文档内容
19.2 二次根式的乘法与除法
第1课时
一、教学目标
【知识与技能】
1.掌握二次根式的乘法法则.
2.会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单
运算.
【过程与方法】
1.经历“探索——发现——猜想——验证”的过程,使学生进一步
了解数学知识之间是互相联系的.
2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.
【情感态度与价值观】
鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲,体验数
学活动中的探索和创新,感受数学的严谨性.
二、课型
新授课
三、课时
1 / 13第1课时 共2课时
四、教学重难点
【教学重点】
会利用积的算术平方根的性质化简二次根式,会进行二次根式的
乘法运算.
【教学难点】
二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用.
五、课前准备
教师：课件.
学生：铅笔、练习本.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
李大爷家有一块长方形菜地，它的长为√5米，它的宽为√3米，求
它的面积.
学生列式：√5×√3
教师提出问题：想想如何计算这个式子呢？
（二）探索新知
2 / 131.探究二次根式的乘法法则（出示课件4-6）
教师展示问题：
计算下列各式：
（1） √4×√9=____×_____=____，√4×9=_______=____；
（2） √16×√25=____×____=____，√16×25=_______=____；
（3） √36×√49=____×____=____，√36×49=_______=____.
学生独立思考后，教师找三位学生回答.
学生1答：
（1）√4×√9=2×3=6，√4×9=√36=6；
学生2答：
（2）√16×√25=4×5=20，√16×25=√400=20；
学生3答：
（3）√36×√49=6×7=42，√36×49=√1764=42.
教师问：观察计算结果,你有什么发现?
学生答：观察三组式子的结果，我们得到下面的等式：
（1）√4×√9=√4×9.
（2）√16×√25=√16×25.
3 / 13（3）√36×√49=√36×49.
教师问：你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？
学生答：√a∙√b=√ab(a≥0,b≥0)
教师问：想一想：√（−4）×（−9）=√−4×√−9成立吗？
学生答：不成立.
教师问：为什么呢？
学生答：因为√−4、√−9没有意义！
教师问：因此被开方数a，b需要满足什么条件？
学生答：a，b是非负数，即a≥0,b≥0.
师生一起归纳总结：（出示课件7）
二次根式的乘法法则是:√a∙√b=√ab(a≥0,b≥0)
二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘.
教师追问：你能用语言描述一下二次根式的乘法法则吗？
学生答：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
教师强调：a,b都必须是非负数.
考点1：简单的二次根式的乘法运算
计算：（出示课件8）
4 / 13√1 √2 √5
（1） √3×√5;（2） ×√27；（3） × .
3 5 8
师生共同解答如下：
解：（1）√3×√5=√3×5=√15；
√1 √1
（2） ×√27 = ×27=√9=3；
3 3
√2 √5 √2 5 √1 1
（3） × = × = = .
5 8 5 8 4 2
教师追问：下边的式子如何运算？（出示课件9）
√2×√3×√5
师生共同分析如下：可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法
法则
学生解答如下：
解：√2×√3×√5=（√2×√3 ）×√5= √6×√5= √30.
师生共同总结如下：
只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法
则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘（
）
√a√b·…·√k=√a·b·…·k(a≥0,b≥0,…,k≥0)
出示课件10，学生自主练习，教师给出答案.
教师问：你还记得单项式乘单项式法则吗？（出示课件11）
5 / 13学生答：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相
乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的
指数作为积的一个因式.
教师问：计算4a2∙5a4.
学生答：20a6
考点2：因数不是1二次根式的乘法运算
计算:(出示课件12)
（1）2 ;（2） ( 1 ).
√5×3√7 4√27× − √3
2
师生共同解答如下：
解：（1）2√5×3√7=(2×3)×(√5×√7)=6×√35=6；
（2） ( 1 ) [ ( 1)]
4√27× − √3 = 4× − ×(√27×√3)=(−2)×9=−18.
2 2
教师总结点拨：
当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式的法
则计算，即m√a∙n√b=（mn）√ab(a≥0,b≥0).
教师总结点拨：（出示课件13）
二次根式的乘法法则的推广：
6 / 13①多个二次根式相乘时此法则也适用，即
a b n
√a∙√b·…·√n √ab·…·n
= ( ≥0, ≥0,…, ≥0)
②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单项式的法则
计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数的
积作为被开方数，即m√a∙n√b=（mn）√ab(a≥0,b≥0).
出示课件14，学生自主练习，教师给出答案.
考点3：二次根式的大小比较
比较大小:（出示课件15-16）
（1） 2√5与3√3 ;（2）-2√13与−3√6 ;
师生共同解答如下：
解：(1)方法一：
∵ = ， = ，
2√5=√22×5 √20 3√3=√32×3 √27
又∵20＜27，∴√20＜√27,即2√5＜3√3.
