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第 3 节 三角恒等变换
考试要求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余
弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的
正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在
联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、
半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__ α cos __ β ±cos __ α sin __β.
cos(α∓β)＝cos__ α cos __ β ±sin __ α sin __β.
tan(α±β)＝.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__ α cos __α.
cos 2α＝ cos 2 α － sin 2 α ＝ 2cos 2 α － 1 ＝ 1 － 2sin 2 α .
tan 2α＝.
3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)(其中tan φ＝)
或f(α)＝·cos(α－φ)(其中tan φ＝).
1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.cos2α＝，sin2α＝.
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( )
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－
tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( )
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠＋kπ(k∈Z).
2.(易错题)已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝( )
A. B. C. D.或
答案 B
解析 ∵sin α＝，cos β＝，
又α，β为锐角，
∴cos α＝，sin β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.
∵0<α＋β<π，∴α＋β＝.
3.计算：＝________.
答案
解析 ＝＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝.
4.(易错题)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝________.
答案
解析 ∵tan 60°＝tan(10°＋50°)
＝，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＝－tan 10°tan 50°，
∴原式＝－tan 10°tan 50°＋tan10°tan 50°＝.
5.(2020·江苏卷)已知sin2＝，则sin 2α的值是________.
答案
解析 因为sin2＝，
所以＝，即＝，
所以sin 2α＝.
6.函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的周期为________.答案 π
解析 f(x)＝2
＝2sin，周期T＝＝π.
第一课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考点一 公式的基本应用
1.已知cos α＝－，α∈，则sin等于( )
A.－ B. C.－ D.
答案 C
解析 ∵α∈，且cos α＝－，
∴sin α＝－，
∴sin＝－×＋×
＝－.
2.(2022·贵阳模拟)已知角α，β的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，
若角 α，β 的终边分别与单位圆交于点 A，B，其中 x <0<x ，则 cos(2α－β)＝
1 2
________.
答案
解析 由题意可知，sin α＝，sin β＝，
由x <0<x 可知cos α＝－＝－，cos β＝＝，
1 2
所以cos 2α＝－＝，
sin 2α＝2××＝－，
所以cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝.
3.已知2tan θ－tan＝7，则tan 2θ＝________.
答案 －
解析 2tan θ－tan＝2tan θ－＝7，解得tan θ＝2，
∴tan 2θ＝＝＝－.
感悟提升 1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.考点二 公式的逆用、变形用
角度1 公式的活用
例1 (1)的值为________.
(2)若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________.
(3)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
答案 (1) (2)2 (3)－
解析 (1)＝·＝tan 45°＝×1＝.
(2)tan＝tan(α＋β)＝＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，
所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，
即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.
(3)∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，
∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，
∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，
∴sin(α＋β)＝－.
角度2 辅助角公式的运用
例2 化简：(1)sin －cos ；
(2)cos 15°＋sin 15°；
(3)－；
(4)3sin x＋3cos x.
解 (1)法一 原式＝2
＝2
＝－2cos＝－2cos ＝－.
法二 原式＝2
＝2
＝－2sin
＝－2sin ＝－.
(2)cos 15°＋sin 15°
＝(cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°)
＝cos(45°－15°)
＝×＝.(3)原式＝
＝
＝.
＝＝4.
(4)3sin x＋3cos x
＝6
＝6
＝6sin.
感悟提升 1.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟
悉公式的逆用及变形.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向
逆向思维转化的能力.
2.对asin x＋bcos x化简时，辅助角φ的值如何求要清楚.
训练1 (1)下列式子化简正确的是( )
A.cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝
B.sin 15°sin 30°sin 75°＝
C.＝
D.cos215°－sin215°＝
(2)(2022·郑州模拟)函数f(x)＝cos x－sin－sin在[0，π]的值域为________.
答案 (1)D (2)[－2，1]
解析 (1)选项A中，cos 82°sin 52°－sin 82°·cos 52°＝sin(52°－82°)＝sin(－30°)
＝－sin 30°＝－，故A错误；
选项B中，sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故B错误；
选项C中，＝tan (48°＋72°)＝tan 120°＝－，故C错误；
选项D中，cos215°－sin215°＝cos 30°＝，故D正确.
(2)f(x)＝cos x－sin x－cos x－sin x＋cos x＝cos x－sin x＝2cos.
∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，
则当 x＋＝π 时，函数取得最小值 2cos π＝－2，当 x＋＝时，函数取得最大值
2cos＝2×＝1，
即函数的值域为[－2，1].
考点三 角的变换例3 (1)已知sin α＝，sin(β－α)＝－，α，β均为锐角，则β等于( )
A. B. C. D.
(2)(2022·大庆模拟)已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.
(3)(2022·兰州模拟)若2sin x＋2cos x＝1，则sin·cos＝________.
答案 (1)C (2)－ (3)
解析 (1)因为sin α＝，sin(β－α)＝－，且α，β均为锐角，所以 cos α＝，cos(β
－α)＝，
所以sin β＝sin [α＋(β－α)]
＝sin α·cos(β－α)＋cos αsin(β－α)
＝×＋×＝
＝，
所以β＝.故选C.
