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第 3 节 三角恒等变换
考试要求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余
弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的
正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在
联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、
半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__ α cos __ β ±cos __ α sin __β.
cos(α∓β)＝cos__ α cos __ β ±sin __ α sin __β.
tan(α±β)＝.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__ α cos __α.
cos 2α＝ cos 2 α － sin 2 α ＝ 2cos 2 α － 1 ＝ 1 － 2sin 2 α .
tan 2α＝.
3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)(其中tan φ＝)
或f(α)＝·cos(α－φ)(其中tan φ＝).
1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.cos2α＝，sin2α＝.
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( )
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－
tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( )
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠＋kπ(k∈Z).
2.(易错题)已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝( )
A. B. C. D.或
答案 B
解析 ∵sin α＝，cos β＝，
又α，β为锐角，
∴cos α＝，sin β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.
∵0<α＋β<π，∴α＋β＝.
3.计算：＝________.
答案
解析 ＝＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝.
4.(易错题)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝________.
答案
解析 ∵tan 60°＝tan(10°＋50°)
＝，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＝－tan 10°tan 50°，
∴原式＝－tan 10°tan 50°＋tan10°tan 50°＝.
5.(2020·江苏卷)已知sin2＝，则sin 2α的值是________.
答案
解析 因为sin2＝，
所以＝，即＝，
所以sin 2α＝.
6.函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的周期为________.答案 π
解析 f(x)＝2
＝2sin，周期T＝＝π.
第一课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考点一 公式的基本应用
1.已知cos α＝－，α∈，则sin等于( )
A.－ B. C.－ D.
答案 C
解析 ∵α∈，且cos α＝－，
∴sin α＝－，
∴sin＝－×＋×
＝－.
2.(2022·贵阳模拟)已知角α，β的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，
若角 α，β 的终边分别与单位圆交于点 A，B，其中 x <0
