文档内容
19.2 二次根式的乘法与除法（第 1 课时）教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在学习二次根式的概念和性质的基础上，结合算术平方根的概念，通过观察，归纳出二次根
式的乘法法则，并应用这个法则进行二次根式的计算和化简。
2. 内容分析
本节课是二次根式运算的起始课，承接二次根式的概念和性质，是后续学习二次根式除法、加减运算
及混合运算的基础。从知识逻辑来看，教材通过“观察具体算术平方根的乘法运算→归纳共性→抽象出二
次根式乘法法则→应用法则计算化简”的路径展开，符合学生从具体到抽象、从特殊到一般的认知规律。
从教学价值来看，本节课不仅是运算技能的培养，更能通过法则的探索过程，渗透归纳、类比的数学思想，
发展“推理能力”“运算能力”等核心素养，同时为后续解决实际问题提供运算工具。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：二次根式乘法法则的探究和应用。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）探索二次根式的乘法法则，体会归纳、类比的数学思想，发展推理能力。
（2）能根据二次根式的乘法法则进行二次根式的乘法运算，发展运算能力。
2. 目标解析
（1）“探索”要求学生不是被动接受法则，而是主动参与法则的生成过程。学生需要经历观察特例、
猜想规律、验证猜想、归纳法则四个关键步骤。“发展推理能力”侧重培养学生的合情推理和初步的演绎
推理能力，帮助学生养成严谨的推理习惯。
（2）学生不仅能直接应用法则计算，还能逆用法则化简二次根式。“发展运算能力”不仅要求运算
结果正确，更强调运算方法的合理性和简洁性。学生需要掌握“先判断被开方数是否为非负数→应用法则
计算→化简结果”的运算步骤，同时能根据题目特点灵活选择运算顺序，提升运算的效率和准确性。
三、教学问题诊断分析
1.概念理解类问题
学生对二次根式有意义的条件理解不透彻，没有将“被开方数为非负数”与乘法法则的应用建立关
联。应对策略：引导学生思考“该式中的二次根式是否有意义”，通过讨论明确法则仅适用于被开方数均
为非负数的情况，强化“先判断有意义，再进行运算”的思维习惯。
2.运算类问题
化简二次根式时不彻底，学生缺乏主动化简的意识。应对策略：通过针对性练习强化化简步骤。
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学科网（北京）股份有限公司基于以上分析，确定本节课的教学难点为：利用二次根式的乘法法则进行运算。
四、教学过程设计
（一）复习引入
二次根式的性质：① ≥0 (a≥0). ② =a（a≥0）. ③ =|a|（a为任意实数）.
√a (√a) 2 √a2
类比分式的研究路径（概念-性质-运算-应用），在学习了二次根式的概念和性质的基础上，学习二次
根式的运算，先来研究二次根式的乘法.
设计意图：知识回顾，夯实基础：先复习二次根式的性质，帮学生快速唤醒已有知识，为新内容的学
习做知识铺垫。渗透研究方法，搭建认知框架：通过 “类比分式的研究路径”，让学生明确 “概念 -
性质 - 运算 - 应用” 是代数模块的通用学习逻辑，帮学生建立系统化的知识学习思路。
（二）合作探究
探究 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律?
（ ）√4 √9= 6 ；√4×9= 6 ；
（1）√1×6 √25= 20 ；√16×25= 20 ；
（2）√36×√49= 42 ；√36×49= 42 .
追问3 你能用×字母表示你所发现的规律吗？
二次根式的乘法法则：√a×√b=√ab(a≥0,b≥0).
反过来，就得到√ab=√a×√b(a≥0,b≥0).利用它可以进行二次根式的化简.
设计意图：从具体到抽象，自主归纳法则：通过3组具体数字的二次根式运算，让学生直观感知 “两
个二次根式相乘的结果，与被开方数相乘后开方的结果相等”，自主发现规律，避免被动接受法则。双向
理解法则：既得出乘法法则（正向运算），又明确其逆用（化简），帮助学生全面掌握法则的双重功能，
为后续运算和化简做准备。
（三）典例分析
例1 计算：
2 / 5
学科网（北京）股份有限公司√1 √2 √5
（1）√3×√5 ； （2） ×√27； （3） × .