方法二：
∵（2√5）2=22×（√5）2 =20，（3√3）2=32×（√3）2 =27，
又∵20＜27，∴（2√5）2＜（3√3）2,即2√5＜3√3.
(2)∵ = ， = ，
−2√13=−√22×13 −√52 −3√6=−√32×6 −√54
7 / 13又∵52＜54，∴√52＜√54,
∴−√52＞−√54,即−2√13＞−3√6.
教师问：比较二次根式大小的方法有哪些？
师生共同归纳：（出示课件17）
比较两个二次根式大小的方法：
(1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内，当两
个二次根式都是正数时，被开方数大的二次根式大．
(2)平方法，即把两个二次根式分别平方，当两个二次根式都是正
数时，平方大的二次根式大．
(3)计算器求近似值法，即先利用计算器求出两个二次根式的近似
值，再进行比较．
出示课件18，学生自主练习，教师给出答案。
2.探究二次根式乘法法则的逆用（出示课件19）
从前面知识点1的题目我们可以得到下面三个等式：
（1）√4×9= √4×√9.
（2）√16×25= √16×√25.
（3）√36×49= √36×√49.
8 / 13教师问：你发现了什么规律？
学生答：两个非负数积的算术平方根等于它们算术平方根的积.
教师问：你能用字母表示你所发现的规律吗？
学生答：√ab=√a∙√b(a≥0,b≥0)
考点1：利用二次根式的乘法法则的逆用计算
化简：（出示课件20）
（1） （2）
√16×81； √4a2b3 .
师生共同解答如下：
解：（1）√16×81
= √16×√81
=4×9
=36;
（2）
√4a2b3
=
√4·√a2·√b3
=2·a
·√b2·b
=2a
√b2·√b
=2ab√b.
9 / 13出示课件21，学生自主练习，教师给出答案。
考点2：利用二次根式的乘法法则及逆用计算
计算：（出示课件22）
√1
（1） √14×√7;（2）3√5×2√10 ；（3） √3x· xy
3
师生共同解答如下：
解：（1） = =7 ；
√14×√7 √14×7=√72×2=√72×√2 √2
（2）3 =3 × = = = =30 ；
√5×2√10 ×2 √5×10 6√52×2 6√52×√2 6×5√2 √2
√1 √ 1
（3）√3x· xy= 3x· xy=√x2y=√x2·√y=x√y.
3 3
教师问：你能说一下化简二次根式的步骤吗？
引导学生回答并总结如下：（出示课件23）
化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术
平方根的积；
3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式 ，把这个
√a2=|a|
因式(或因数)开出来，将二次根式化简 .
出示课件24，学生自主练习，教师给出答案。
10 / 13教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么
样吧。
（三）课堂练习（出示课件25-33）
练习课件第25-33页题目，约用时20分钟
（四）课堂小结（出示课件34）
二次根式的乘法 内容
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
二次根式的乘法
法则
√a⋅√b=√ab(a≥0,b≥0)
即
多个二次根式相乘时此法则也适用，即
二次根式的乘法 √a∙√b·…·√n √ab·…·n a b n
法则拓展
= ( ≥0, ≥0,…, ≥0)
m√a∙n√b=（mn）√ab(a≥0,b≥0)
二次根式乘法法 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的
则的逆用 积.即√ab=√a∙√b(a≥0,b≥0)
（五）课前预习
预习下节课（19.2第2课时）的相关内容.
知道最简二次根式的定义及其二次根式的除法法则
七、课后作业
1、教材第7页练习第1，2，3题.
2、培优练习19.2第3，6，7题.
11 / 13八、板书设计
二次根式的乘法与除法
第1课时
1.二次根式的乘法
考点1 考点2 考点3
2.二次根式乘法法则的逆用
考点1 考点2
3.例题讲解
九、教学反思
成功之处：本节课以问题的方式提出要解决的问题,让学生观察、
计算、归纳,不断进行自主探究,在探究过程中注意观察知识产生发展
的全过程,从而让学生的学习情感和学习品质得到升华,学生的创新精
神得到发展.本课时设计充分反映了课堂教学的灵活性与探究性,基本
达到了通过再创造培养学生创新精神和创造能力的教学目标.
存在问题：学生已经掌握了二次根式的乘法法则和积的算术平方
根性质，但在实际计算时，部分学生倾向于直接计算被开方数的乘
12 / 13积，而没有先行分解因数.正确的做法应该是先将被开方数分解因数，
以便将可以开方的因数提到根号外，这样能使计算过程更加简便.
自我反思：进一步放手让学生自学本节内容,让学生在观察、归
纳出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质基础上,重点进行
计算和化简方面的练习,让学生先练,教师后教.
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