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第十八章 平行四边形
18.2.1 矩形
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是
A．对角相等 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分
【答案】C
【解析】矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选C．
2．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是矩形的
是
A．∠BAC=∠ACB B．∠BAC=∠ACD
C．∠BAC=∠DAC D．∠BAC=∠ABD
【答案】D
3．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是
A．2 B．4 C．2 D．4
【答案】B【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=OB=OD．∴△OAB是等腰三角形．∵∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA．∵AB=2，∴OA=2．∵OA=OC，∴AC=4．故选B．
4．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，2），则CE的长是
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】∵四边形COED是矩形，∴CE=OD，∵点D的坐标是（1，2），∴OD= ，
∴CE= ，故选C．
5．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于E，若∠OAE=24°，则∠BAE的度数是
A．24° B．33° C．42° D．43°
【答案】B
6．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【解析】四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=8，AD=BC=4，∠D=90°，AB∥DC，∴∠FAC=∠DCA，
由折叠的性质得∠FCA=∠DCA，∴∠FCA =∠FAC ，∴AF=CF，设AF=CF =x，D′F=8-x，
在Rt△AD′F中，根据勾股定理得AD′2+D′F2=AF2，即 ，解得 ，
∴ ．故选B．
7．下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是
A．四边形ABCD中，
B．四边形ABCD中，
C．四边形ABCD中， ， ，
D．四边形ABCD中，
【答案】C
8．在矩形ABCD中，AB=1，AD= ，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结
论中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED．正确的是
A．②③ B．③④
C．①②④ D．②③④
【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC， ，AO=OC，OD=OB，AC=BD，
∴AO=OB=OD，∵AB=1，AD= ，由勾股定理得BD=2，∴∠ABD=60°，∴△ABO是等边三角形，
∴AB=OA=OB，∠BAO=∠AOB=60°，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF=45°，∵∠DAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠BFA，∴ ，∴②正确；
∵CE⊥BD，∴ ，∴∠ECO=30°，∵ ，
∴ ，∴AC=CH，∴③正确；
∵CF和AH不垂直，∴AF≠FH，∴①错误；
∵∠CEO=90°，∠ECA=30°，∴ ，BE=3DE，∴④正确，正确的有②③④，故选
D．
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
9．如图，直角三角形 ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别是斜边上的高和中线，AC=CE=10 cm，则
BD=__________．
【答案】15 cm
10．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为
__________．【答案】2.5
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=10，BO=DO= BD，∴OD= BD=5，∵点P、Q是AO，AD的
中点，∴PQ是△AOD的中位线，∴PQ= DO=2.5．故答案为：2.5．
11．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若∠ABE=34°，则∠DBC为__________度．
【答案】56
【解析】根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，
又∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，∴∠ABE+∠DBC=90°，
又∵∠ABE=34°，∴∠DBC=56°．故答案为：56．
12．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′
处．当△CEB′为直角三角形时，CB/的长为__________．
【答案】2或
【解析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如图所示，
连接 AC，在 Rt△ABC 中，AB=3，BC=4，∴AC=5，∵∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5-3=2；
②当点B′落在AD边上时，如图所示，
此时ABEB′为正方形，∴B'E=AB=3，∴CE=4-3=1，∴Rt△B'CE中，CB'= = ．综上所述，B'C
的长为2或 ．故答案为：2或 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
13．如图，四边形ABCD为矩形，PB=PC，求证：PA=PD．
14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC
于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB=2，求△OEC的面积．【解析】（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）如图，作OF⊥BC于F．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，
∴AO=BO=CO=DO，∴BF=FC，
∴OF= CD=1，
∵DE平分∠ADC，∠ADC=90°，
∴∠EDC=45°，
在Rt△EDC中，EC=CD=2，
∴△OEC的面积= EC·OF=1．
15．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）若BD=EF，连接BE，DF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由．（2）结论：四边形EBFD是矩形．
理由：∵OD=OB，OE=OF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BD=EF，
∴四边形EBFD是矩形．
16．如图，已知 ABCD，延长AB到E使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（2）连接AC，若AD=4，CD=2，求AC的长．（2）如图，连接AC，
∵AD=4，CD=2，四边形ABCD是平行四边形，四边形BECD是矩形，
∴AB=BE=CD=2，BC=AD=4，∠AEC=90°，
∴AE=AB+BE=4，
在Rt△BCE中，CE= ，
∴在Rt△ACE中，AC= ．