3 5 8
解： （1） √3×√5 =√3×5=√15；
（2）
√1
×√27 =
√1
×27=√9=3；
3 3
（3）
√2
×
√5
=
√2
×
5
=
√1
=
1
；
5 8 5 8 4 2
例2 化简：
（1）√16×81 ； （2）√4a2b3.
解： （1） √16×81 =√16×√81=4×9=36；
（2） √4a2b3 =√4·√a2·√b3=2·a·√b2 ∙b=2a√b2·√b=2ab√b.
注意①被开方数4a2b3舍有偶数次因数4(4=22)和因式a2，b2，它们是开得尽平方的因数和因式，被开
方后可以移到根号外.
②在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数.
例3 计算：
（1）√14×√7 ； （2）3√5×2√10； （3）√3x·
√1
xy.
3
解：（1）√14×√7=√14×7=√72×2=√72×√2 =7√2；
（2）3√5×2√10=3×2×√5×10=6√52×2=6√52×√2=6×5√2=30√2；
（3）√3x· √1 xy= √ 3x∙ 1 xy=√x2y=√x2·√y=x√y.
3 3
设计意图：分层落实法则，覆盖不同场景：例1聚焦二次根式乘法法则的直接应用，涵盖了整数、分
数类被开方数的情况，帮学生熟练掌握正向运算。例2侧重法则的逆用（化简），结合含字母的被开方数，
明确 “开得尽方的因数（因式）移到根号外” 的化简方法，同时补充字母的取值说明，强化严谨性。示
范规范步骤，培养严谨习惯：每道例题都呈现完整的解题过程，帮助学生建立规范的解题表达。
（四）巩固练习
1.计算：
（1）√2×√5 ； （2）√3×√12； （3）2√6×
√1
； （4）√288×
√1
.
2 72
解： （1） √2×√5=√10；
（2）√3×√12=√36=6.
3 / 5
学科网（北京）股份有限公司（3）2√6×
√1
=2√3；
2
（4）√288×
√1
=√4=2.
72
2.化简：
（1）√49×81 ； （2）√4y； （3）√16ab2c3；
解： （1）√49×81=√49×√81=7×9=63；
（2）√4y=√4·√y=2√y；
（3）√16ab2c3=√16·√a·√b2·√c2·√c=4bc√ac.
3.一个长方形的长和宽分别是√10和2√2，求这个长方形的面积.
解： √10×2√2=√2×√5×2×√2 =4√5.
答：这个长方形的面积为4√5.
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知
的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。
（五）归纳总结
（六）感受中考
1．（2025年甘肃兰州）计算：√3×√2=（ B ）
A．6 B．√6 C．√5 D．1
2．（2025年广东）计算√12×√3的结果是（ B ）
A．3 B．6 C．√6 D．2√6
3．（2024年江苏南通）计算√27×
√1
的结果是（ B ）
3
4 / 5
学科网（北京）股份有限公司A．9 B．3 C．3√3 D．√3
4．（2023年湖南衡阳）对于二次根式的乘法运算，一般地，有√a⋅√b=√ab．该运算法则成立的条
件是（ D ）
A．a>0,b>0 B．a<0,b<0 C．a≤0,b≤0 D．a≥0,b≥0
5．（2025年陕西）计算：√3×√12+|−2|−(π−3) 0．
解：√3×√12+|−2|−(π−3) 0=√36+2− ．1=6+2−1=7
6．（2025年湖北）计算：|−6|−√2×√8+22．
解；|−6|−√2×√8+22=6− √16+4=6−4+4 =6．
设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，
检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题19.2 第1，7(1)(2)题.
2.探究性作业：习题19.2 第6题.
五、教学反思
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