a2+b2+2ab
由此，我们得到：（a+b）2= a2+b2+2ab【过渡】根据完全平方和公式的推导，你能推导出完全平方差公式吗？
（学生进行推导）
例题，课本例3.
【练习】1.下面各式的计算结果是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
（1）(x+y)2=x2 +y2
（2）(x -y)2 =x2 -y2
（3）(x -y)2 =x2+2xy +y2
（4）(x+y)2 =x2 +xy +y2
【过渡】刚刚的小练习，罗列了一些运用完全平方公式会出现的小问题，大家一定要谨记，不
要出现这些问题。
【过渡】在实际中，我们可能会遇到数字之间的计算，又该如何运用完全平方公式去解决这些
实际问题呢？
例题，课本例4.
【典题精讲】1、已知（a+b）2=7，（a-b）2=7，求ab的值。
解：∵（a+b）2=7，（a-b）2=7，
∴a2+2ab+b2=7①，a2-2ab+b2=7②，
①-②得：4ab=0。
∴ab=0。
2、若a+b=5，ab=-6，求a2+b2，a2-ab+b2.
解：a2+b2=a2+2ab+b2-2ab=(a+b)2-2ab=52-2× (-6)=37；
a2-ab+b2=a2+2ab+b2-2ab-ab=(a+b)2-3ab=52-3× (-6)=43。
2．添括号法则
【过渡】在之前，我们学习过去括号法则，大家快速来回答一下老师提出的问题：
（1）a+(b-c)= ；
（2）a-(-b+c)= ；
（3）a+(-b-c)= ；
（4）a-(b-c)= 。
（学生回答）
【过渡】其实，将我们刚刚计算的式子，反过来，就得到了我们需要的添括号法则。
添括号其实就是把去括号反过来，所以添括号法则是：
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到
括号里的各项都改变符号。
也是：遇“加”不变，遇“减”都变。
例题，课本例5.【知识巩固】1、已知（x-2015）2+（x-2017）2=34，则（x-2016）2的值是（ D ）
A．4 B．8 C．12 D．16
2、已知：（a+b）2=25，（a-b）2=9，求：
（1）a2+b2；
（2）ab；
（3）a2-b2。
解：∵（a+b）2=25，（a-b）2=9，
∴a2+2ab+b2=25①，a2-2ab+b2=9②，
∴（1）①+②得：2a2+2b2=34，
a2+b2=17；
（2）①-②得：4ab=16，
∴ab=4；
（3）a2-b2=±
=±15．
3、用乘法公式计算：（x-2y+3z）2
解：（x-2y+3z）2
=（x-2y）2+6z（x-2y）+9z2
=x2-4xy+4y2+6xz-12yz+9z2．
4、用乘法公式计算：（3b-a-2c）（2c-3b-a）
解：（3b-a-2c）（2c-3b-a）
=[-a+（3b-2c）][-a-（3b-2c）]
=a2-（3b-2c）2
=a2-9b2+12bc-4c2。
【拓展提升】1、计算：(1)（m-2n+4）2
(2)99.82
解：(1)原式=[（m-2n）+4]2
=（m-2n）2-8（m-2n）+42
=m2-4mn+4n2+8m-16n+16．
(2)99.82=（100-0.2）2
=1002-2×100×0.2+0.22
=10000-40+0.04
=9960.04
2、已知a-b=5，ab=3，求（a+b）2与3（a2+b2）的值。
解：∵a-b=5，ab=3，∴a2+b2=（a-b）2+2ab=52+2×3=31，
∴3（a2+b2）=3×31=93，
（a+b）2=a2+b2+2ab=31+2×3=37
3、已知a、b、c是三角形的三边，且满足关系式a2+c2=2ab+2bc-2b2，试说明三角形ABC是等边
三角形。
解：∵a2+c2=2ab+2bc-2b2，
∴(a-b)2+(c-b)2=0，
∴ a=b，且b=c，即a=b=c，
∴三角形ABC是等边三角形。
4、已知a+10=b+12=c+15，则a2+b2+c2-ab-bc-ac的值是多少？
解：∵a+10=b+12=c+15
∴a+10=b+12 a-b=2
同理得a-c=5，⇒b-c=3
a2+b2+c2-ab-bc-ac
= [（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（a2-2ac+c2）]
= [（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]
=（4+25+9）=19
故答案为19。
【板书设计】
1、完全平方公式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
2、添括号运算法则：
遇“加”不变，遇“减”都变
【教学反思】
先从代数式的几何意义出发，激发学生的图形观，利用拼图的方法，使学生在动手的过程中发
现规律，并通过小组合作，探究归纳公式，然后强调数值的计算，使学生掌握公式的计算技巧。从
而突出以学生为主体的探索性学习原则。让学生自编符合完全平方公式和平方差公式结构的计算题，
从而有效地将两类公式区分开，深刻认识公式的结构特征，并大大激发了学生的学习积极性。
