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14.3.2公式法
一、单选题
1．若多项式 可因式分解为 ，其中 、 、 均为整数，则 的值是（
）
A．1 B．7 C．11 D．13
【答案】B
【分析】将多项式5x2+17x-12进行因式分解后，确定a、b、c的值即可．
【详解】因为5x2+17x-12=（x+4）（5x-3）=（x+a）（bx+c），
所以a=4，b=5，c=-3，
所以a-c=4-（-3）=7，
故选：B．
【点评】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正确分解因式的前提，确定a、b、c的值是得
出正确答案的关键．
2．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别根据因式分解的方法：提公因式法，公式法，十字相乘法逐项运算即可．
【详解】A. ，故该选项不符合题意．
B. ，故该选项符合题意．
C. ，不可以继续分解，故该选项不符合题意．
D. ．故该选项不符合题意．
故选B．
【点评】本题考查因式分解．一个多项式有公因式先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
3．多项式 与 的公因式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先把两个多项式进行因式分解，再根据公因式的概念进行判断，即可得出结论．
【详解】∵
，
，
∴多项式 与 的公因式是 ．
故选：B．
【点评】本题主要考查了公因式的判断，掌握因式分解的方法及公因式的概念是解题的关键．
4．多项式 与多项式 的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别将多项式 与多项式 进行因式分解，再寻找他们的公因式是 ．
【详解】∵
又∵∴多项式 与多项式 的公因式是 ．
故选A．
【点评】本题主要考查的是公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公因式．
5．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】按照因式分解的方法逐个计算即可．
【详解】A. ，故错误，不符合题意；
B. ，故原式错误，不符合题意；
C. ，原式分解不彻底，不符合题意；
D. ，正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解，解题关键是熟练运用因式分解的方法进行计算，注意：因式分解要彻底．
6．下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ）
A．4x2+1 B．9a2b2-3ab+1 C．x2-x+ D．-x2-y2
【答案】C
【分析】利用平方差公式，完全平方公式判断即可．
【详解】A. 4x2+1，两个平方项，符号相同，不能因式分解；
B. 9a2b2-3ab+1，有两个平方项，没有二倍项，不能因式分解；
C. x2-x+ =（x- ）2，能用完全平方公式分解；
D. -x2-y2，两个平方项，符号相同，不能因式分解；
故选：C．【点评】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．
7．若二次三项式 可分解为 ，则a+b的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出a、b的值，然后代入代数
式进行计算即可得解．
【详解】（x-2）（x+b）=x2+（b-2）x-2b，
∵二次三项式x2+ax-1可分解为（x-2）（x+b），
∴ ，
解得： ，
∴a+b= - + =-1．
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解与整式的乘法互为逆运算，根据对应项系数相等列式是解
题的关键．
8．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断得出答案．【详解】A、 ，故此选项错误，不符合题意；
B、 ，故此选项错误，不符合题意；
C、 ，故此选项错误，不符合题意；
D、 ，故此选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
二、填空题
9．如果 因式分解的结果为 ，则A=__________，B=__________．
【答案】2，
【分析】根据因式分解的意义，可得： ，再根据各项对应相等，
可得答案．
【详解】 ，得
， ．
故答案为：2， ．
【点评】本题考查了因式分解，利用整式的乘法得出相等整式中同类项的系数相等是解题关键．
10．分解因式： ______．
【答案】
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）．
故答案为：2（m+3）（m-3）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11．因式分解 ，其中 都为整数，则 的最大值是______．
【答案】
【分析】根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p、q
的关系判断即可．
【详解】∵(x＋p)(x＋q)= x2＋(p+q)x+pq= x2＋mx-6
∴p+q=m，pq=-6，
∴pq=1× = ×6= ×3=2× = ，
∴m= 或5或1或 ，
∴m的最大值为5，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关
系式，注意分类讨论的作用．
12．一个四位整数 （千位数字为 ，百位数字为 ，十位数字为 ，个位数字为 ），若满足