(2)由题意知，α＋β∈，sin(α＋β)＝－＜0，所以cos(α＋β)＝，
因为β－∈，
所以cos＝－，
cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝－.
(3)由题意可得4sin＝1，
令x＋＝t，则sin t＝，x＝t－，
所以原式＝sin(π－t)cos 2t
＝sin t(1－2sin2t)＝.
感悟提升 1.求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示.
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的
形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的
关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
2.常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等.
训练2 (1)已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，则sin 2α等于( )
A. B.－ C. D.－(2)(2021·全国大联考)已知cos－sin α＝，则sin＝________.
答案 (1)B (2)－
解析 (1)因为＜β＜α＜，
所以0＜α－β＜，π＜α＋β＜，
由cos(α－β)＝，得sin(α－β)＝，
由sin(α＋β)＝－，得cos(α＋β)＝－，
则sin 2α＝sin [(α－β)＋(α＋β)]
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝×＋×＝－.故选B.
(2)由cos－sin α
＝cos α－sin α－sin α
＝cos α－sin α＝
＝cos＝sin＝，
得sin＝.
sin＝－sin
＝－sin＝－.
1.已知α是第二象限角，且tan α＝－，则sin 2α＝( )
A.－ B. C.－ D.
答案 C
解析 因为α是第二象限角，且tan α＝－，
所以sin α＝，cos α＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，故选C.
2.已知tan ＝3，则＝( )
A.3 B. C.－3 D.－
答案 B
解析 因为tan ＝3，所以＝＝＝＝，故选B.
3.下列选项中，值为的是( )A.2sin sin B.－cos215°
C.＋ D.cos 72°·cos 36°
答案 D
解析 对于A，2sinsin＝2sin cos＝sin＝，故A错误；
对于B，－cos215°＝－(2cos215°－1)＝－cos 30°＝－，故B错误；
对于C，原式＝＝＝
＝＝4，故C错误；
对于D，cos 36°·cos 72°＝＝＝＝，故D正确.
4.(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ＋sin＝1，则sin等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 因为sin θ＋sin
＝sin＋sin
＝sincos －cossin ＋
sincos ＋cossin ＝2sincos ＝sin＝1.
所以sin＝.
5.若sin＝，则sin＝( )
A.－ B. C.－ D.
答案 D
解析 法一 因为sin＝，
所以sin＝sin
＝cos＝1－2sin2
＝1－2×＝.故选D.
法二 因为sin＝cos＝cos＝，
所以cos＝2×－1＝－.
因为cos＝－sin，
所以sin＝.
6.若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos等于( )
A. B.－ C. D.
答案 C解析 cos＝cos
＝coscos＋sin·sin.
∵0<α<，则<＋α<，
∴sin＝.
又－<β<0，则<－<，
∴sin＝.
故cos＝×＋×＝.故选C.
7.sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.
答案 sin(α＋γ)
解析 sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)
＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)
＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).
8.(2020·浙江卷)已知tan θ＝2，则cos 2θ＝________，tan＝________.
答案 －
解析 由题意，cos 2θ＝cos2θ－sin2θ
＝＝＝＝－.
tan＝＝＝＝.
9.tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝________.
答案 －1
解析 ∵tan 25°－tan 70°＝tan(25°－70°)·(1＋tan 25°tan 70°)
＝tan(－45°)(1＋tan 25°tan 70°)
＝－1－tan 25°tan 70°，
∴tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝－1.
10.已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.
(1)求sin(α－β)的值；
(2)求cos β的值.
解 (1)∵α，β∈，∴－＜α－β＜.
又∵tan(α－β)＝－＜0，
∴－＜α－β＜0.
∴sin(α－β)＝－.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝.
∵α为锐角，且sin α＝，∴cos α＝.
∴cos β＝cos [α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
11.已知cos＝－，sin＝，且＜α＜π，0＜β＜ ，求cos(α＋β).
解 由已知，得＜α－＜π，0＜－β＜，
∴sin＝，cos＝，
∴cos＝cos
＝coscos＋sin·sin
＝×＋×＝.
则cos(α＋β)＝2cos2－1＝－.
12.若cos2 α－cos 2β＝a，则sin(α＋β)sin(α－β)等于( )
A.－ B. C.－a D.a
答案 C
解析 sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)·(sin αcos β－cos αsin β)＝
sin2αcos2β－cos2αsin2 β＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)＝cos2β－cos2α＝－a.
13.已知sin 10°＋mcos 10°＝2cos 140°，则m＝________.
答案 －
解析 由题意可得m＝＝
＝
＝＝－.
14.(2021·合肥质检)已知函数f(x)＝cos 2x＋sin.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若α∈，f(α)＝，求cos 2α.
解 (1)∵f(x)＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由f(α)＝，可得sin＝.∵α∈，∴2α＋∈.
又∵0<sin＝<，
∴2α＋∈.
∴cos＝－.
∴cos 2α＝cos
＝coscos ＋sin·sin
＝.