，那么，我们称这个四位整数 为“ 类等和数”．
例如：3122是一个“4类等和数”，因为： ；
5417不是一个“ 类等和数”，因为： ， ， ．
（1）写出最小的“3类等和数”是___________，最大的“8类等和数”是___________．
（2）若一个四位整数 是“ 类等和数”，且满足 ，求满足条件的所有“ 类
等和数”的个数，并把它们写出来．
【答案】1203； 8080；
（2） 满足条件的所有“k类等和数”的个数是3，分别是3214，2323， 1432．
【分析】(1)根据题意即可得到结论；(2) 根据 ，可得b+d=6或16，再分情况写出即可．
【详解】（1）三类等和数为a+b=c+d=3，当a= 1、b=2、c=0、d= 3时符合三类等和数，且最小．故最小的
三类等和数为1203．当a=8、b=0、c= 8、d= 0时符合8类等和数，且最大，故最大的8类等和数为8080．
故答案为：①1203； ②8080．
(2) ∵ab+cd=46 (a， c≠0)，只有当ab=cd=23时，
∴b+d=6或16，
∴b=0， d=6 (不合题意)
b=1， d=5 (不合题意)；
b=2，d=4，a=3，c=1即3214；
b=3， d=3，a=2，c=2即2323；
b=4， d=2 ，a=1，c=3即1432；
b=5，d=1 (不合题意)；
b=6，d=0 (不合题意)；
b=7，d=9 (不合题意)；
b=8，d=8 (不合题意)；
b=9，d=7 (不合题意)；
综上所述，满足条件的所有“k类等和数”的个数是3，分别是3214，2323， 1432．
【点评】本题考查了因式分解的应用，正确的理解新概念“k类等和数”是解题的关键．
三、解答题
13．计算题：
（1）解不等式组 ，并写出它的整数解．
（2）利用因式分解计算：
① ；
② ；
③ ．
【答案】（1）不等式组的解集为 ，整数解为2、3；（2）① ；② ；③ ．
【分析】（1）分别解两个不等式得到不等式组的解集，然后确定不等式组的整数解．（2）①提取公因式20.16，再简便计算即可；②利用平方差公式简便计算即可；③利用完全平方公式简便
计算即可．
【详解】（1）解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
所以不等式组的解集为 ，
不等式组的整数解为2、3；
（2）①
；
②
；
③
．
【点评】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的
解集，再求出这些解集的公共部分．也考查了因式分解的应用，利用因式分解可以简化计算．
14．因式分解：（1）15a3＋10a2
（2）3ax2＋6axy＋3ay2
（3）（2x＋y）2﹣（x＋2y）2
【答案】（1）5a2（3a＋2）；（2）3a（x＋y）2；（3）3（x＋y）（x﹣y）
【分析】（1）原式提取公因式即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（3）原式利用平方差公式分解即可．
【详解】（1）原式＝5a2（3a＋2）；
（2）原式＝3a（x2＋2xy＋y2）
＝3a（x＋y）2；
（3）原式＝（2x＋y＋x＋2y）（2x＋y﹣x﹣2y）
＝3（x＋y）（x﹣y）．
【点评】本题考查了多项式的因式分解，具体考查了提公因式法和公式法，对于多项式的因式分解，首先
考虑是否有公因式可提，然后再考虑是否能用公式法，要注意：因式分解必须分解到再也不能分解为止，
此外，完全平方公式和平方差公式不要用错．
15．定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两
位数为“湘一数”．将一个“湘一数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位
数与原两位数的和与11的商记为f（a）．例如：a＝23，对调个位数字与十位数字得到新两位数32，新两
位数与原两位数的和为23＋32＝55，和与11的商为55÷11＝5，所以 f（23）＝5．
根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：
①下列两位数：50，42，33中，“湘一数”为 ；
②计算：f（45）＝ ．
（2）如果一个“湘一数”b的十位数字是k，个位数字是2（k＋1），且f（b）＝11，请求出“湘一
数”b．
（3）如果一个“湘一数”c，满足c﹣5f（c）＞30，求满足条件的c的值．
【答案】（1）①42；②9；（2）38；（3）71，81，82，91，92，93
【分析】（1）①由“湘一数”的定义可得；②根据定义计算可得；
（2）由f（10m＋n）＝m＋n，可求得k的值，即可求b；
（3）设c的十位上的数字是x，个位上的数字是y，根据c﹣5f（c）＞30可列出不等式，即可写出满足条
件的c的值．【详解】（1）①由“湘一数”的定义可得，“湘一数”为42．
②f（45）＝（45＋54）÷11＝9．
故答案为：①42；②9．
（2）设任意一个“湘一数”的十位上的数字是m，个位上的数字是n，
则f（10m＋n）＝（10m＋n＋10n＋m）÷11＝m＋n．
又∵一个“湘一数”b的十位数字是k，个位数字是2（k＋1），且f（b）＝11，
∴k＋2（k＋1）＝11，解得k＝3．
∴b＝10k＋2（k＋1）＝12k＋2＝12×3＋2＝38．
（3）设c的十位上的数字是x，个位上的数字是y，
∵c﹣5f（c）＞30，
∴10x＋y﹣5（x＋y）＞30，
∴5x＞30＋4y，
∵y≥1，
∴5x＞34，即x＞6.8，
∵x为整数，
∴x可取7，8，9，
当x＝7时，y＝1，c＝71；
当x＝8时，y＝1或2，c＝81或82；
当x＝9时，y＝1或2或3，c＝91或92或93；
综上，满足条件的c的值为：71，81，82，91，92，93．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解一元一次不等式；理解“湘一数”的定义，并按照定义分析是解
题关键．
16．如图，A，B两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的
整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式C．
（1）若抽中的卡片是B．
①求整式C；
②当x＝ ﹣1时，求整式C的值．
（2）若无论x取何值，整式C的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片？【答案】（1）① ，②-8；（2）抽中的卡片是A
【分析】（1）①根据卡片B各项改变符号后得出 ，再与整式A相加，合并同类项即可；
②先利用完全平方公式化简整式C，再把x＝ ﹣1代入整式C即可；
（2）分和抽中的卡片是B和抽中的卡片是A两种情况进行计算即可得出答案．
【详解】（1）①∵ ， ，
∴ ，
② ，
当x＝ ﹣1时，原式=
（2）当抽中的卡片是B时，
由②得
∴不符合题意；
当抽中的卡片是A时，
∵ ， ，
∴ ，
= ，
∴无论x取何值，整式C的值都是非负数，
∴抽中的卡片是A．
【点评】此题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式是解决问题的关键．
17．若一个四位数A满足：①千位数字2﹣百位数字2＝后两位数，则称A为“美妙数”．
例如：∵62﹣12＝35，∴6135为“美妙数”．②7×（千位数字﹣百位数字）＝后两位数，则称A是“奇特数”．
例如：7×（8﹣5）＝21，∴8521为“奇特数”．
（1）若一个“美妙数”的千位数字为8，百位数字为7，则这个数是 ．若一个“美妙数”的后两位
数字为16，则这个数是 ．
（2）一个“美妙数”与一个“奇特数”的千位数字均为m，百位数字均为n，且这个“美妙数”比“奇特
数”大14，求满足条件的“美妙数”．
【答案】（1）8715，4016或5316；（2）8628
【分析】（1）根据美妙数的定义进行解答便可；
（2）根据新定义表示出美妙数与奇特数，再根据题意列出方程，求得符合每件的解，进而求得结果．
【详解】（1）∵82﹣72＝15，
∴若一个“美妙数”的千位数字为8，百位数字为7，则这个数是8715，
∵16＝42﹣02＝52﹣32，
∴若一个“美妙数”的后两位数字为16，则这个数是4016或5316，
故答案为8715；4016或5316；
（2）根据题意得，（1000m+100n+m2﹣n2）﹣[1000m+100n+7（m﹣n）]＝14，
化简得（m﹣n）（m+n﹣7）＝14，
∵m、n均为整数，且1≤m≤9，0≤n≤9，
∴m＝8，n＝6，
∴满足条件的“美妙数”为，1000m+100n+m2﹣n2＝8628．
【点评】本题主要考查了新定义，整数的计算，因式分解的应用，关键是根据新定义列出代数式和方程．
18．阅读理解：下面是小明同学分解因式ax+ay+bx+by的方法，首先他将该多项式分为两组得到
（ax+ay）+ （bx+by）．然后对各组进行因式分解，得到a （x+y）+ b （x+y），结果发现有公因式
（x+y），提出后得到 （x+y） （a+b）．
（1）小颖同学学得小明同学方法后，她也尝试对多项式 进行因式分解，则她最后提出
的公因式是 ；
（2）请同学们也尝试用小明的方法对多项式 进行因式分解；
（3）若小强同学将多项式 进行因式分解时发现有公因式（x﹣3），求 的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．【分析】（1）由题意，分别提取公因式m和5，再整体提取公因式（m+n）即可；
（2）由题意，分别利用平方差公式和提公因式法分解，然后再提取公因式（a+b）即可；
（3）由分组分解法、提公因式法、以及完全平方公式法进行分解因式，即可求出答案．
【详解】（1）根据题意，
=
= ；
故答案为： ；
（2）根据题意，
=
= ；
（3）根据题意，
∵把多项式 进行因式分解时有公因式（x﹣3），
∴ =
∴多项式 中有公因式 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点评】本题考查了因式分解的分组分解法、公式法和提取公因式法，以及待定系数法求相关字母的值，
这都是基本的计算能力，难度不大．
19．（阅读材料）
在进行计算或化简时，可以根据题目特点，将一个分数或分式变成两部分之差，如：等．
（问题解决）
利用上述材料中的方法，解决下列问题：
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】（1）根据题目中的式子特点，先分解，然后裂项，再计算即可解答本题；
（2）先提出 ，然后裂项计算即可解答本题；
（3）根据题目中式子的特点，先裂项，然后计算即可解答本题．
【详解】（1）
＝ + +…+
＝1﹣ +…+
＝1﹣
＝ ；（2）
＝ ×[ +…+ ]
＝ ×[ + +…+ ]
＝ ×（1﹣ +…+ ）
＝ ×（1﹣ ）
＝ ×
＝ ；
（3）
＝ + +…+
＝ ×（1﹣ +…+ ）
＝ ×（1﹣ ）
＝ ×
＝ ．【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，
求出所求式子的值．
20．有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数 ，使 并且 ，则
将 变成 平方，从而使得 化简．
例如：化简
解：
根据上述材料化简下列各式：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）可以根据 化简；
（2）可以根据 化简；
（3）可以根据 化简．
【详解】（1）（2）
（3）
【点评】本题考查新定义下的实数运算，通过归纳掌握材料所给方法是解题关键 ．
